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湖南长沙一中高三第七次月考数学理科试题


湖南省长沙市一中 2008-2009 学年高三第七次月考
理科数学

命题:卿 科

审卷:卿 科

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120

分钟.

参考公式:

正棱锥、圆锥的侧面积公式

如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

1 S锥侧 ? 2 cl

如果事件 A、B 相互独立,那么

其中,c 表示底面周长、l 表示斜高或

P(A·B)=P(A)·P(B)

母线长

如果事件 A 在 1 次实验中发生的概率是

球的体积公式

P,那么 n 次独立重复实验中恰好发生 k

V球

?

4 ?R3 3

次的概率

Pn

(k)

?

C

k n

Pk

(1

?

P)n?k

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的.

1.复数 z ? (1? i)2 ? i 等于

A. ?2

B. 2

C. 2i

D. ?2i

2.设全集I是实数集 R. M ? {x | x2 ? 4}与N ? {x | 2 ? 1} 都是I的子集(如图所示, x ?1

则阴影部分所表示的集合为

A.?x x ? 2?

B.?x ?2 ? x ?1?

C.?x ?2 ? x ? 2? D.?x 1? x ? 2?

3.函数 f (x) ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是

A. ? 4

B. ? 2

C. ? 3

D. ?

4.设等差数列?an ?的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,则下列结论正确的是

A. Sn ? nan ? 2n?n ?1?

B. Sn ? nan ? 2n?n ?1?

C. Sn ? nan ? n?n ?1?

D. Sn ? nan ? n?n ?1?

5.抛物线 y 2

x2 ? ?8x 的准线与双曲线

?

y2

? 1 的两条渐近线所围成的三角形的面积为

82

A. 8

B. 6

C. 4

6.已知 0 ? a ? b ,且 a+b=1,则下列不等式中,正确的是

D. 2

A. log 2 a ? 0

B. 2a?b ? 1 2

C. log 2 a ? log 2 b ? ?2
7.在空间给出下列四个命题:

ab ?
D. 2 b a

?

1

2

①如果平面? 内的一条直线 a 垂直于平面 ? 内的任意一条直线,则? ⊥ ? ;

②如果直线 a 与平面 ? 内的一条直线平行,则 a ∥ ? ;

③如果直线 a 与平面 ? 内的两条直线都垂直,则 a ⊥ ? ;

④如果平面? 内的两条直线都平行于平面 ? ,则 a ∥ ? .其中正确的个数是

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

8.已知点 A(3 ,

? 3x ? y ? 0

3) ,O 是坐标原点,点 P(x , y) 的坐标满足 ???x ?

uuur 3y ? 2 ? 0 ,设 z 为 OA

? ??

y

?

0

uuur 在 OP 上的投影,则 z 的取值范围是

A.[? 3 , 3] B.[?3 , 3]

C.[? 3 , 3]

D.[?3 , 3]

9.把半径都为1的四个小球装入一个大球内,则此大球的半径的最小值为

A.1 ? 6 2

B.1 ? 3 2

C. 2 ? 6

D.1 ? 2 3 3

10.设点 P 是函数 f (x) ? sin x, x ? (0,? ) 图象上的任意一点.点 A 的坐标为 (? ,0) , O 为

坐标原点,则使得 ?OAP 为直角三角形的点 P 的个数是

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

第 II 卷

二.填空题:本大题共5小题,每小题 5 分(第 14、15 题第一空2分,第二空 3 分),共 25 分.把答案填在答.题.卡.中对应题号后的横线上.

11.二项式 ( x ? 2)9 展开式中 1 的系数为 ? 252 .

2x

x

12.若 lim x ? a ? b ,则 a ? b ? 2 . x?1 3 x ?1

13.在1, 2,3, 4,5 五个数字组成没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 24 .

14.已知⊙ O : x2 ? y 2 ? 1及直线 l : 2x ? y ? 5 ? 0 .点 P(x0 , y0 ) 是直线 l 上的任意一点.

过 P(x0 , y0 ) 作⊙ O 的两条切线 PA, PB , A, B 为切点.(i)当 x0 ? 2 时,则直线 AB

的方程为 2x ? 9 y ?1 ? 0 ;(ii) OA ? OB 的最大值为 ? 3 . 5

15.已知函数 f (x) ?| x ? 7 | ? | x ? 7 | .(i)函数 f (x) 的对称中心为 (0,0) ;(ii)若函数

3

3

g(x) ? (x ? a)(| x ?1? a | ? | x ? 3 |) ? 2x ? 4a 的图象有对称中心,则 a ? ? 2 . 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)

一袋中装有分别标记着 1、2、3、4 数字的 4 个球, 从这只袋中每次取出 1 个球, 取出

后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为? .

(1)求? ? 3 时 的概率;(2)求? 的概率分布列及数学期望.

解:(1)? ? 3 表示取出的三个球中数字最大者为 3.

①三次取球均出现最大数字为

3

的概率

P1

?

( 1 )3 4

②三取取球中有

2

次出现最大数字

3

的概率

P2

?

C32

(

1 4

)2

(

2 4

)

?

6 64

③三次取球中仅有

1

次出现最大数字

3

的概率

P3

?

C31

(

1 4

)(

2 4

)2

?

12 64



P(?

?

3)

?

P1

?

P2

?

P3

?

19 64



……………………………………………………6 分

(2)在? ? k 时, 利用(1)的原理可知:

P(?

?

k)

?

( 1 )3 4

?

C32

(

1 4

)2

(

k

? 4

1)

?

C31

(

1 4

)(

k

?1) 4

2

?

3k 2

? 3k 64

?1 ,( k

=1,2,3,4)

? 的概率分布为: ? P









1

7

19

37

64

64

64

64

E? =1×614+2×674+3×1694+4×6374 = 5156.………………………………………………12 分
17.(本小题满分 12 分)
如图, 在正方体 ABCD — A1B1C1D1中, E 为 AB 的中点. (1)证明:平面 EB1D ? 平面 B1CD ; (2)求 CE 与平面 B1DE 所成角的大小的正弦值. 解:(1)取 B1C 的中点 F, B1D 的中点 G, 连结
BF, EG, GF.

? CD ? 平面 BCC 1B1 , ?DC ? BF .

又 BF ? B1C , DC ? B1C ? C,

?BF ? 平面 B1CD .……………………………3 分

? GF 1 CD, BE 1 CD,

2

2

?BE GF ,?四边形 BFGE 是平行四边形, ? BF // EG.?EG ? 平面 B1CD.

又 EG ? 平面 EB1D , ?平面 EB 1D ? 平面 B1CD. ………………………………6 分

(2)过 C 作 CH ? B1D 于 H ,连结 EH .

由(1)中的平面 EB1D ? 平面 B1CD 知 CH ? 面 EB1D ,所以 CE 在面 B1DE 上的 射影为 HE ,所以 ?CEH 就是所求的角. …………………………………………9 分

令正方体的棱长为1,所以 CE ? 5 ,CH ? 6 ,所以 sin ?CEH ? 2 30 .

2

3

15

即 CE 与平面 B1DE

所成角的大小的正弦值为 2 30 15



…………………………12 分

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? e x ,过该函数图象上任意一点 (x0 , f (x0 ))的切线为 g(x) ? kx ? b (1)证明: y ? f (x) 图象上的点总在 y ? g(x) 图象的上方; (2)若 e x ? ax在x ? R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1) f (x0 ) ? e x0 , g(x) ? e x0 x ? x0e x0 ? e x0 , 设 h(x) ? f (x) ? f (x) ? e x ? e x0 x ? x0e x0 ? e x0 )

? h(x) ? e x ? e x0 ,当x ? x0时,h(x) ? 0, h(x) 为增, 当 x ? x0时,h(x) ? 0, h(x)为减,当 x ? x0时,h(x)取最小值 h(x0 ) ? 0 h(x) ? h(x0 ) ? 0, h(x) ? f (x) ? g(x) ? 0, f (x) ? g(x) , 所以 y ? f (x) 图象上的点总在 y ? g(x) 图象的上方. …………………………6 分

(2)当 x ? 0时,令F (x) ? e x , F ' (x) ? e x (x ?1) .

x

x2

x

(-∞,0) (0,1)

1

F‘(x)





0

F(x)





e

①当 x>0 时,F(x)在 x=1 时有最小值 e,

(1,+∞) + 增

? e x ? a,即e x ? ax恒成立的 a的范围是 a ? e . x
②当 x<0 时,F(x)为减函数,

x ? 0,F (x) ? ??,F (x) ? 0,? F (x) ? (??,0), e x ? 0 , x

? e x ? a,即e x ? ax恒成立的 a的范围是 a ? 0 . x
③当 x=0 时, a ∈R.

由①②③,e x ? ax 恒成立的 a 的范围是[0, e] . ……………………………………12 分

19.(本小题满分 13 分)
如图,一船在海上由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东? 角,前进

4 km后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 ? 角,已知该岛



M

周围 3.5 km范围内有暗礁,现该船继续东行.

α

β

(1)若? ? 2? ? 60 0 ,问该船有无触礁危险?

A

BC

如果没有,请说明理由;如果有,那么该船自 B 处向东航行多少距离会有触礁危险?

(2)当? 与 ? 满足什么条件时,该船没有触礁危险?

解:(1)作 MC ? AB ,垂足为 C ,由已知? ? 600 , ? ? 30 0 , 北

所以 ?ABM ? 1200 , ?AMB ? 300

α

M β

所以 BM ? AB ? 4 , ?MBC ? 600 ,

A

B DC

所以 MC ? BM ? sin 60 0 ? 2 3 ? 3.5 ,所以该船有触礁的危险. 设该船自 B 向东航行至点 D 有触礁危险,则 MD ? 3.5 ,

在△ MBC中, BM ? 4 , BC ? 2 , MC ? 2 3 , CD ? 3.52 ? (2 3)2 ? 0.5, 所以, BD ? 1.5( km).所以,该船自 B 向东航行1.5 km会有触礁危险. ……6 分

(2)设 CM ? x ,在△ MAB中,由正弦定理得, AB ? BM , sin ?AMB sin ?MAB

即 4 ? BM , BM ? 4 cos? ,

sin(? ? ? ) cos?

sin(? ? ? )

而 x ? BM ? sin ?MBC ? BM ? cos ? ? 4 cos? cos ? ,所以,当 x ? 3.5, sin(? ? ? )

即 4 cos? cos ? ? 7 ,即 cos? cos ? ? 7 时,该船没有触礁危险. …………13 分 sin(? ? ? ) 2 sin(? ? ? ) 8
20.(本小题满分 13 分)
在直角坐标平面中, ?ABC的两个顶点 A, B 的坐标分别为 A(?1,0) , B(1,0) ,平面内

两点 G, M 同时满足下列条件:

① GA ? GB ? GC ? 0 ;② MA ? MB ? MC ;③ GM ∥ AB . (1)求 ?ABC的顶点 C 的轨迹方程; (2)过点 P(3,0) 的直线 l 与(1)中轨迹交于不同的两点 E, F ,求 ?OEF 面积的最
大值.
解:(1)设 C(x, y) , G(x0 , y0 ) , M (xM , yM ). ? MA ? MB , ? M 点在线段 AB 的中垂线上.由已知 A(?1, 0) , B(1, 0) ,? xM ? 0 . …………1 分

又? GM ∥ AB ,? yM ? y0 .又 GA ? GB ? GC ? 0 ,

? ?? 1 ? x0 ,? y0 ? ? ?1 ? x0 ,? y0 ? ? ?x ? x0 , y ? y0 ? ? ?0,0?,

? x0

?

x 3

,

y0

?

y 3

? yM

?

y 3



………………………………………………3 分

? MB ? MC ,?

?0 ? 1?2

? ?? y

2
? 0??

?

?0

?

x?2

?

??

y

?

2
y ??



?3 ?

?3 ?

? x 2 ? y 2 ? 1 ?y ? 0?,?顶点 C 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 1 ?y ? 0?. …5 分

3

3

(2)设直线 l 方程为: y ? k(x ? 3)(k ? 0) , E(x1, y1 ) , F(x2 , y2 ) ,

?y ? k(x ? 3)



? ? ??

x

2

?

y2 3

?1

? ? 消去 y 得: k 2 ? 3 x2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 3 ? 0



? x1 ? x2

?

6k 2 k2 ? 3



x1 x2

?

9k 2 ? 3 . k2 ? 3

………………………………………7 分

? ? ? ?? ? 由方程①知 ? ? 6k 2 2 ? 4 k 2 ? 3 9k 2 ? 3 > 0 ,

? k 2 < 3 ,? k ? 0,? 0 < k 2 < 3 . ……………………………………………9 分

8

8

而 S?ABC

?

1 ? 3? | 2

y1

?

y2

|?

3?| 2

k

|?|

x1

?

x2

|?

3| k 2

|

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2

? 3 | k | 36 ? 96k 2 ? 3 9k 2 ? 24k 4 .………………………………………11 分

2(k 2 ? 3)

k 4 ? 6k 2 ? 9

令k2

?

t

,则

t

?

(0,

3 8

)



S

?ABC

?

3

9t ? 24t 2 t 2 ? 6t ? 9

.记

f

(t)

?

9t ? 24t 2 (t ? 3)2

(0

?

t

?

3) 8



求导易得当 t ? 3 时有 ?OEF 面积的最大值 3 .

17

2

……………………13 分

21.(本小题满分 13 分)

已知数列{an } 满足: an?2 ? (n ? 1)(an?1 ? an )(n ? N * ) ,且 a1 ? 0, a2 ? 1.求证:

(1)数列{an?1

? (n

? 1)an }为等比数列;(2) an

?

8 9

? n!? 1 ?

(?1) n 2



解:(1)由 an?2 ? (n ? 1)(an?1 ? an ) 得 an?2 ? (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)(an?1 ? an ) ? (n ? 2)an?1

? ?an?1 ? (n ? 1)an ? ?[an?1 ? (n ? 1)an ] .

而 a2 ? 2a1 ? 1 ? 0 ,所以 an?1 ? (n ? 1)an ? (?1)n?1 ,

所以数列{an?1 ? (n ? 1)an }为等比数列. …………………………………………4 分

(2)由(1)有 an ? an?1 ? (?1)n (n ? 2) . ……………………………………6 分 n! (n ?1)! n!

所以 a2n?1 ? a2n?2 ? ? 1 , a2n?2 ? a2n?3 ?

1

,……,

(2n ?1)! (2n ? 2)! (2n ?1)! (2n ? 2)! (2n ? 3)! (2n ? 2)!

a2 ? a1 ? 1 ,累和得 a2n?1 ? ?1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? 1

(2)! (1)! (2)!

(2n ?1)! (2n ?1)! (2n ? 2)!

3! 2!

? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ? 2 . …8 分

2! 3! 4! 5!

(2n ? 2)! (2n ?1)! 3! 5!

(2n ?1)!

因为 n!? n ? (n ?1) ?? ? 3? 2 ? 2n?1 ,………………………………………………9 分

所以 a2n?1 ? (2n ?1)!

1? 2

2 23

?

3 25

??

?

n ?1 2 2n?3

(n

?

N

*

)(检验n

?

1也成立

)



记S

?

1 2

?

2 23

?

3 25

??

?

n ?1 2 2 n?3

,用错位相减法得

S

?

8 [1? 9

( 1 )n?1 ] 4

?

4 3

?

n ?1 2 2 n?1

,所以

S

?

8 9



所以 a2n?1

?

8 9

? (2n

? 1)! ?

8 9

? (2n

?1)!? 1 ?

(?1) 2 n?1 2



即当 n 为奇数时命题成立.……………………………………………………………11 分

又 a2n ? 1 ? ?1 ? 1 ?? ? ?1 ? 1 ? 8 ? 1 ,

(2n)! (2n)! (2n ?1)! (2n ? 2)!

3! 2! 9 (2n)!

所以 a2n

?

8 ? (2n)!?1 ? 9

8 ? (2n)!? 1 ? (?1)2n

9

2

.即当 n 为偶数时命题成立.

综合以上得 an

?

8 9

? n!? 1 ? (?1)n 2

.………………………………………………13





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