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高中数学 圆锥曲线与方程 211 椭圆及其标准方程高效测评 新人教A版选修11


2016-2017 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其

标准方程高效测评 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹是( )

A.椭圆

B.直线

C.圆 解析: ∵|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|, ∴动点 M 的轨迹是线段.

D.线段

答案: D

2.椭圆 x2+yk2=1 的一个焦点是(0, 5),那么 k 等于(

)

A.-6

B.6

C. 5+1

D.1- 5

解析: 由题意 a2=k,b2=1,∴k-1=( 5)2? k=6.

答案: B

x2 y2 3.椭圆16+ 7 =1

的左、右焦点为

F1,F2,一直线过

F1 交椭圆于

A,B

两点,则△ABF2

的周长为( )

A.32

B.16

C.8

D.4

解析: 由椭圆方程知 2a=8,由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=

2a=8,所以△ABF2 的周长为 16.

答案: B

x2 y2 4.椭圆25+ 9 =1

上一点

M

到左焦点

F1

的距离为

2,N



MF1

的中点,则|ON|等于(

)

A.2

B.4

C.8

3 D.2

解析: 如图,F2 为椭圆的右焦点,连接 MF2,则 ON 是△F1MF2 的中位线,从而|ON|=12

|MF2|.

又|MF1|=2,根据椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a=10. ∴|MF2|=8,从而有|ON|=4. 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知椭圆的焦点 F1,F2 在 x 轴上,且 a= 2c,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点, 且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆的标准方程为________________. 解析: 根据椭圆的焦点在 x 轴上,可设椭圆的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0),根据△ ABF2 的周长为 16 得 4a=16,∴a=4.∵a= 2c,∴c=2 2,则 b2=a2-c2=16-8=8.
x2 y2 故椭圆的标准方程为16+ 8 =1.
x2 y2 答案: 16+ 8 =1 6.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是________. 解析: 将方程整理,
x2 y2 得 2 + 2 =1,
k

根据题意得???2k>2, ??k>0,

解得 0<k<1.

答案: 0<k<1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

7.求焦点在 x 轴上,焦距等于 4,并且经过点 P(3,-2 6)的椭圆的标准方程. 解析: ∵2c=4,∴c=2. 由题意可设椭圆的标准方程为 x2 y2 a2+a2-4=1.

将点 P(3,-2 6)代入, 9 24
得a2+a2-4=1.

a2=1 或 a2=36,∵a>c,

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为36+32=1.

8.已知

F1,F2

x2 y2 是椭圆25+ 9 =1

的左、右两个焦点,

(1)求 F1,F2 的坐标; (2)若椭圆上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是多少? (3)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦,求△ABF2 的周长.

解析:

x2 y2 (1)由椭圆的方程25+ 9 =1

可知,a2=25,b2=9,

∴c2=a2-b2=25-9=16,∴c=4.

∴F1(-4,0)F2(4,0).

(2)由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.

又|PF1|=6,所以|PF2|=10-6=4.

(3)由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,

∴△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a

=20.

9.(10 分)求过点 A(2,0)且与圆 x2+4x+y2-32=0 相内切的圆的圆心的轨迹方程.

解析: 将圆 x2+4x+y2-32=0 的方程变形为(x+2)2+y2=36,其中圆的圆心为 B(- 2,0),半径为 6.如图:
设动圆的圆心 M 坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切,设切点为 C, 则|BC|-|MC|=|BM|. ∵|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6. 又∵动圆过点 A,

∴|CM|=|AM|. 则|BM|+|AM|=6>4. 根据椭圆的定义知,点 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和 A(2,0)为焦点的椭圆,其中,2a= 6,2c=4, ∴a=3,c=2. ∴b2=a2-c2=5.
x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 9 + 5 =1.



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