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2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2课时跟踪检测:(二) 独立性检验的基本思想及其初步应用 Word版含解析


课时跟踪检测(二) 独立性检验的基本思想及其初步应用
层级一 学业水平达标 1.以下关于独立性检验的说法中, 错误的是( ) A.独立性检验依赖于小概率原理 B.独立性检验得到的结论一定准确 C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异 D.独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法 解析:选 B 根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件,但 并不一定是准确的. 2.观察下列各图,其中两个分类变量之间关系最强的是( )

解析:选 D 在四幅图中,D 图中两个阴影条的高相差最明显,说明两个分类变量之

间关系最强,故选 D.

3.在列联表中,下列哪两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大( )

A.a+a b与c+d d

B.a+c b与c+a d

C.a+a b与c+c d D. a+a b与b+c c

解析:选 C 由等高条形图可知a+a b与c+c d的值相差越大,|ad-bc|就越大,相关性就

越强.

4.对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k,下列说法正确的是( )

A.k 越大,“X 与 Y 有关系”的可信程度越小

B.k 越小,“X 与 Y 有关系”的可信程度越小

C.k 越接近于 0,“X 与 Y 没有关系”的可信程度越小

D.k 越大,“X 与 Y 没有关系”的可信程度越大 解析:选 B K2 的观测值 k 越大,“X 与 Y 有关系”的可信程度越大.因此,A、C、

D 都不正确.

5.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据:

种子处理 种子未处理 总计

得病

32

101

133

不得病

61

213

274

总计

93

314

407

根据以上数据,可得出( )

A.种子是否经过处理跟是否生病有关

B.种子是否经过处理跟是否生病无关

C.种子是否经过处理决定是否生病

D.以上都是错误的

解析:选 B 由 K2=407×93?×323×142×131-336×1×271401?2≈0.164<2.706,即没有把握认为是

否经过处理跟是否生病有关.

6.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 1 671 人,经过计算 K2的观测值 k=27.63,

根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的.(填“有关”或“无

关”)

解析:∵K2 的观测值 k=27.63,∴k>10.828,∴在犯错误的概率不超过 0.001 的

前提下认为打鼾与患心脏病是有关的.

答案:有关

7.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到 K2≈3.852>3.841,则判断性别与是

否爱好运动有关,那么这种判断犯错的可能性不超过________. 解析:∵P(K2≥3.841)≈0.05.

∴判断性别与是否爱好运动有关,出错的可能性不超过 5%.

答案:5%

8.统计推断,当________时,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为事件 A 与 B

有关;当________时,认为没有充分的证据显示事件 A 与 B 是有关的.

解析:当 k>3.841 时,就有在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为事件 A 与 B

有关,当 k≤2.706 时认为没有充分的证据显示事件 A 与 B 是有关的.

答案:k>3.841 k≤2.706

9.为了调查胃病是否与生活规律有关,在某地对 540 名 40 岁以上的人进行了调查,

结果是:患胃病者生活不规律的共 60 人,患胃病者生活规律的共 20 人,未患胃病者生活

不规律的共 260 人,未患胃病者生活规律的共 200 人.

(1)根据以上数据列出 2×2 列联表;

(2)在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 40 岁以上的人患胃病与否和生活规律有

关系吗?为什么?

解:(1)由已知可列 2×2 列联表:

患胃病 未患胃病 总计

生活规律

20

200

220

生活不规律

60

260

320

总计

80

460

540

(2)根据列联表中的数据,由计算公式得 K2 的观测值

k=540× 22?02×0×32206×0-802×004×6060?2≈9.638.

∵9.638>6.635,

因此,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 40 岁以上的人患胃病与否和生活规

律有关.

10.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了

如下的列联表:

喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计

男生

a

b=5

女生

c=10

d

合计

50

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到爱打篮球的学生的概率为35.

(1)请将上面的列联表补充完整;

(2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关;请说明理由. 附参考公式:K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?,其中 n=a+b+c+d.

P(K2≥k0)

0.15 0.10

k0

2.072 2.706

解:(1)列联表补充如下:

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计

男生

20

5

25

女生

10

15

25

合计

30

20

50

(2)∵K2=50×30?×202×0×152-5×102×5 5?2≈8.333>7.879,

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

层级二 应试能力达标

1.在第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,稳居金

牌榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列,也有许多人持反对意见,有网

友为此进行了调查,在参加调查的 2 548 名男性中有 1 560 名持反对意见,2 452 名女性中

有 1 200 名持反对意见,在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”

是否有关系时,用什么方法最有说服力( )

A.平均数与方差

B.回归直线方程

C.独立性检验

D.概率

解析:选 C 由于参加调查的人按性别被分成了两组,而且每一组又被分成了两种情

况,判断有关与无关,符合 2×2 列联表的要求,故用独立性检验最有说服力.

2.对于独立性检验,下列说法正确的是( ) A.K2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 无关 B.K2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关

C.K2≤3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关

D.K2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 无关 解析:选 B 由独立性检验的知识知:K2>3.841 时,有 95%的把握认为“变量 X 与

Y 有关系”;K2>6. 635 时,有 99%的把握认为“变量 X 与 Y 有关系”.故选项 B 正确.

3.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关,应该检验( )

A.H0:男性喜欢参加体育活动 B.H0:女性不喜欢参加体育活动 C.H0:喜欢参加体育活动与性别有关 D.H0:喜欢参加体育活动与性别无关 解析:选 D 独立性检验假设有反证法的意味,应假设两类变量(而非变量的属性)无关,

这时的 K2 应该很小,如果 K2 很大,则可以否定假设,如果 K2 很小,则不能够肯定或者否

定假设.

4.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问 100 名性别

不同的居民是否能做到“光盘”,得到如下的列联表:

做不到“光盘”

能做到“光盘”



45

10



30

15

由此表得到的正确结论是( )

A.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别

有关”

B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别

无关”

C.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别

有关”

D.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别

无关”

解析:选 C 由 2×2 列联表得到 a=45,b=10,c=30,d=15.

则 a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100.

代入 K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?,得 K2 的观测值 k=15050××4?56×757-5×30205?2≈3.030.因

为 2.706<3.030<3.841.

所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有

关”.

5.若两个分类变量 X 与 Y 的列联表为:

y1

y2

x1 10 15

x2 40 16

则“X 与 Y 之间有关系”这个结论出错的可能性为________. 解析:由题意可得 K2 的观测值 k=?1?10+0+115?5×+?4400++1166??××??1100×+1460-?×40?1×5+151?62 ?≈7.227,

∵P(K2≥6.635)≈1%, 所以“x 与 y 之间有关系”出错的可能性为 1%.

答案:1%

6.对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的

跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:

又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计

心脏搭桥手术

39

157

196

血管清障手术

29

167

196

合计

68

324

392

试根据上述数据计算 K2≈________,能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响

有差别的结论________(填“能”或“不能”). 解析:根据列联表中的数据,可以求得 K2 的观测值 k=392× 68×?393×241×671-962×9×191657?2

≈1.779. K2<2.072 的概率为 0.85.作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结

论.

答案:1.779 不能

7.甲、乙两机床加工同一种零件,抽检得到它们加工后的零件尺寸 x(单位:cm)及个

数 y,如下表:

零件尺寸 x

1.01 1.02 1.03 1.04 1.05

零件个数



3

7

8

9

3

y



7

4

4

4

a

由表中数据得 y 关于 x 的线性回归方程为^y=-91+100x(1.01≤x≤1.05),其中合格 零件尺寸为 1.03±0.01(cm).完成下面列联表,并判断是否有 99%的把握认为加工零件 的质量与甲、乙有关?
合格零件数 不合格零件数 总计 甲 乙 总计

解: x =1.03, y =a+549,由^y=-91+100x 知,a+549=-91+100×1.03,所以 a=

11,由于合格零件尺寸为 1.03±0.01 cm,故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为:

合格零件数 不合格零件数 总计



24

6

30



12

18

30

总计

36

24

60

所以 K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?

=60×30?×243×0×183-6×6×2412?2=10,

因 K2=10>6.635,故有 99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关.

8.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调

查结果如下表所示:

喜欢甜品 不喜欢甜品 总计

南方学生

60

20

80

北方学生

10

10

20

总计

70

30

100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食

习惯方面有差异”;

(2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品.现在从这 5

名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.

P(K2≥k0) k0

0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635

解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K2=100×70?×603×0×108-0×202×0 10?2=12010≈4.762. 由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮 食习惯方面有差异”. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω={(a1,a2, b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2), (a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. (其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2.bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3)Ω 由 10 个基 本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3), (b1,b2,b3)}. 事件 A 是由 7 个基本事件组成,因而 P(A)=170.



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