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2012届数学北师大版课件2.3.1双曲线的标准方程(选修2-1)_图文


双曲线定义

问题1:椭圆的定义是什么?
Y

平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M ? x, y ?

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

问题2:如果把上述定义中“距离的和”改为 “距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变 化? 即:平面内与两定点F 、F 的距离的 差 等于常数
1 2

的点的轨迹是什么呢?

实验探究:
如图A取一条拉链,拉开它的一部 分,在拉开的两边上各选择一点,分 别固定在F1F2上,把笔尖放在点M 处,随着拉链逐渐拉开和闭合,笔尖 所经过的点就画出一条曲线.这是 一条怎样的曲线呢? 如果按图B那样固定拉链,又可得 一条怎样的曲线呢?
拉链实验演示

①如图(A),
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹 叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

② |F1F2|=2c ——焦距.

M o

||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<2c)
注意

F1

F2

(1)2a<2c ;

(2)2a >0 ;

问题3:定义中为什么要强调差的绝对值?
1, 若 MF1 ? MF2 ? 2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

双曲线右支 则图形为 ______________________
2, 若 MF1 ? MF2 ? ?2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

F1

F2

双曲线左支 则图形为 ______________________
显示曲线

问题4:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|? 如果不小于|F1F2 | ,轨迹是什么?
①若2a=2c,则轨迹是什么? 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线

②若2a>2c,则轨迹是什么?
此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么?
显示曲线

此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

y

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤:
F1
O

M

F2

x

1.建系: 2.设点: 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式: |MF1| - |MF2|=±2a



? x ? c?

2

?y ?
2

? x ? c?

2

? y ? ?2a
2

4.化简:

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

?

( x ? c) 2 ? y 2
2

? ?
2

? ?2a ? ( x ? c) 2 ? y 2
2 2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c ) ? y
2 2 2 2 2 2 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2

c ?a ?b
2 2

2

x a2

2

? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程

双曲线的标准方程:
2 y 方程 a2 - b2 = 1 (a>0,b>0) 叫做双曲线的标准方程

M
y

y
o
y F2

x2

它表示的双曲线焦点在x轴上, 焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
2 2 2 x y x -y 1 方程 a2 b2 = (a>0,b>0) x 叫做双曲线的标准方程

x

F1

F2

x

它表示的双曲线焦点在y轴上, 焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2 M

y

o
F1
x x

y

练习1.判断下列方程是否表示双曲线,若是, 求出三量 a,b,c 的值

x y ?1 ( 1) ? 4 2 √
2 2

x x ? ?1 ( 2) 4 ?2 × a ? 2, b ? 2, c ? 6.
2 2

2

2

x y ? ?√ 1 ( 3) ?4 ?2

x x ? ?1 ( 4) ?4 2 ×

2

2

a ? 2, b ? 2, c ? 6.

练习2.写出以下双曲线的焦点坐标

x y 1. ? ?1 16 9 2 2 y x 3. ? ?1 16 9
2 2

2

2

x y 2. ? ? 1 F(±5,0) 9 16 2 2 y x 4. ? ? 1 F(0,±5) 9 16

2

2

问题5:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正,则在 哪一个轴上

问题6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程 有何区别与联系?
椭 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

定义
方 程

|MF1|+|MF2|=2a
x y ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c a不一 的关系 a>b>0,a2=b2+c2 a>0,b>0,但 2 2 2
定大于b,c =a +b

例 题

例1(1)已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对 值等于8,求双曲线的标准方程.
小结:求标准方程要做到先定型,后定量。 变题1:将条件改为双曲线上一点P到 F1,F2的距离的差等于8,如何? 变题2:将条件改为双曲线上一点P到 F1,F2的距离的差的绝对值等于10,如何?

变题3:已知双曲线

x2 y2 ? ?1 16 9 的左支上

一点P到左焦点的距离为10,则点P到 右焦点的距离为________. 变题4:已知双曲线
x2 y2 ? ?1 16 9

上一点P到

左焦点 的距离为 8,则 F1 ________.

?PF 的周长为 1F2

例1(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6), 经过点A(-5,6),求双曲线的标准方程
y2 x2 ? ?1 16 20

注:待定系数法和定义法的运用

x y 例2:如果方程 ? ? 1 表示双曲 2? m m ?1 线,求m的取值范围.

2

2

解: 由(2 ? m)(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1 ∴ m 的取值范围为 (??, ?2) (?1, ??) 变题1: 2 2 方程 x ? y ? 1 表示焦点在y轴双曲线时, 2? m m ?1

m ? ?2 则m的取值范围_____________.
变题2:讨论方程 表示的曲线

Ax2 ? By2 ? C?A, B, C都不为0?



练习

x2 y2 1.k ? 3是方程 ? ? 1表示双曲线的 _____ 条件. 3 ? k k ?1 9 2.已知双曲线过点(3, ?4 2)和( ,5), 则双曲线方程为 ____ . 4 2 2 2 2 x y x y 3.椭圆 ? 2 ? 1与双曲线 ? ? 1有相同焦点, 则a=__. 4 a a 2 4.设动点M到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差为6, 则点P的轨迹方程为__________. 5.双曲线x ? 4 y ? 4的左右焦点分别为F1 , F2 , 过F1的直线交
2 2

右支于A,B两点,若 AB ? 5, 则 AF1 B的周长为 ______ .

课堂小结

双曲线的定义

双曲线的标准方程

应用

设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线 4 AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 9 , 试求点M的轨迹方程.由斜率之积你有什么发 现?
分析:设点M的坐标为(x,y),那 么直线AM,BM的斜率就可以用含 x,y的式子表示4 ,由于直线AM,BM 的斜率之积是 9 ,因此,可以建 立x,y之间的关系式,得出点M的 轨迹方程
y M

Ao

B

x

解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0), y 所以直线AM的斜率是

k AM ?

x?5

( x ? ?5)

同理,直线BM的斜率是 y k BM ? ( x ? 5) 由已知有 x ?5 y y 4 ? ? ( x ? ?5) x ?5 x ?5 9
化简,得点M的轨迹方程为

x y ? ? 1( x ? ?5) 25 100 9

2

2

进一步分析,可以发现: 一个动点M与两个定点A、B连线的斜率之积是 一个正常数n.则动点M的轨迹为双曲线(扣除 这两个定点) 当斜率之积是一个负常数n(n<0)时呢? 当n=-1时,动点M的轨迹为圆(扣除这两个点). 当n<0且n ? -1时,动点M的轨迹为椭圆(扣除这两 个定点). 以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法.

例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地 与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为 |AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线 在靠近B处的一支上. 如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x AB ? 800 即 2a=680,a=340 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置 . 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

思考 3: 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告: 正西、 正北两个观测点同时听到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各 观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生 的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点 均在同一平面上)

分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来 . 那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.

P

yC

?

A

o

B

x

要求曲线的方程 , 恰当的建立坐 标系是一个关键.

解:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点, 则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020). 设 P(x,y)为巨响点, 由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =-x,
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 ? 2 ? 1 的一支上, a b 依题意得 a = 680, c = 1020,? b2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 ? ?1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 ? 340
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5, y ? 680 5, 即P(?680 5,680 5), 故PO ? 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.



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