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【区级联考】北京市朝阳区2018-2019学年高一年级第一学期期末质量检测数学试题


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绝密★启用前

【区级联考】北京市朝阳区 2018-2019 学年高一年级第一学 期期末质量检测数学试题

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 1. A. 2.设 A. 的值是( ) B. , B. C. D. ( ) D. 的是( ) 2,3,

3, ,则 C. 3,

3.下列各式中,化简的结果为 A. C. B. D.

4.下列函数中,值域是 A. C. 5.已知 A. B. B. D. ,则 C.

的是( )

( ) D.7 , 夹角的余弦值是 ,若 ,则实数

6.已知非零向量 , 满足

t 的值是( )
A. B. C. D.

7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在边长为 2 的正方形 ABCD 内部及其边界上运
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动,已知点





,则

的最大值是( )

A.2

B.4

C.6

D.

8.苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表,这一发明为当时的天文学家处理“大数运算” 做出了巨大贡献 法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过:“对数倍增了天文学家 的寿命 ”比如在下面的部分对数表中,16,256 对应的幂指数分别为 4,8,幂指数和 为 12,而 12 对应的幂 4096,因此 根据此表,推算 5 6 7 8 9 10 ( )

x

1

2

3

4

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

x

11 204 8

12 409 6

13 819 2 22

14 1638 4

15 3276 8 23

16 6553 6

17 13107 2 24

18 26214 4

19 52428 8 25

20 104857 6

x

21

2097152

4194304

8388608

16777216

33554432

A.524288

B.8388608

C.16777216 ; ;

D.33554432 ; 其中

9. 给出以下四个方程: 有唯一解的是( ) A. 10 .设函数 B.

C. ,

D. ,若对于任意实数 x , y ,恒有

的定义域为 R,且

则下列说法中不正确的是( )
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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C. D.

A. B.

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 11.已知平面向量 12.已知 13 . 已 知 函 数 ______; ______. , ,则 ,若 ______; ,则实数 ______.

______. 的部分图象如图所示,则

14.设函数 15. 设集合

,则 3, 6, 9, 12,

______. 集合 N 满足: 有两个元素; 若 , 则 且

请写出两个满足条件的集合 N______. 16.已知函数 若 在 上是单调函数,则 . ______;

若对任意实数 k,方程 评卷人 得分 三、解答题

都有解,则 a 的取值范围是______.

17.设全集是实数集 R,集合 Ⅰ 当 Ⅱ 若 Ⅲ 若 18.已知函数 Ⅰ 求 , 的值; 时,分别求 与 ;





,求实数 a 的取值范围; ,求实数 a 的最大值. .

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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Ⅰ 当

Ⅲ 当

Ⅱ 求

Ⅲ 设函数

Ⅱ 若函数



20.如果函数

的等域函数,

19.已知函数

求 m 的取值范围.

Ⅱ 判断函数 证明:当 时,求 时,若函数 , 称为函数 的最大值; 在定义域的某个区间 是 , 若对任意 为偶函数,求 m 的值; 的一个等域区间. 上的等域函数,求 时,函数 ,其中 且

Ⅰ 已知函数

时,求

若不存在,请说明理由.

的最小正周期及对称轴方程;

的单调递增区间. , .

是否存在等域区间?若存在, 写出该函数的一个等域区间;

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, 总有

上的值域恰为



不存在等域区间;

, .

的解析式;

, 使得

,则称函数 为 上



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参考答案 1.D 【解析】 【分析】 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 【详解】 , 故选:D. 【点睛】 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 2.A 【解析】 【分析】 由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【详解】 , , 故选:A. 【点睛】 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.C 【解析】 【分析】 利用诱导公式逐一化简各个选项,可得结果. 【详解】 由于 由于 由于 由于 ,故排除 A; ,故排除 B; ,故 C 满足条件; ,故排除 D, 3, ,

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故选:C. 【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题. 4.D 【解析】 【分析】 利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可. 【详解】 对于 A: 对于 B: 的值域为 , 的值域为 对于 C: 对于 D: ; ; , ; , ; , ,

的值域为 , 的值域为

故选:D. 【点睛】 此题主要考查函数值域的求法,考查不等式性质及函数单调性,是一道基础题. 5.D 【解析】 【分析】 直接利用两角和的正切函数公式求解即可. 【详解】 , . 故选:D. 【点睛】 本题考查了两角和的正切函数公式,是基础题. 6.A

答案第 2 页,总 13 页

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【解析】 【分析】 根据条件即可求出 运算即可求出 t 的值. 【详解】 ,且 夹角的余弦值是 ; ; 又 ; ; ; ; . 故选:A. 【点睛】 考查向量数量积的运算及计算公式,以及向量垂直的充要条件. 7.C 【解析】 【分析】 设 得 ,再求出 和 的最大值为 6. ,利用向量数量积可得 ,最后由 x 的最大值为 1 可 ,而根据 即可得出 ,进行数量积的

【详解】

故选:C. 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属基础题. 8.B 【解析】 【分析】
答案第 3 页,总 13 页

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先通过阅读,理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】 由上表可知: , ,

即 512,16384 对应的幂指数分别为 9,14,幂指数和为 23,而 23 对应的幂为 8388608,因 此 故选:B. 【点睛】 本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理,属简单题. 9.B 【解析】 【分析】 由方程与函数的关系,将方程问题转化为函数问题,再利用函数的增减性,奇偶性,函数零 点存在性定理解题即可. 【详解】 设 设 ,易知: ,易知: 为增函数,又 为增函数,又 ,故 , 有唯一解, ,由 .

函数零点定理可得: 设 由函数零点定理可得: 则 因为 解, 综合 有唯一解的是 故选:B. 【点睛】 得: ,

有唯一解, , 易知: 为增函数, 由 有唯一零点,又 , 为偶函数, ,

有两个解, , ,当且仅当 时 ,即 有唯一

本题考查了方程与函数的转化及函数的增减性、奇偶性,函数零点存在性定理,属中档题. 10.D 【解析】
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【分析】 令 令 令 令 , , , , ,即可求解 ,即可求出 ,可得结论, . , ,

【详解】 由题意,令 ,可得 , ,

,故 A 正确, 令 , ,可得 ,故 B 正确 令 , ,可得 , ; , , ,

,故 C 正确, 令 , ,可得 ,故 D 错误, 故选:D. 【点睛】 本题考查抽象函数问题,考查了函数的奇偶性、对称性、单调性,同时也考查了学生解决探 索性问题的能力,属于中档题. 11. 【解析】 【分析】 利用向量平行的性质直接求解. 【详解】 平面向量 ,
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解得实数 故答案为: 【点睛】

. .

本题考查实数值的求法,考查向量平行等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 12. 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得 【详解】 已知 ,则 , 故答案为: 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用,属于基础题. 13.2 【解析】 【分析】 由函数图象的顶点求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值. 【详解】 有函数的图象顶点坐标可得 再根据 求得 . , , , ; . , 的值,再利用二倍角公式求得 的值.

再根据五点法作图可得 可得: ,

故答案为:2, . 【点睛】 本题主要考查由函数 的部分图象求解析式,由函数图象的顶点求出 A,由周
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期求出 ,由五点法作图求出 的值,属于基础题. 14. 【解析】 【分析】 求出 能求出 【详解】 函数 , , , , , , , , 是以 6 为周期的周期函数, , , , , , , , . ,得到 是以 6 为周期的周期函数,由此

. 故答案为: . 【点睛】 本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 15. ,

【解析】 【分析】

答案第 7 页,总 13 页

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由 【详解】 由

,得

,再结合已知条件可得答案.

,得

. , .

结合已知条件可得:两个满足条件的集合 N 为 故答案为: 【点睛】 本题考查了元素与集合关系的判定,是基础题. 16.0 【解析】 【分析】 作出函数 由题意可得 时,函数 【详解】 作出函数 的图象, , .

的图象,由单调性的定义,结合图象可得 a 的值; 的值域为 R, 由 , 解得 或 , 讨论 , 时,

的图象和值域是否为 R,即可得到所求范围.

在 可得 可得 ,而

上是单调函数, 的对称轴为 ; 都有解, 和 的图象恒有交点, ,

在 R 上递增,即有

对任意实数 k,方程 即 可得 由 恒有解,即直线 的值域为 R, 时, 时, 由 时, 递增,且 ,解得 或 ;

,不成立; ,
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当 当

时,由图象可得 时,由图象可得

的值域为 R, 的值域不为 R,

综合可得 a 的范围是 故答案为:0, 【点睛】 本题考查分段函数的图象和运用, 考查函数的单调性和值域, 考查转化思想和数形结合思想 方法,属于中档题. 17.(Ⅰ) 【解析】 【分析】 Ⅰ 当 Ⅱ 由 Ⅲ 由 【详解】 Ⅰ 当 时, , Ⅱ , , ; , , , , ; 时,确定集合 B,由交、并的定义可得结果; 得 ; 得 ,得 ,可得实数 a 的最大值. , ;(Ⅱ) (Ⅲ)

实数 a 的取值范围为 Ⅲ 又 或 ,

实数 a 的最大值为 . 【点睛】 本题考查的知识点是集合的基本运算,包含关系判断及应用,集合关系中的参数问题,属基 础题. 18.(Ⅰ) (Ⅱ) 最小正周期 . . ,函数的对称轴方程为:
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(Ⅲ) 函数的单调递增区间为: 【解析】 【分析】



Ⅰ 直接利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出 函数的值. Ⅱ 利用 Ⅰ 的函数的关系式利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程. Ⅲ 利用整体思想求出函数的单调区间. 【详解】 Ⅰ 函数 , , 则: . Ⅱ 由于: 所以:函数的最小正周期 令 解得: , , . , , , 或 1 时,函数的单调递增区间为: 和 , , . .

所以函数的对称轴方程为: Ⅲ 令 解得 由于 所以:当 【点睛】

本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学 生的运算能力和转化能力,属于基础题型.

答案第 10 页,总 13 页

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19. (Ⅰ)2(Ⅱ)-2(Ⅲ) 【解析】 【分析】 Ⅰ 代入 m 的值,求出函数的最大值即可; Ⅱ 根据偶函数图象关于 y 轴对称,二次函数的一次项系数为 0,可得 m 的值; Ⅲ 求解 【详解】 Ⅰ 故 时, 的最大值是 2; ,为偶函数, , , 的值域 M 和 的值域 N,可得 ,即可求解实数 m 的取值范围.

Ⅱ 函数 可得 可得 即实数 m 的值为 (Ⅲ) , , 那么 当 的值域 时,总有 的值域是 时, , , ,可得 . ,使得 的值域的子集; ;



转化为函数 即:当 函数 其对称轴 当

时,即





此时无解. 当 可得: 当 时,即 ,可得 ; ; 时,即 可得 ; 或 m;

此时无解.
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综上可得实数 m 的取值范围为 【点睛】



本题主要考查三角函数的化简,图象即性质的应用,二次函数的最值问题. 20.(Ⅰ) 【解析】 【分析】 Ⅰ 当 时,若函数 是 上的等域函数,根据函数的单调性,建立方程关系, ; 见证明;(Ⅱ)见解析

进行求解即可; 当 , 时,根据等域区间的定义建立方程关系,进行判断;

Ⅱ 结合函数的单调性,建立方程关系进行判断即可. 【详解】 Ⅰ 已知函数 当 若函数 当 则 当 则 即 证明:当 则 假设函数存在等域区间 则 即 , , 则 等式不成立,即函数 , , , 不存在等域区间; , ; , 时, 为减函数, , ,两式作差得 , , ,即 , 时, 时, 是 时, 上的等域函数, 为增函数, ,得 为减函数, ,得 ,不满足条件. ,此时 ,其中 且 , , .

答案第 12 页,总 13 页

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Ⅱ 函数

不存在等域区间, ,

证明假设函数存在等域区间 则 ,

即 两式作差得 即 即函数过

, , , , 的割线斜率等于 4,

为减函数, 任意两点的割线斜率为负数, 故 【点睛】 本题主要考查函数值域的应用, 结合等域区间的定义建立方程组关系, 结合函数单调性的性 质是解决本题的关键. 不成立,即 不存在等域区间.

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