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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第7章+第45讲+简单复合函数的导数


1.函数y ? ?x ?1?2 ?x ?1?在x ?1处的导数为 4

解析:因为y?

?

2?x

?1?? x

?1?

?

?x

? 1?2

, y x ?1

?

4.

2.y ?

1

的导数等于 y? ?

12

?1

?

3x

??5
.

 

?1? 3x?4

3.下列函数:①y ? 2 ? 1 cos2x;②y ? 2 ? 1 sin2 x;

4

2

③y ? 1 sin2 x;④y ? x ? 1 cos2 x,其中导数不等

2

2

于y? ? 1 sin2x的是 ④  .
2

解析:①y? ? (2 ? 1 cos2x)? ? 0 ? 1 ??sin2x??2x??

4

4

? 1 sin2x ? 2 ? 1 sin2x.

4

2

②y? ? (2 ? 1 sin2 x)? ? 0 ? 1 ? 2sinx ? ?sinx??

2

2

? 1 ? 2 ? sinx ? cosx ? 1 sin2x.

2

2

③y? ? (1 sin2 x)? ? 1 ? 2sinx ?sinx??

2

2

? 1 ? 2sinxcosx ? 1 sin2x.

2

2

④y? ? (x ? 1 cos2 x)? ? 1? 1 ? 2cosx ?cosx??

2

2

? 1? 1 ? 2cosx ??sinx? ? 1? 1 sin2x.

2

2

故④的导数不等于y? ? 1 sin2x. 2

4.下列函数①f ? x? ? ? x ?1?3 ? 3? x ?1?; ②f ? x? ? 2? x ?1? ? 3; ③f ? x? ? 2? x ?1?2 ? 3; ④f ? x? ? x ?1,
其中在x ? 1处的导数为3的是 ①  .

【解析】当f ? x? ? ? x ?1?3 ? 3? x ?1?时, f ?? x? ? 3? x ?1?2 ? 3,在x ? 1处的导数为3;
当f ? x? ? 2? x ?1? ? 3时,f ?? x? ? 2; 当f ? x? ? 2? x ?1?2 ? 3时,f ?? x? ? 4? x ?1?; 当f ? x? ? x ?1时,f ?? x? ? 1.
故在x ? 1处的导数为3的是①.

简单复合函数
【例1】试说明下列函数是怎样复合而成的?
?1? y ? ?2 ? x2 ?3 ;
?2? y ? sinx2.

【解析】
? ? (1)函数y ? 2 ? x2 3 由函数y ? u3和
u ? 2 ? x2复合而成.
?2?函数y ? sinx2由函数y ? sinu和u ? x2复合而成.

讨论复合函数的构成时,“内层”、 “外层”函数一般应是基本初等函数,如一次 函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角 函数等.

【变式练习1】写出由下列函数复合而成的函数:
?1? y ? cosu,u ? 1? x2; ?2? y ? lnu,u ? lnx.
【解析】
? ? (1)y ? cos 1? x2 .
?2? y ? ln ?lnx?.

简单复合函数的求导

【例2】 ? ? 设a>1,f ? x? ? x2 ? ax ? 1 ? e1?x,

g

?

x?

?

2a

?

1

?

(2a x?

? 1

1)x

?

x2

.若存在x1,x2

??0,1?,

使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 1,求a的取值范围.

【解析】
? ? 由f ?? x? ? ?2x ? a? ? e1?x ? x2 ? ax ? 1 ? e1?x ? ??1? ? 0,
得? x ?1? ??x ? ?1? a??? ? 0,
所以x3 ? 1,x4 ? 1 ? a,因为a>1,所以x4<0.
所以当x ? (??,1 ? a)时,函数单调增,x ? ?1 ? a,1?时,
函数单调减,x ? (1,? ?)时,函数单调增, 所以当x ? 1 ? a时,函数取得极大值,当x ? 1时,函 数取得极小值,为a ? 2. 同理,由

g?

?

x?

?

(2a

?

1

?

2 x)( x

?

1)

? [(2a ? (x ? 1)2

1)

?

(2a

?

1) x

?

x2

]

=0

得x5 ? 0,x6 ? ?2.
所以当x ? (??,? 2)时,函数单调减,x ? ??2, 0?时,

函数单调增,x ? (0,? ?)时,函数单调减,

所以当x ? ?2时,函数取得极小值,当x ? 0时,函

数取得极大值,为2a ? 1.

因为x1,x2 ??0,1?,所以要使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 1,

只需 a ? 2 ? ?2a ? 1? ? 1,

所以 a ? 3 ? 1,所以2 ? a ? 4.

要牢记微积分基本定理.利用复合函数的 导数,研究函数的单调性,从而研究函数的极值.
将x1,x2 ??0,1?,使得 | f ? x1 ?? ? g ? x2 ? |? 1恒成立
问题转化为 | a ? 2 ? (2a ?1) |? 1是解决问题的关键.

【变式练习1】已知f

?

x

?

?

asin2x

?

1 3

sin3x(a为常

数)在x ? ? 处取得极值,则a等于_____0_____ .
6

【解析】因为f ? ? x? ? 2acos2x ? cos3x,

所以f ?(?

)?

?
2acos

? cos ?

?a

?

0 ? 0,

6

3

2

解得a ? 0.

1.设曲线y ? eax在点?0,1?处的切线与直线x ? 2y

?1 ? 0垂直,则a ? 2

【解析】由y? ? aeax |x?0 ? a,得a ? 2.

2.已知f0

?x?

?

sin(

x

?

?
3

),f1

?

x

?

?

f0?? x?,f2

?x?

?

f1 ? ?

x ?,则f 2

?(?
6

)

?

 0

 .

3.试说明下列函数是怎样复合而成的?
?1? y ? cos(? ? x);
4
?2? y ? lnsin ?3x ?1?.
【解析】
?1?函数y ? cos(? ? x)由函数y ? cosu和
4
u ? ? ? x复合而成.
4
?2?函数y ? lnsin ?3x ? 1?由函数y ? lnu,
u ? sinv和v ? 3x ? 1复合而成.

4. 函数y ? ?2x ? 1?5 的导数为 _1_0_(_2_x_?__1_)4  .

【解析】

设y ? u5,u ? 2x ? 1,

? ? 则yx ? ? yu ? ? ux ? ?

u5

? ? ?2x ? 1??
u

? 5u4 ? 2 ? 5?2x ? 1?4 ? 2 ? 10 ?2x ? 1?4 .

5.

函数y

?

sin2

(2x

?

?
3

)的导数为 __y_x_?__2_s_i_n_(4_x__?__23_?_)_.

【解析】

令y ? u2,u ? sin(2x ? ? ),再令u ? sinv,v ? 2x ? ? .

3

3

所以yx ? ? yu ? ? ux ? ? yu ?(uv ? ? vx ?),

? ? 所以yx ? ? yu ? ? uv ? ? vx? ?

u2

?
u ? ? (sinv)v? ? (2x ? 3 )x?

? 2u ? cosv ? 2

? 2sin(2x ? ? )cos(2x ? ? ) ? 2

3

3

? 4sin(2x ? ? )cos(2x ? ? )

3

2

? 2sin(4x ? 2? ),
3

即yx

?

?

2sin(4x

?

2?
3

).

1.简单复合函数的导数
(1)设函数 u=u(x) 在 x=x0 处有导数 u′=u′(x),函数 y=f(u) 在 x0 的对应点 u 处 也有导数yu′=f ′(u),则复合函数y=f[u(x)] 在 x=x0 处 存 在 导 数 , 且 yx′=yu′· u′=f ′ [u(x)]·u′(x).

(2)求复合函数的导数的两种方法,方法一 直接利用复合函数的求导公式,分清复合函数 的复合关系,选好中间变量是关键,其步骤是: 分解,求导,回代;方法二先将其等价变形, 再进行求导.

2.在利用复合函数的求导法则求导数后, 要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函 数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复 合函数的导数时,先要弄清复合函数是由哪些 基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一 部分看作一个整体,然后按照复合次序从外向 内逐层求导.



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