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2015-2016学年高中数学(人教A版必修三)课时作业:第2章 统计 2.3


§2.3 变量间的相关关系
蚀羄芃蚃罿肃莅蒆 袅肂蒇蚁
课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图,并利用散点图判断两个变
量之间是否具有相关关系.3.会求回归直线方程.

1.相关关系:与函数关系不同,相关关系是一种__________性关系.
2.从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称
为________,点散布在从左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为________.
3.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,称两个变量之间具有 ____________,这条直线叫__________.
^^ ^
4.回归直线方程y=bx+a,其中

n

n

? ? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x

^ i=1

i=1

?b=



y ,

?

n
? ?xi- x ?2

n
?x2i -n x 2

i=1
?^ ?a=

i=1
.

^

^

b是回归方程的斜率,a是截距.

n
5.通过求 Q= ? (yi-bxi-a)2 的最小值而得出回归直线的方法,即求出的回归直线使
i=1

样本数据中的点到它的距离的平方和最小,由于平方又叫二乘方,所以这种使“偏差平 方和最小”的方法叫做______________.

一、选择题

1.下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系?( )

A.匀速行驶车辆的行驶距离与时间

B.圆半径与圆的面积

C.正 n 边形的边数与内角度数之和

D.人的年龄与身高

2.下列有关线性回归的说法,不正确的是( )

A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关



B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的

图形叫做散点图

C.回归直线方程最能代表观测值 x、y 之间的关系

D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程

^
3.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y =60+90x,下列判断

正确的是( )

A.劳动生产率为 1 千元时,工资为 50 元

B.劳动生产率提高 1 千元时,工资提高 150 元

C.劳动生产率提高 1 千元时,工资约提高 90 元

D.劳动生产率为 1 千元时,工资 90 元

4.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( )

^

^

A.y =-10x+200 B.y =10x+200

^

^

C.y =-10x-200 D.y =10x-200

5.给出两组数据 x、y 的对应值如下表,若已知 x、y 是线性相关的,且回归直线方程:

^^

^

^

y=a +b x,经计算知:b =-1.4,则a 为( )

x 4 5 678

y 12 10 9 8 6

A. 17.4

B.-1.74

C.0.6

D.-0.6

^^^
6.回归直线方程表示的直线y =a +b x 必经过点( )

A.(0,0)

B.( x ,0)

C.( x , y )

D.(0, y )

题号

1

2

3

4

5

6

答案

二、填空题
7.若对某个地区人均工资 x 与该地区人均消费 y 进行调查统计得 y 与 x 具有相关关系,
^
且回归直线方程y =0.7x+2.1(单位:千元),若该地区人均消费水平为 10.5,则估计该
地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.
^
8.设有一个回归方程y =3-2.5x,当变量 x 增加一个单位时,变量 y________个单位.
9.期中考试后,某校高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析,得到数学成绩 y 对
^
总成绩 x 的回归直线方程为y =6+0.4x.由此可以估计:若两个同学的总成绩相差 50 分,则他们的数学成绩大约相差______分.
三、解答题
10.下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表:

平均气温(℃) -1 4 10 13 18 26 数量(百个) 20 24 34 38 50 64
若已知游客数量与平均气温是线性相关的,求回归方程.

11.5 个学生的数学和物理成绩(单位:分)如下表:

学生

学科

ABCDE

数学

80 75 70 65 60

物理

70 66 68 64 62

画出散点图,判断它们是否具有相关关系,若相关,求出回归方程.

能力提升 12.在研究硝酸钠的可溶性程度时,观测它在不同温度的水中的溶解度,得观测结果如

下:

温度 x(℃)

0

10

20

50

70

溶解度 y

66.7 76.0 85.0 112.3 128.0

则由此得到回归直线的斜率约为________.

13.20 世纪初的一项关于 16 艘轮船的研究显示,轮船的吨位从 192~3 246 吨,船员的

数目从 5~32 人,对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得:船员人数=9.5+0.006

2×轮船吨位.

(1)假设两轮船吨位相差 1 000 吨,船员人数平均相差多少?

(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少?对于最大的轮船估计的船员人数是多少?

1.由最小二乘法得

n

n

?? ^ ?b

∑ =i=1

?xi-
n

x

??yi-

y

?=i∑=1xniyi-n

x

y

??


i=1

?xi-

x

?2

i∑=1x2i -n x 2

^

^

其中:b 是回归方程的斜率,a 是截距.

^

^

a = y -b x

2.回归方程的求解过程

n

n

计算 x , y ,i∑=1x2i ,i∑=1xiyi

n

^
计算b

=i∑=1xniyi-n

x

y^

^

,a = y -b x

i∑=1x2i -n x 2

?

^^

^

y =b x+a

^
3.在回归方程y =bx+a 中,当回归系数 b>0 时,说明两个变量呈正相关关系,它的意

义是:当 x 每增加一个单位时 y 就增加 b 个单位;当 b<0 时,说明两个变量呈负相关关

系,它的意义是:当 x 每增加一个单位时,y 就减少 b 个单位.

答案:
知识梳理 1.非确定

2.正相关

§2.3 变量间的相关关系
^
负相关 3.线性相关关系 回归直线 4. y -b x

5.最小二乘

法 作业设计

1.D [人的年龄与身高具有相关关系.]

2.D [只有所有的数据点都分布在一条直线附近时,才能得到具有代表意义的回归直

线.]

^
3.C [因工人月工资与劳动生产率变化的回归直线方程为y =60+90x,当 x 由 a 提高

^

^

到 a+1 时,y 2-y 1=60+90(a+1)-60-90a=90.]

4.A [∵y 与 x 负相关,∴排除 B、D,
^
又∵C 项中 x>0 时y <0 不合题意,∴C 错.]

5.A [ x =15(4+5+6+7+8)=6,

y =15(12+10+9+8+6)=9.

^

^

a = y -b x =9+1.4×6=9+8.4=17.4.]

^

^

^

^

6.C [由a = y -b x 得 y =b x +a ,

^^^
即点( x , y )适合方程y =a +b x.]

7.87.5%

解析 设该地区人均工资收入为 y ,

则 y =0.7 x +2.1,

10.5-2.1 当 y =10.5 时, x = 0.7 =12.

1102.5×100%=87.5%.

8.减少 2.5

^

^

解析 y ′=3-2.5(x+1)=3-2.5x-2.5=y -2.5,

因此,y 的值平均减少 2.5 个单位. 9.20

解析 令两人的总成绩分别为 x1,x2.

则对应的数学成绩估计为

^

^

y =6+0.4x1,y 2=6+0.4x2,

^

^

所以|y 1-y 2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.

10.解

x

=760=335, y

=2630=1135,i∑=6 1x2i =1+16+100+169+324+676=1

6
286,i∑=1

xiyi=-20+96+340+13×38+18×50+26×64=3 474.

^
b

6
=i∑=1x6iyi-6 x i∑=1xi2-6 x

y 2

3 =

147248-6-6×6×335?×3351?2135≈1.68,

^

^

a = y -b x ≈18.73,

^
即所求的回归方程为y =1.68x+18.73.

11.解 以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得到相应的散点图如图所示:

由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为线性相关. 列表,计算

i

1

2

3

4

5

xi

80

75

70

65

60

yi

70

66

68

64

62

xiyi

5 600

4 950

4 760 4 160 3 720

x2i

6 400

5 625

4 900 4 225 3 600

5

5

x =70, y =66,i∑=1x2i =24 750,i∑=1xiyi=23 190

^^

^

设所求回归方程为y =b x+a ,则由上表可得

5

^
b

=i∑=1x5iyi-5 x i∑=1xi2-5 x

y
2

=29500=0.36,a^



y

^
-b

x =40.8.

^
∴所求回归方程为y =0.36x+40.8.

12.0.880 9
5
解析 x =30, y =93.6,i∑=1xi2=7 900,
5
i∑=1xiyi=17 035,

所以回归直线的斜率

5

b^ =i∑=1x5 iyi-5 x i∑=1x2i -5 x

y
2

=17

07359-005-×4305×0093.6≈0.880

9.

^

^

13.解 (1)由y =9.5+0.006 2x 可知,当 x1 与 x2 相差 1 000 吨时,船员平均人数相差y

^

1-y 2=(9.5+0.006 2x1)-(9.5+0.006 2x2)=0.006 2×1000≈6(人).

^

(2)当取最小吨位 192 时,预计船员人数为y =9.5+0.006 2×192≈10(人).

^
当取最大吨位 3 246 时,预计船员人数为y=9.5+0.006 2×3 246≈29(人).

螄羅膀蒈 蚀羄芃蚃薆羃 莅蒆



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