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高三数学51第五章平面向量教师讲义手册课件全国版文新人教A版_图文


? 命题预测:
? 分析近年高考试题,平面向量部分突出考 查了向量的基本运算,由于大纲要求重在 基础,所以预计本章的命题趋势为:

? 1.考查向量的基本概念、性质和运 算.向量概念所含内容较多,如单位向量、 共线向量、方向向量等基本概念和向量的 加减法、实数与向量的积、向量的数量积 等运算,高考中或直接考查或用以解决有 关长度、垂直、夹角、判断多边形的形状 等.此类题一般以选择题形式出现,难度 不大.
? 2.解斜三角形这部分内容的考查,主要 是在三角形中考查正、余弦定理与三角恒 等变形知识的综合应用,因此,以三角形 为背景,以三角恒等变形公式、向量等为

? 3.考查平面向量的综合运用.向量的坐 标是代数与几何联系的桥梁,它融数、形 于一体,具有代数形式和几何形式的双重 身份,是中学数学知识的一个重要交汇点, 常与平面几何、解析几何、三角等内容交 叉渗透,使数学问题的情境新颖别致,自 然流畅.此类题一般以解答题形式出现, 综合性比较强,难度也比较大.

? 备考指南:
? 1.在复习过程中,抓住源于课本,高于 课本的指导方针,本章考题很多是课本的 变式题,即源于课本.因此,掌握双基、 精通课本是本章的关键.对基本概念要理 解到位,不留下盲点;运算要准确,特别 是向量互相垂直、平行的充要条件(坐标 运算形式).

? 2.在解决有关平面向量问题时,一要善 于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等 变换,正确地进行向量的各种运算,进一 步加深对向量这一二维(大小和方向)的量 的本质认识,并体会用向量处理问题的优 越性;二是向量的坐标运算体现了数与形 互相转化和密切结合的思想,所以要通过 向量法和坐标法的运用,进一步体会数形 结合思想在解决数学问题上的作用.

? 3.在解决解斜三角形问题时,要注意运 用正弦定理、余弦定理来解决问题,要体 会向量方法在解斜三角形中的应用;还要 体会解斜三角形是重要的测量手段,从而 提高解决实际问题的能力.

? 4.复习中应有意识地把向量与其它内容 进行整合.如向量与三角函数、函数、解 析几何等,特别是平面向量与三角知识的 融合交汇问题,在以后的高考中一定会有 所体现.
? 5.本章高考题型既会有基本的选择题和 填空题,又会有小型或大型的综合题.复 习时既要熟练掌握基本题型,又要对有一 定难度的大型综合题进行针对性的准备.

? ●基础知识

? 一、向量的有关概念

? 1.向量:既有大小 又有方向 的量叫做向 量,向量的大小叫做向量的 长度 (或 模).

? 2.零向量:长度为0 量,其方向是 任意

的向量叫做零向

? 的.

? 3.单位向量:长度等于 1个单位长度 的 向量, 是与a同向的单位向量,- 是 与a反向的单位向量.
? 4.平行向量:方向 相同 或 相反 的 非零 向 量,平行向量又叫 共线向量,任一组平行 向量都可以移到同一直线上.规定:0与 任一向量 平行 .
? 5.相等向量:长度 相等 且方向 相同 的向 量.
? 6.相反向量:长度 相等 且方向相反 的向 量.

? 二、向量的表示方法
? 1. 字母 表示法:如:a, 等. ? 2. 几何 表示法:用一条有向线段表示
向量.
? 3.代数 表示法:在平面直角坐标系中, 设向量 的起点O在坐标原点,终点A坐 标为(x,y),则(x,y)称为 的坐标,记为 =(x,y).

? 三、向量的加法和减法

? 1.加法 ? ①法则:三角形 法则,平行四边形 法则,
加法定义即三角形法则;以a,b为邻边 作平行四边形ABCD(取同一起点),即 则 即为a,b的和.

? ②运算性质:

? a+b=

(交换律);

? (a+b)+b+c=a

(结合律);

? a+0=

=a+a(b.+c)

0+a

? ③加法的几何意义:从法则可以看出,如 下图所示

? 2.减法

? ①法则:三角形法则



? ②几何意义:如右图所示.

? 四、实数与向量的积

? 1.定义:实数λ与向量a的积是一个向λa量, 记作 ,它的长度与方向规定如下:

? ①|λa|= |λ||a| ;

? ②当λ>0时,λa与a的方向 相同;当λ<0时,

λa与a的方向

;当λ=相反0时,λa= .

? 2.运算律:0 设λ,μ∈R,则:

? ①λ(μa)=

;②(λ+μ)a



;(λμ)a

? ③λλ(aa++μab)=

.

λa+λb

? 五、两个向量共线定理:向量b与a(a≠0)

共线的充要条件是

有 且只有一个实数λ,使得b=λa

.

? 六、平面向量基本定理

? 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向 量,那么对于这一平面内的任一向量a,

有且只有一对实数λ1,λ2,使

得 a=λ1e1+λ2e2

.

? 我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这个 平面内所有向量的一组 基底 .

? 一、向量的有关概念应用失误.
? 1.给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b; ②若|a|>|b|,则a>b;③若a=b,则 a∥b;④若a∥b,则a=b;⑤若a=b, 则|a|=|b|,其中,正确命题的序号是 ________.(把你认为正确的命题序号都 填上)
? 答案:③⑤

? 2.给出下列命题:①若

则四

边形ABCD为平行四边形;②在?ABCD

中,一定有

③若m=n,n=

p,则m=p;④若a∥b,b∥c,则a∥c.

其中正确命题的序号为________.

? 答案:②③

? 二、向量数乘应用失误.
? 4.已知λ,μ∈R,则下列各命题:①λ< 0,a≠0时,λa与a的方向一定相反;②λ >0,a≠0时,λa与a的方向一定相同; ③λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相 同;④λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一 定相反,则正确命题的序号为 ________.

? 三、平行向量基本定理的应用失误. ? 5.设两个非零向量e1,e2不共线,且
(ke1+e2)∥(e1+ke2),则实数k的值为 ________. ? 答案:1或-1

? 1.给出下列命题 ? ①向量 的长度与向量的 长度相等; ? ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相
同或相反;
? ③两个有共同起点而且相等的向量,其终 点必相同;
? ④两个有共同终点向量,一定是共线向量; ? ⑤向量 与向量 是共线向量,则点A、
B、C、D必在同一条直线上;
? ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线 段.
? 其中假命题的个数为 ()

? A.2

B.3

? 答案:C

C.4

D.5

? 2.(教材P1195题改编)如图,四边形 ABCD中

? 则相等的向量是

()

? 解析:∵ ? ∴四边形ABCD是平行四边形.
? 答案:D

? 答案:A

? A.2 ? C.-2 ? 答案:A

B.3 D.-3

? 5.(教材P1136题改编)化简: ? 答案:(1)0 (2)0 (3)0 (4)0

? 【例1】 判断下列命题是否正确,不正 确的说明理由.
? (1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
? (2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且 方向相同或相反;

? (3)对于任意向量|a|=|b|,且a与b的方向 相同,则a=b;
? (4)由于0方向不确定,故0不能与任意向 量平行;
? (5)向量 与向量 是共线向量, 则A、 B、C、D四点在一条直线上;
? (6)起点不同,但方向相同且模相等的几 个向量是相等向量.

? [解析] (1)不正确.因为向量是不同于数 量的一种量,它由两个因素来确定,即大 小与方向,所以两个向量不能比较大小, 故①不正确.
? (2)不正确,由|a|=|b|只能判断两向量长 度相等,不能判断方向.
? (3)正确.∵|a|=|b|,且a与b同向,由两 向量相等的条件可得a=b.

? (4)不正确.由零向量性质可得0与任一向 量平行,可知④不正确.
? (5)不正确.若向量 与向量 是共线 向量,则向量 与 所在的直线平行 或重合,因此,A、B、C、D不一定共 线.
? (6)正确.对于一个向量只要不改变其大 小与方向,是可以任意移动的.

? [总结评述] 对于向量中的零向量、平行 向量、相等向量等概念,应有正确认识, 才能做出正确解答.

? ? 判断下列各命题的真假. ? (1)若|a|=|b|,则a=b; ? (2)若A、B、C、D是不共线的四点,则
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; ? (3)若a=b,b=c,则a=c; ? (4)两个向量相等的充分必要条件是它们
的起点相同,终点相同;
? (5)|a|=|b|是a=b的必要不充分条件; ? (6)若a∥b,b∥c,则a∥c(b≠0).

? 解:(1)不正确,两个向量的长度相等, 方向不一定相同.
? (2)正确.
? (3)正确,因为向量相等是模与方向均相 同,从而a=c.
? (4)不正确,充要条件是大小相等且方向 相同;起点相同,终点相同是两向量相等 的充分不必要条件.
? (5)正确,因为|a|=|b| /?a=b,但a= b?|a|=|b|.
? (6)正确,根据向量平行的定义可知,命

? [总结评述] 本例中应用了向量的加减法 运算,注意了M、N将AB和OD所分成的 比例,以达到用a、b来表示的目的.

? (2009·湖南,4)如图所示,D,E,F分

别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,



()

? 答案:A

? 答案:A

? 【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
? (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共 线.

? 又它们有公共点B,∴A、B、D三点共 线.

? (2)∵ka+b与a+kb共线,
? ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
? 即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk- 1)b.
? ∵a、b是不共线的两个非零向量,
? ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.
? ∴k=±1.
? [反思归纳] 证明三点A、B、C共线,借 助向量,只需要证明由这三点A、B、C 所组成的向量中有两个向量共线,即这两 个向量之间存在一个实数λ,使a=

?

? (2009·北京,2)已知向量a、b不共线,c

=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那



()

? A.k=1且c与d同向 与d反向

B.k=1且c

? C.k=-1且c与d同向 且c与d反向

D.k=-1

? 答案:D

? 解析:∵c∥d且a,b不共线, ? ∴存在唯一实数λ使c=λd. ? ∴ka+b=λa-λb,
? 故选D.

? 思路点拨:由于A、C、D三点共线,因

此存在实数λ,使

因而可据已

知条件和向量相等条件得到关于λ、k的方

程,从而求出k.

? 方法技巧:向量共线的充要条件中要注意 当两向量共线时,通常只有非零向量才能 表示与之共线的其他向量,要注意待定系 数法的运用和方程思想.

? 1.0与实数0有区别,0的模为数0,它不 是没有方向,而是方向不定.0可以看成与 任意向量平行.
? 2.由a∥b,b∥c不能看到a∥c.取不共 线的向量a与c,显然有a∥0,c∥0.
? 3.注意向量加法的三角形法则与向量减 法的三角形法则的根本区别与联系.



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