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【B版】人教课标版高中数学必修一《函数的奇偶性》教学教案-新版


2.1.4 函数的奇偶性
一、教学目标 1.知识目标:使学生理解奇函数,偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶 性 2.能力目标:通过设置问题情境培养学生判断,推理的能力 3.情感目标:通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通过组织学 生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般 性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质. 二、教学重点 难点 重点是函数的奇偶性的概念,难点是函数奇偶性的判断 三、教学方法 本节课采用观察,归纳,启发探究相结合的数学方法,运用现代化多媒体教学手 段,进行教学活动,首先按照由特殊到一般的认知规律,由形及数,数形结合,通过设 置问题引导学生观察分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交 流,在思考, 探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解 , 对于奇 偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理 ,使学生边学边练,及时巩固 ,同时设计 问题,探究问题,深化对概念的理解.

四 教学过程 教 学 环 节 复 习 引 入 概 念 1.要求学生画出函数 f(x)= 1. 教师巡视指导,学生作 1.要求学生动手作图以锻炼 复习在初中学习的轴对 教师提出问题,学生回答 称图形和中心对称图形 的定义 为学生认识奇偶函数的图 像特征做好准备 教学内容 师生互动 设计意图

1 3 x 与 g ( x) ? x 2 的 图。学生作完图后教师提 须生的动手实践能力,为下 4

形 成

图像; 观察大屏幕上给出 问:观察大屏幕上的9个 步问题的提出做好准备,并 的 九 个 函 数 图 像 : 函数图像和我们画的两个 通过问题的提出来引导学 ① f ( x) ? x ② f ( x) ? x 3 ③ f ( x) ? x 5 ④
f ( x) ? 1 x

函数的图像,分别具有怎 生从形的角度认识两个函 么样的对称性?
1 学生回答:f(x)= x 3 关 4

数各自的特征。



f ( x) ? x ?

1 x

于原点成中心对称图形;

通过更多的例子让学生 知道函数图像的对称性,即 关于原点成中心对称,以及 关于 y 轴成轴对称,锻炼学 生的观察能力。

g ( x) ? x 2 关 于 y 轴 成 轴
对称图形。

⑥ f ( x) ? x 2 ⑦ f ( x) ? x 4
1 ⑧ f ( x ) ? 2 ⑨ f ( x) ? x x

学生:①②③④⑤的图像 关于原点成中心对称; ⑥⑦⑧⑨的函数图像关于
y 轴成轴对称图形。

概 念 形 成

2.老师在黑板上画出函 2. 老师边让学生计算相应 2.通过特殊值让学生认识两
1 数 f(x)= x 3 与 g ( x) ? x 2 4

的函数值,边操作课件, 个函数各自的对称性的实 引导学生发现规律,总结 质; 是自变量互为相反数时 ,

的图象, 并让学生分别求 出

规律。然后要求学生给出 函数值互为相反数和相等 1 x ? ?3,?2,? ? 时的 2 证明,学生通过观察和运 这两种关系 函数值同时让学生在两 算逐步发现两个函数具有 个 函 数 图 象 标 明 的不同特性: 3.通过引例使学生对奇函数 1 x ? ?3,?2,? ? 对 应 的 和偶函数的形和数的特征 2 图像上的点。 让学生发现 3. 教师引导归纳,这时们 有了初步的认识 , 此时再让 两个函数的对称性反映 称 像 f ( x) ? x 3 这 样 的 函 学生给奇函数和偶函数下 到函数值上具有特性:
f (? x) ? f (? x) g (? x) ? g ( x)

数为奇函数,像函数

个定义应该是水到渠成.

f ( x) ? x 2 这 样 的 函 数 为
偶函数,请同学们根据奇 函数偶函数的初步认识来 加以推广,给奇函数和偶

然后通过解析式给出证 明, 进一步说明这两个特 性对定义域内的任意一

个 x 都成立。

函数分别下一个定义。

3. 奇函数偶函数的定义: 学生讨论后回答,然后老 奇函数:设函数 y ? f ( x) 师引导使定义完善,在并 的定义域为 D, 如果对于 D 内的任意一个 x ,都有 f(-x)=- f(x),则这个函数 叫奇函数 偶函数:设函数 y ? g ( x) 的定义域为 D, 如果对 D 内的任意一个 x ,都有
g (? x) ? g ( x) ,则这个函

在黑板上板书奇函数偶函 数的定义。 老师:根据定义,哪位同 学能举出另外一些奇函数 和函数的例子? 学生;

f ( x) ? x 7 ?

1 x, 2

f ( x) ? ? x6 ? 4x 4 等

数叫做偶函数. 1.强调定义中任意二字。 教师设计以下问题组织学 通过对两个问题的探讨,引 说明函数的奇偶性是函 生讨论思考回答: 导学生认识以下两点:1.函

数在定义域上的一个整 问题 1:奇函数和偶函数 数的奇偶性是函数在定义 体性质。 它不同于函数的 的定义中有任意二字,说 域上的一个整体性质。它不 单调性。 明函数的奇偶性是怎样的 同于函数的单调性。

2. 奇函数和偶函数的定 一个性质?与单调性有何 2.函数的定义域关于原点对 义域的特征是关于原点 区别? 概 念 深 化 对称。 称是一个函数为奇函数或

问 题 2 : 结 合 函 数 偶函数的必要条件。教师层 层深入地提出问题,学生根 据教师的诱导,思考问题并 积极回答问题,加深对定义 的理解。 由于学生对函数 f(x)=
1 3 x 4

3. 奇函数和偶函数图象 f(x)= 1 x 3 的图象回答以下 4 的对称性: 问题: 如果一个函数是奇函数, 1. 对 于 任 意 一 个 奇 函 数 则这个函数的图象是以 f(x) , 图 象 上 的 点 坐标原点为对称中心的 P( x, f ( x)) 关于原点的对 中心对称图形。反之,如 果一个函数的图象是以 称点 P 的坐标 是什么? 坐标原点为对称中心的 点 P ' 是否也在函数 f(x)的
'

与 g ( x) ? x 2 的 图 象 的 对 称 性已有所认识,在此加以推

中心对称图形, 则这个函 图象上?由此可得到怎样 广得到奇函数和偶函数的 数是奇函数。 的结论。 图象是比较容易的,经过由

如果一个函数是偶函数, 2. 如果一个函数的图象是 形到数的过程,可使学生加 则它的图象是以 y 轴为 以坐标原点为对称中心的 深对本小节内容的理解。 对称轴的轴对称图形, 反 中心对称图形,能否判断 之, 如果一个函数的图象 它的奇偶性?学生通过回 关于 y 轴对称, 则这个函 答问题 3 可以把奇函数图 数是偶函数 象的性质总结出来,然后 教师让学生自己研究以下 偶函数图象的性质 应 用 举 例 例 1 .判断下列函数的奇 1.选例 1 的第(1)小题 1.通过例 1 解决如下问题 偶性 (1) f ( x) ? x ? x 3 ? x 5 (2) f ( x) ? x 2 ? 1 (3) f ( x) ? x ? 1 (4) f ( x) ? x 2 x ? ?? 1,3? (5) f ( x) ? 0
1? x2 (6) f ( x) ? x?3 ?3

板书来示范解题的步骤, 1 根据定义判断一个函数是 其 他 例 题 让 几 个 学 生 板 奇函数还是偶函数的方法 演,其余学生在下面自己 和步骤是:第一步先判断函 完成,针对板演的同学所 数的定义域是否关于原点 出现的步骤上的问题进行 对 称 , 第 二 步 判 断 及时纠正,教师要适时引 导学生做好总结归纳。 2. 例 2 可让学生来设计如 何研究函数的性质和图象 的方案,并根据学生提供 的方案,点评方案的可行 性,并比较那种方案简单 2.通过例 1 中的第(3)题说明 有的函数既不是奇函数也 不是偶函数. 3.例 1 中的第(4)小题说明判
f ( ? x) ? f ( x) f ( ? x) ? ? f ( x)





学生练习:教材第 49 页, 练习 A 第 1 题 例 2. 研究函数 y ?

1 断函数的奇偶性先要看一 的 3. 做完例 1 和例 2 后要求 x2 下定义域是否关于原点对 性质并作出它的图象 学生做练习,及时巩固, 称. 学生练习:教材第 49 页, 在学生练习过程中,教师

练习 A 第 2 小题,教材第 做好巡视指导 50 页练习 B 第 1~2 题

4. f ( x) ? 0 既是奇函数又是 偶函数 , 可进一步引导学生 探究一个函数既是奇函数

又是偶函数的函数是函数 值为 0 的常值函数,前提是 定义域关于原点对称 5 总结:对于一个函数来说 , 它的奇偶性有四种可能 : 是 奇函但不是偶函数 , 是偶函 数不是奇函数 , 既是奇函数 又是偶函数 , 既不是奇函数 又不是偶函数 6 对于例 2 主要让学生体会 学习了函数的奇偶性后为 研究函数的性质带来的方 便 , 在此问题的处理上要先 求一下函数的定义域 , 这是 研究函数性质的基础 , 然后 判断函数的奇偶性 , 再根据 奇偶函数图象的对称性,只 研究函数在 y 轴一侧的图 象和性质就可以知道在另 一侧的图象和性质 归 纳 小 结 从知识, 方法两个方面来 让学生谈本节课的收获, 对本节课的内容进行归 并进行反思 纳总结 关注学生的自主体验, 反思和发表本堂课的体验 和收获

布 置 作 业

层次一:教材第 52 页,习 题 2-1A,第 6~8 题 层次二:教材第 53 页,习 题 2-1B,第 2~4 题 层次三:补充题,判断下列 函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1) ? 通过分层作业使学生进 一步巩固本节课所学内容, 并为学有余力和学习兴趣 浓厚的学生提供进一步学

1? x 1? x

习的机会。

(2) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ?1



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