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第九章鱼雷自动控制系统的现代设计方法_图文


第九章 鱼雷自动控制系统的 现代设计方法

§9-1 现代控制理论概述
经典控制的主要缺点: ? 经典控制方法又称为“试凑法”,使用经典控制 方法设计控制系统取决于设计者的水平和经验。 ? 经典控制方法适用于线性定常系统,不适合非线 性系统。 ? 经典控制方法适用于单输入单输出。

现代控制理论研究的范围比较宽,适合线性系 统和非线性系统。 在鱼雷上的应用主要包括: ? 极点配置法
? 最优控制理论

? 自适应控制

§9-2 用极点配置法设计鱼雷控制系统
在经典控制中,控制系统的性能主要由控制系 统的特征方程决定,即特征方程的根在复平面的位 置决定,极点配置法的基本思路是将系统设计为负 反馈控制统,通过调节反馈增益矩阵,使控制系统 的闭环极点配置在期望的位置,使控制系统达到期 望的性能。

一、基本概念
?1.状态方程

? ? X ? AX ? bU ? ?Y ? CX

(1)

式中,A为n×n阶矩阵,b为n×1阶矩阵,C为 1×n阶矩阵。
U (t) b

? X (t )
∫ A

X(t) C

Y(t)

将上面状态方程进行零初始条件拉普拉斯变换
?sX ( s) ? AX ( s) ? bU ( s) ? ?Y ( s) ? CX ( s)

? X ( s) ? ( sI ? A) ?1 bU ( s) ? ?Y ( s) ? CX ( s)

? Y (s) ? C(sI ? A)?1bU (s)
Y ( s) G ( s) ? ? C (sI ? A)?1b U ( s)

(2)

可控标准型



? ? X ? AX ? bU ? ? ?Y ? CX ?
? 0 ? 0 A?? ? ? ? ?a0 1 0 ?a1 0 1 ? ?a2 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ?an ?1 ? ?

时,上面的状态方程对应的系统称为可控标准型Ⅰ 型。系统的特征方程为
D(s) ? s n ? an ?1s n ?1 ? ? ? a1s ? a0

将普通状态方程变换为可控标准型的方法 SISO被控系统可以用状态状态方程来描述
? ? X ? AX ? bU ? ?Y ? CX

对应系统的传递函数
bn?1s n?1 ? bn?2 s n?2 ? ? ? b0 G( s) ? s n ? an?1s n?1 ? ? ? a0

?1 设Q矩阵为非奇异矩阵 P ? Q ,设 X (t ) ? PX (t ) 则

X (t ) ? P?1 X (t )

将此式代入上面的状态方程得
? ? P ?1 X ? AP ?1 X ? bU ? ? ?1 ?Y ? CP X ? ? ? X ? PAP ?1 X ? PbU ? ?? ?1 ?Y ? CP X ?

A ? PAP?1, b ? Pb, C ? CP?1 ,则 设
? ? X ? AX ? bU ? ? ?Y ? CX ?

此式即可控标准型。

求Q矩阵的方法
Q ? ?q1 q2 ? qn ?
?qn ? b ?q ? Aq ? a q ? Ab ? a b n n ?1 n n ?1 n ? n ?1 (3) ? 2 ?qn ?2 ? Aqn ?1 ? an ?2 qn ? A b ? an ?1 Ab ? an ?2b ? ? ? ?q1 ? Aq2 ? a1qn ? An ?1b ? an?1 An ?2b ? ? ? a1b ?

二、用状态反馈实现零极点配置
?1.状态反馈控制系统结构图
r(t) U(t) b

? X (t )

-

-

?
_
A

X (t ) _ Y(t)
C

_
K

图中的 A 为可控标准型

?2.状态反馈控制系统的数学表达式

? ? X ? AX ? bU ? ? ?Y ? CX ?U ? r ? KX ? ?

式中, K 为可控标准型下的反馈增益矩阵。设
K ? KP ?1 ,代入上式的

? ? X (t ) ? A X (t ) ? b U (t ) ? ? ?Y (t ) ? C X (t ) ?U (t ) ? r (t ) ? K X (t ) ? r (t ) ? KP ?1 X (t ) ? ?

将3式代入1式
? ? X ? ( A ? bK ) X ? br ? ? ?Y ? CX ?

? 设 A ? A ? bK ,代入上式得闭环系统的状态方程

? ?? ? ? X ? AX ? br ?? ? ?? ?Y ? CX ?

式中

1 0 ? 0 ? ?0? ? 0 ? 0 0 1 ? 0 ? ?0? ? ? ? ? ? ?k k ? k ? A ? A ? bK ? ? n? ? ? ?? ? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ?a0 ?a1 ?a2 ? ?an ?1 ? ?1 ? 1 0 ? 0 ? ?0 0 0 ? 0 ? ? 0 ? 0 0 1 ? 0 ? ?0 0 0 ? 0 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a0 ? a1 ? a2 ? ? an ?1 ? ? k1 k2 k3 ? kn ? ? 0 1 0 ? 0 ? ? ? ? 0 0 1 ? 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?(a0 ? k1 ) ?(a1 ? k2 ) ?(a2 ? k3 ) ? ?(an ?1 ? kn ) ?

对应的闭环系统的特征方程为

D(s) ? sn ? (an?1 ? kn )sn?1 ? ?? (a1 ? k2 )s ? (a0 ? k1 )
期望的闭环系统的特征方程为
* * * D* (s) ? sn ? an?1sn?1 ? ?? a1 s ? a0 由此得 * * ?a0 ? a0 ? k1 ?k ? a0 ? a0 ? * ? * a1 ? a1 ? k2 k2 ? a1 ? a1 ? ? ? * ? * a2 ? a2 ? k3 k3 ? a2 ? a2 ? ? ?a * ? a ? k ?k ? a* ? a n ?1 n n n ?1 ? n ? n

?3.求反馈增益矩阵

K

将式 K ? [k1

k2

k3

k4 ]

代入 K ? K P

即可求出反馈增益矩阵K。

用状态反馈实现极点配置的步骤如下:
(1)根据系统的性能指标,确定期望的闭环控制 系统的特征方程
* * * D* (s) ? sn ? an ?1sn ?1 ? ? ? a1 s ? a0

(2)原控制系统的特征方程
D(s) ? s n ? an ?1s n ?1 ? ? ? a1s ? a0

(3)求可控标准型下的反馈增益矩阵
* K ? a0 ? a0

?

* * a1 ? a ? an ? an ?1

?

(4)求Q
Q ? ?q1 q2 ? qn ?

(5)求反馈增益矩阵 K
K ? KP

例9.1 鱼雷航向控制系统的状态方程
? ? X ? AX ? bU ? ?Y ? CX ? 0 ? 0 1 ? ?0 式中, ?0 ?1.35 0.22 ? b ? ? 0.11? A?? ? ? ? ?1.88 ? ?0 11.74 ?5.38 ? ? ? ? ?

C ? ?1 0 0?

X ? ?? ?

?

? y1 ? ?

U ? ?r

试确定反馈增益矩阵 K ,使闭环控制系统的特 征方程为
* * * D* (s) ? sn ? an ?1sn ?1 ? ? ? a1 s ? a0 ? s3 ? 11s2 ? 36s ? 36

?

解: (1)期望的闭环控制系统的特征方程
D (s) ? s ? 11s ? 36s ? 36
* 3 2



* * * a2 ? 11, a1 ? 36, a0 ? 36

(2)原控制系统的特征方程

s 0 ?1 D(s) ? sI ? A ? 0 s ? 1.35 ?0.22 ? s( s ? 1.35)( s ? 5.38) ? 0.22 ?11.745 0 ?11.74 s ? 5.38 ? s3 ? 6.73s 2 ? 4.67 s



a2 ? 6.73, a1 ? 4.67, a0 ? 0

(3)求可控标准型下的反馈增益矩阵
* K ? ? a0 ? a0 ? * a1 ? a1 * an ? an ?1 ? ? ?36 31.74 4.27 ? ?

(4)求Q

Q ? ?q1 q2 ? qn ?
? 0 ? q3 ? b ? ?0.11?, ? ? ?1.88? ? ?

0 1 ?? 0 ? ?0 ? 0 ? ?1.88? q 2 ? Ab ? a2b ? ?0 ? 1.35 0.22 ? ?0.11? ? 6.73?0.11? ? ?1.03? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 11.74 ? 5.38? ?1.88? ?1.88? ?3.87? ? ?? ? ? ? ? ? ?3.8 7? ? 0 ? 2 q1 ? A b ? a2 Ab ? a1b ? ? ? ? 0.0 1? ? ?

(5)求矩阵
?0.25 ? 0.61 0.04 ? ? 0 ? ?1 P?Q ?? 1.26 ? 0.08? ? 0 ? 2.59 0.69 ? ? ?

(6)求反馈增益矩阵K
K ? KP ? ?9.29 6.37 1.88?

二、状态观测器(渐进状态观测器)

状态观测器分全维状态观测器和降维状态观测 器,在工程实际中降维状态观测器用得比较多,一 般都是设计降维观测器。 设计状态观测器的原因: 在控制系统中,一些状态变量容易测量出来, 例如温度、压力、流量等。有些状态变量可以直接 测量出来,比较准确。而有些状态变量不容易测量 出来,需要设计状态观测估计出来。例如鱼雷的两 个动力角参数 ? / ? 观测器,电机的转子磁链观测器。

?1.降维状态观测器数学模型

? ? X ? AX ? BU ? ?Y ? CX

A 式中, , C可观测, C 阵为行满秩矩阵,

即 ranC ? m 。
C 假设 P ? ? ? 式中 ?R? ? ?
R 为不可观测矩阵。

P?1 ? Q ? [q1

q2 ]

0 ? ?Cq1 Cq2 ? ? I m ?C ? I ? PQ ? ? ? ? q1 q2 ? ? ? ???0 I ? ?R? n?m ? ? Rq1 Rq2 ? ? 代入(4)式并考虑到(5)式,得 将 X (t ) ? P?1 X
? ? P ?1 X ? AP ?1 X ? BU ? ? ?1 ?Y ? CP X ?

? ? X ? PAP ?1 X ? PBU ? ? ?Y ? CQX ? C ? q1 q2 ? X ? ?Cq1 Cq2 ? X ? ? I m ?

0? X

? ? X ? AX ? BU ? ? ?Y ? ? I m 0? X ?
? 将 X 划分为可以直接输出 m 的个状态 X(可观测 1 的状态),不能直接输出的 n ? m 个状态 X 2 (不能 观测的状态),即

? X1 ? X ?? ? ?X2 ?

(6)

对 A, B 矩阵也作相应的分块得
? ?? X ? ? A A12 ? ? X 1 ? ? B1 ? 1 11 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?U ? ? ? X 2 ? ? A21 A22 ? ? X 2 ? ? B2 ? ? ? ? ? ? X1 ? ?Y ? ? I m 0? ? ? ? X 1 ?X2 ? ?

将其展开得
? ? X 1 ? A11 X 1 ? A12 X 2 ? BU 1 ? ?? ? X 2 ? A21 X 1 ? A22 X 2 ? B2U ?Y ? X 1 ? ?

剩下需要估计的状态变量
? ? X 2 ? A21Y ? A22 X 2 ? B2U ? ? ? ? ?Y ? X1 ? A11Y ? A12 X 2 ? BU ? 1

? ? X 2 ? A22 X 2 ? A21Y ? B2U ? ? ? ?Y (t ) ? A11Y ? B1U ? A12 X 2 ?

(7)



? U ? A21Y ? B2U ,W (t ) ? Y ? A11Y ? B1U

代入上式得
? ? X 2 ? A22 X 2 ? U ? ? ?W ? A12 X 2 ?

(8)

降维观测器的结构图如图9.3所示,由图可知状态 观测器的方程为
? ? ? ? X 2 ? A22 X 2 ? LW ? LA12 X 2 ? U ? ? ? A22 ? LA12 ? X 2 ? LW ? U ? ?

(9)

U (t )

? X 2(t )

-

?
_
A22

X 2(t ) _ W(t)
A12

? W (t ) ? A12 X 2 (t )
K L

? ? X2

-

图9.3

?
_
A22

? X2

_
A12

? X2

渐进状态观测器

? ? 由于输出 W ? Y ? A11Y ? BU 可知,输出中含有 Y , 1 ? 用 Y 作为状态观测器的输入,在实际系统中容易 引起干扰,应该设法消去,因此定义新的状态变量
? Z ? X 2 ? LY



? X 2 ? Z ? LY

(10)

将(10)式代入(9)式得

? Z ? ( A22 ? LA12 )(Z ? LY ) ? ( A21 ? LA11 )Y ? (B2 ? LB1 )u

由于 X1 ? Y,

? X 2 ? Z ? LY

? ? X ? ?Y ? ? Im ? ?? 1?? X ? ???L ? ? X ? ? Z ? LY ? ? ? 2?

0 ? ?Y ? ? ?Z ? I m? n ? ? ?

? ? X (t ) ? P ?1 X ? ? q1

?Y ? q2 ? ? ? ? q1Y ? q2 [Z ? LY ] ? Z ? LY ?

原系统状态观测器方程为

? ? ? X ? P X ? QX ? ? q1
?1

?Y ? q2 ? ? ? ? q1Y ? q2 ? Z ? LY ? ? ? Z ? LY ? ?

Y
A21 ? LA11 u B2 ? LB1 L q1 ? X2 q2

X1

? Z

-

?

Z

? X

A22 ? LA12

图9.4

n-m维状态观测器结构图

例9.2 鱼雷航向控制系统的状态方程 ? ? X ? AX ? bU ? ?Y ? CX
0 1 ? ?0 ? 0 ? 式中, A ? ?0 ?1.35 0.22 ? , b ? ?0.11? , C ? ?1 0 0? ? ? ? ? ?0 11.74 ?5.38? ?1.88 ? ? ? ? ?
X ? ?? ?

?

? y1 ? ?

U ? ?r

? , ?y1 的2维状态观测器,使 D* (s) ? s 2 ? 18s ? 45 设计

?

解:
?0 1 0 ? R?? ? ?0 0 1 ?

分析: C ? ?1 0 0? ,因此
?1 0 0 ? P ? ?0 1 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?

相应的分块为

A11 ? ?0? B1 ? ?0?

A12 ? ?0 1?
?0.11? B2 ? ? 1.88? ? ?

?0 ? A21 ? ? ? ?0 ?

??1.35 0.22 ? A22 ? ? 11.74 ?5.38? ? ?

? Z ? ( A22 ? LA12 )(Z ? LY ) ? ( A21 ? LA11 )Y ? (B2 ? LB1 )u
根据状态观测器方程 ? Z ? ( A ? LA )(Z ? LY ) ? B u
22 12 2

系统的特征方程为
sI ? ( A22 ? LA12 ) ? 0

s2 ? (6.73 ? l2 )s ? (1.35l2 ? 11.72l1 ? 4.67) ? 0
D* (s) ? s 2 ? 18s ? 45 ? 0

?(6.73 ? l2 ? 18 ? ?1.35l2 ? 11.72l1 ? 4.67 ? 45

可解得
?l1 ? 2.14 ? ? ?l2 ? 11.27 ?

三、状态观测器与原系统的连接
?

用状态反馈实现零极点配置时,若有些变量不能 直接测量,可构造一个观测器来估计这些状态变 量。

r

? X

-

B

?
A

X

C

Y

A21 ? LA11 B2 ? LB1

L

q1 ? X2 q2

? Z

-

?
K

Z

A22 ? LA12

? X

图9.5 状态观测器与原系统的连接

§9-3 用最优控制理论设计鱼雷控制系统
基本思想是找到最优控制规律,满足一定条件, 使某项指标达到最优。 最常用的性能指标和约束条件 线性定常系统数学模型
?

? ? X ? AX ? Bu ? ?Y ? CX

1.时间最短的性能指标: 在给定条件下状态变量
f

X (t0 ) ? X (t f )

性能指标

J ? ? dt ? t f
0

2.最优跟踪性能指标 系统以最小误差跟踪目标
J ??
tf 0

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T

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