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2015-2016学年高中数学(人教A版必修一)课时作业:第1章 集合与函数概念 1.3.1第2课时


第 2 课时
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函数的最值

课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单 调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值.

1.函数的最大值、最小值

最值 条件

最大值

最小值

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:

(1)对于任意的 x∈I,都有__________. (3)对于任意的 x∈I,都有__________.

(2)存在 x0∈I,使得__________.

(4)存在 x0∈I,使得__________.

结论

M 是函数 y=f(x)的最大值

M 是函数 y=f(x)的最小值

2.函数最值与单调性的联系

(1)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则 f(x)的最大值为________,最小值为

________.

(2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则 f(x)的最大值为______,最小值为______.

一、选择题

1.若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是

() A.a≤-3

B.a≥-3

C.a≤5

D.a≥3

2.函数 y=x+ 2x-1( )

A.有最小值12,无最大值

B.有最大值12,无最小值

C.有最小值12,最大值 2

D.无最大值,也无最小值 3.已知函数 y=x2-2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( )

A.[1,+∞)

B.[0,2]

C.(-∞,2]

D.[1,2]

4.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么( )

A.f(-2)<f(0)<f(2)

B.f(0)<f(-2)<f(2)

C.f(2)<f(0)<f(-2)

D.f(0)<f(2)<f(-2)

5.函数 y=|x-3|-|x+1|的( )

A.最小值是 0,最大值是 4

B.最小值是-4,最大值是 0

C.最小值是-4,最大值是 4

D.没有最大值也没有最小值

6.函数 f(x)=1-x?11-x?的最大值是( )

4

5

A.5

B.4

3

4

C.4

D.3

题号123456

答案 二、填空题 7.函数 y=|x|+2 1的值域是________. 8.函数 y=-x2+6x+9 在区间[a,b](a<b<3)有最大值 9,最小值-7,则 a=________, b=__________. 9.若 y=-2x,x∈[-4,-1],则函数 y 的最大值为________. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x2-2x+2. (1)求 f(x)在区间[12,3]上的最大值和最小值; (2)若 g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围.
11.若二次函数满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
能力提升 12.已知函数 f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,构造函数 F(x),定义如下:当 f(x)≥g(x)时, F(x)=g(x);当 f(x)<g(x)时,F(x)=f(x),那么 F(x)( ) A.有最大值 3,最小值-1 B.有最大值 3,无最小值 C.有最大值 7-2 7,无最小值 D.无最大值,也无最小值

13.已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1,其中 a≥0,a∈R. (1)若 a=1,作函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
1.函数的最大(小)值 (1)定义中 M 首先是一个函数值,它是值域中的一个元素,如函数 f(x)=-x2(x∈R)的最 大值为 0,有 f(0)=0,注意对“存在”的理解. (2)对于定义域内任意元素,都有 f(x)≤M 或 f(x)≥M 成立,“任意”是说对每一个值都 必须满足不等式. 拓展 对于函数 y=f(x)的最值,可简记如下: 最大值:ymax 或 f(x)max;最小值:ymin 或 f(x)min. 2.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有 最值,如函数 y=1x.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数 f(x)在闭区间[a,b]上单调,则 f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或 f(b),最小值是 f(b)或 f(a). 3.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的草图,然后根据图象

的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二 次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

第 2 课时 函数的最大(小)值

知识梳理
1.(1)f(x)≤M (2)f(x0)=M (3)f(x)≥M 2.(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b) 作业设计

(4)f(x0)=M

1.A [由二次函数的性质,可知 4≤-(a-1),

解得 a≤-3.] 2.A [∵y=x+ 2x-1在定义域[12,+∞)上是增函数, ∴y≥f(12)=12,即函数最小值为12,无最大值,选 A.] 3.D [由 y=x2-2x+3=(x-1)2+2 知,

当 x=1 时,y 的最小值为 2,

当 y=3 时,x2-2x+3=3,解得 x=0 或 x=2.

由 y=x2-2x+3 的图象知,当 m∈[1,2]时,能保证 y 的最大值为 3,最小值为 2.] 4.D [依题意,由 f(1+x)=f(-x)知,二次函数的对称轴为 x=12,因为 f(x)=x2+bx+ c 开口向上,且 f(0)=f(1),f(-2)=f(3),由函数 f(x)的图象可知,[12,+∞)为 f(x)的增

区间,

所以 f(1)<f(2)<f(3),即 f(0)<f(2)<f(-2).]

??-4

?x≥3?

? 5.C [y=|x-3|-|x+1|= -2x+2 ?-1≤x<3? .

??4 ?x<-1?

因为[-1,3)是函数 y=-2x+2 的减区间,
所以-4<y≤4,综上可知 C 正确.] 6.D [f(x)=?x-121?2+43≤43.] 7.(0,2] 解析 观察可知 y>0,当|x|取最小值时,y 有最大值,
所以当 x=0 时,y 的最大值为 2,即 0<y≤2,
故函数 y 的值域为(0,2]. 8.-2 0 解析 y=-(x-3)2+18,∵a<b<3, ∴函数 y 在区间[a,b]上单调递增,即-b2+6b+9=9,
得 b=0(b=6 不合题意,舍去) -a2+6a+9=-7,得 a=-2(a=8 不合题意,舍去). 9.2 解析 函数 y=-2x在[-4,-1]上是单调递增函数,

故 ymax=--21=2.

10.解 (1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[12,3], ∴f(x)的最小值是 f(1)=1,又 f(12)=54,f(3)=5,

所以,f(x)的最大值是 f(3)=5, 即 f(x)在区间[12,3]上的最大值是 5,最小值是 1.

(2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,

m+2

m+2

∴ 2 ≤2 或 2 ≥4,即 m≤2 或 m≥6.

故 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).

11.解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=1,∴c=1,

∴f(x)=ax2+bx+1.

∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,

?? 2a=2 ∴?

?? a=1 ,∴?

,∴f(x)=x2-x+1.

??a+b=0

??b=-1

(2)由题意:x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立,

即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立.

令 g(x)=x2-3x+1-m=(x-32)2-54-m, 其对称轴为 x=32,

∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数,

∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,∴m<-1.

12.C [画图得到 F(x)的图象:
射线 AC、抛物线 AB 及射线 BD 三段, ?? y=2x+3,
联立方程组? ??y=x2-2x,
得 xA=2- 7, 代入得 F(x)的最大值为 7-2 7, 由图可得 F(x)无最小值,从而选 C.]

13.解 (1)当 a=1 时,f(x)=x2-|x|+1=???x2+x+1, x<0 . ??x2-x+1, x≥0

作图(如右所示). (2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1.

若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数,

g(a)=f(2)=-3. 若 a>0,则 f(x)=a(x-21a)2+2a-41a-1, f(x)图象的对称轴是直线 x=21a. 当 0<21a<1,即 a>12时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,
g(a)=f(1)=3a-2. 当 1≤21a≤2,即14≤a≤12时, g(a)=f(21a)=2a-41a-1, 当21a>2,即 0<a<14时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,
g(a)=f(2)=6a-3.

??6a-3,

0≤a<14

? 综上可得 g(a)= 2a-41a-1, 14≤a≤12

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??3a-2,

1 a>2



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