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2019届贵州省遵义航天高级中学高三第六次模拟考试数学(文)试题(PDF版)


高三第六次模拟考 试 文科数学
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1、设集合

A

?

?x lg

x

?

0?, B

?

??x ?

(

1 5

)

x

?

5?则

A?

B

?(

)

A.?x ?1 ? x ? 1? B.?x 0 ? x ? 1? C.?x x ? 0? D. R

2、复数 z ? 2 ? ai, (a ? R) 的共轭复数为 z ,若 z ? z ? 5 ,则 a= A. ? 1 B. ? 3 C.1或3 D. ?1或 - 3
3、下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为( )

A .图 1

B. 图 2

C. 图 3

D.图 4

4、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,

竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程

序框图,若输入的 a 、 b 分别为 5,2,则输出的 n ? ( )

A.2 B.3

C.4 D.5

5、在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 2bc sin A ? b2 ? c2 ? a 2 ,

?ABC 的外接圆半径为 2 ,则 a 的值为( )

A. 1 B.2

C. 2

D. 2 2

6、已知数列 ?an ?满足 2an ? an?1 ? an?1 ? an ? 0 ,且 a1 ? 1,则数列 ?an ?的通项公式为( )

A. an

?

n 2n ?1

B. an ? 2n?1

C.

an

?

1 2n ?1

D. an ? n2

?x ? 0

7.某同学为了模拟测定圆周率,设计如下方案;点

D(x,

y)

满足不等式组

? ?

y

?

0

,向圆 x 2 ? y 2 ? 1 内均

??x ? y ? 1

匀撒 M 粒黄豆,已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是 N ,则圆周率? 为( )

-1-

N A. M

2N B. M

2M C. N

M D. 2N

8.如图是某多面体的三视图,则该多面体的体积是( )

A. 22

B. 24

C. 26

D. 28

9、将函数 f (x) ? sin(2x ? ?)(? ? ? ) 的图象向右平移 ? 个单位,所得到的图象关于 y 轴对称,则函数

2

12

f

(

x)



?0,?
2

? ??

上的最小值为(



A. 3 2

B. 1 2

C.

?1

2

D.- 3 2

10、已知正三棱锥 S ? ABC 的底面是面积为 3 的正三角形,高为 2 2 ,则其内切球的表面积为( )

A 、 16? 3

B 、 8? 3

C 、 16? 9

D、 8? 9

11、已知椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 , P 是椭圆上一点, ?PF1F2 是以 F2 P 为

底边的等腰三角形,且 600 ? ?PF1F2 ? 1200 ,则该椭圆的离心率的取值范围是( )

A. ( 3 ? 1 ,1) B. ( 3 ? 1 , 1 )

2

22

C. (1 ,1) D. (0, 1)

2

2

12.若对任意的实数 a,函数 f (x) ? (x ?1) ln x ? ax ? a ? b 都有两个不同的零点,则实数 b 的取值范围是

()
A(??,?1]

B(??,0)

C.(0,1)

D (0,??)

二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.在等比数列 ?an ?中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? 1 , a2 ? a3 ? a4 ? 2 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? ___

14.若双曲线 x 2 a2

? y2 b2

? 1的一条渐近线经过点 (3,?4) ,则此双曲线的离心率为 __________;

15.若函数 f (x) ? (a ? 1)x3 ? ax2 ? 2x 为奇函数,则曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

?2x, x ? 0

16.已知

f (x) ? ??log 3

x, x

,则函数 y ? ?0

f ( f (x)) ? 1的零点的个数是 ____________________;

-2-

三、解答题:(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题。第 22、23 题为选考题。)
17. (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ,满足
sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? ? 3 sin B sin C (1)求角 A 的大小 (2)若 a ? 1, B ? ? ,求 ?ABC 的面积。
3
18.(12 分)为响应绿色出行,前段时间贵阳市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”, 其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程按 1 元/公里计费;②行 驶时间不超过 40 分钟时,按 0.12 元/分钟计费;超出部分按 0.20 元/分钟计费,已知张先生家离上班地点 15 公里,每天租用该款汽车上、下班各一次。由于堵车、红路灯等因素,每次路上开车花费的时间 t(分 钟)是一个随机变量。现统计了 100 次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:

时间 t(分钟) (20,30]

频数

4

(30,40] 36

(40,50] 40

(50,60] 20

将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车的时间,范围为(20,60] 分钟。 (1)写出张先生一次租车费用 y(元)与用车时间 t(分钟)的函数关系式; (2)若公司每月给 900 元的车补,请估计张先生每月(按 24 天计算)的车补是否足够上下租用新能源分 时租赁汽车?并说明理由。(同一时段,用该区间的中点值作代表)

19.(12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形。且 ?ABC ? 600 , E 是 PD 中点。 (1)证明: PB ∥平面 ACE (2)若 AP ? PB ? 2 , AB ? PC ? 2 求三棱锥 C ? PAE 的体积.

20. (12 分)设抛物线C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l 。
-3-

已知以 F 为圆心,4 为半径的圆与 l 交于 A,B 两点,E 是该圆与抛物线 C 的一个交点,?BAE ? 900
(1)求 p 的值; (2)已知点 P 的纵坐标为-1 且在抛物线 C 上,Q,R 是抛物线 C 上异于点 P 的另外两点,且直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为-1,试问直线 QR 是否经过一定点,若是,求出定点的坐标,若不是,请说明理由。

21. (12 分)已知函数 f (x) ? e x sin x ? ax 2 . (1)求曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 的切线方程;

(2)若

f

(x)

?

0

在区间

???0,

? 2

? ??

上恒成立,求 a 的取值范围。

22.

(10

分)[选修 4-4

坐标系与参数方程]在平面直角坐标系

xoy

中,直线

l

的参数方程为

?x

? ?

y

? t ?1 (t
? 2t ? 1

为参数),以原点 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 c 的极坐标方程为 ? 2 (1 ? 3sin 2 ? ) ? 4

(1)求直线 l 的普通方程和曲线 c 的直角坐标方程。

(2)若直线 l 与曲线 c 交于两个不同的点 P, Q ,求 ?OPQ 的面积。

23.(10 分)[选修 4-5 不等式]已知函数 f ? x? ? x ? a2 ? x ? 2a ? 3 1.证明: f ? x? ? 2
2.若 f (? 3) ? 3 ,求实数 a 的取值范围. 2

-4-

文科数学答案

一、选择题:BAACB CDBDD BB

二、填空题:13、 128

14、 5 3

15、 y ? x ? 2 16、3

17 解析:(1) sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? ? 3 sin B sin C ,

得即 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? 3 sin B sin C

b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc , cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 3

2bc

2

又 A ? (0,? ), A ? ? 6 ......................6 分

(2)当 B ? ? ,则由 A ? ? 知 C ? ?

3

6

2

故 ?ABC 是以 C 为直角的直角三角形。

因为 a ? 1,所以 b ? 3 ,所以 ?ABC 的面积为 3 2 ...........12 分

18 解析:(1)当 20 ? t ? 40 时, y ? 0.12t ?15

当 40 ? t ? 60 时, y ? 0.12 ? 40 ? 0.12 ? (t ? 40) ?15 ? 0.2t ?11.8

得:

y

?

?0.12t ? 15,20 ? t ? 40 ??0.2t ? 11.8,40 ? t ? 60

.............6



(2)张先生租用一次新能源分时汽车上下班,平均用车时间为:

t ? 25? 4 ? 35? 36 ? 45? 40 ? 55? 20 ? 42.6

100

100

100

100

每次上下班租车的费用约为 o.2 ? 42.5 ?11.8 ? 20.32

一个月上下班租车的费用约为 20.32 ? 24 ? 2 ? 975.36 ? 900 ,

估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用。..........12 分

-5-

19.

20.解析:(1)由题意及抛物线的定义,有 AF ? EF ? AE ? 4

所以 ?AEF 是边长为 4 的等边三角形

设准线 l 与 x 轴交于点 D,则 DF ? p ? 1 AF ? 1 ? 4 ? 2 .........5 分

2

2

(2)设直线 QR 的方程为 x ? my ? t ,点 Q(x1, y1), R(x2 , y2 )

?x ? my ? t



? ?

y

2

?

4x

,得 y 2 ? 4my ? 4t ? 0

-6-

则 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4t , ? ? 16m2 ? 16t ? 0

又因为点 P 在抛物线 C 上,则 K PQ ?

y p ? y1 x p ? x1

?

y p ? y1 y p 2 ? y12

?

4 y p ? y1

?

4 y1 ?1

44

同理可得 K PR

?

4 y2 ?

1

,因为

K

PQ

? KPR

? ?1

所以 4 ? 4 ? 4( y1 ? y2 ) ? 8 ? 16m ? 8 ? ?1 y1 ?1 y2 ?1 y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 4t ? 4m ? 1
解得 t ? 3m ? 7 4

?

?? ? 16m2 ? 16t ? 0



???t ?

?

3m

?

7 4

?1 ?? 4

?

m ? (?1)

?

t

解得 m ? (??,? 7) ? (1 ,1) ? (1,??) 22

所以直线 QR 的方程为 x ? m( y ? 3) ? 7 4 .............10 分

故直线 QR 过定点 (? 7 ,?3) ..............12 分 4
21.解析:(1)由 f (x) ? e x sin x ? ax2 ,得 f (0) ? 0

由 f ' (x) ? e x (cos x ? sin x) ? 2ax ,得 f ' (0) ? 1,则切线的斜率为 1 所以切线方程为 y ? x 。...........5 (2)①当 x ? 0 时, f (0) ? 0 ,所以 a ? R

②当

0

?

x

?

? 2

时,

a

?

ex

sin x2

x

令 g(x) ? ex sin x , x ? (0, ? ]

x2

2

则 g ' (x) ? ex[x(sin x ? cos x) ? 2sin x] ,令 G(x) ? x(sin x ? cos x) ? 2sin x, x ? (0, ? ]

x3

2

则 G' (x) ? (cos x ? sin x)(x ?1)

-7-

①当 0 ? x ? ? 时, G' (x) ? 0,G(x)单调递减 4
②当 ? ? x ? 1时, G' (x) ? 0,G(x)单调递增 4
③当1 ? x ? ? 时, G' (x) ? 0,G(x)单调递减 2
又 G(0) ? 0,G(1) ? cos1 ? sin 1 ? 0 ,所以 G(x) ? 0 ,即 g ' (x) ? 0 。

?

所以

g(x)



(0,

? 2

] 上单调递减,

g(x)

?

g(? 2

)

?

4e 2 ?2

?
所以 a ? 4e 2 ? 2 ............12 分

22 解析:(1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程: 2x ? y ?1 ? 0

因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以曲线 c 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 1

4

..........5 分

?y ? 2x ?1

(2)将直线

l

与曲线

c

的方程联立方程组

? ?

x

2

?? 4

?

y2

?1

整理 17 x 2

? 16 x

?

0 ,解得

x1

?

0, x2

?

16 17

所以 PQ ?

1? 22

x1 ? x2

? 16 5 17

又点 o 到直线 l 的距离 d ?

?1

?5

22 ? (?1)2 5

所以 ?OPQ 的面积为 S ? 1 PQ ? d ? 1 ? 16 5 ? 5 ? 8

2

2 17 5 17 .........12 分

23.证明:因为 f (x) ? x ? a 2 ? x ? 2a ? 3 ? x ? 2a ? 3 ? x ? a 2 ? (a ? 1)2 ? 2 ? 2

所以 f (x) ? 2

(2)因为

f (? 3) 2

?

a2

?

3 2

?

2a ?

3 2

?

???a 2 ? ???a 2

? 2a ? 3, a ? ? 3 4
? 2a, a ? ? 3 4

-8-

所以

??a ?

?

?

3 4

或???a

?

?

3 4

解得 ?1 ? a ? 0

??a2 ? 2a ? 3 ? 3 ??a2 ? 2a ? 3

-9-



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