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bl-smgcg甘肃天水一中2011高三高考第一次模拟考试数学理试题


、 .~ ① 我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。

天水一中 2011 届高考第一次模拟考试试题



学(理科)

命题、审核:蔡恒录 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要 一、选择题 求的) 1.已知集合 M={x|y+ x + 1 =0 x,y∈R},N={y|x2+y2=1 x,y∈R}则 M∩N = A. φ B. R C.M D..N ( D.( -b, -a) ( ) ) ( )

2. 已知向量 m=(a,b),向量 m⊥n 且|m|=|n|,则 n 的坐标为 A.(a, -b) B.( -a,b) C.(b, -a) 3.已知函数 f(x)= ?

?log 2 x ( x > 0) 1 则 f[f( )]的值是 x x≤0 4 ? 3
1 9
C.-9 D.-

A.9

B.

1 9
”的 ( )

4. 已知 α , β ∈ R ,则“ α = β ”是“ tan α = tan β A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 AB=BC=CD,且线段 BC 是 AB 与 CD 的公垂线段,若 AB 与 CD 成 60°角,则异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ( ) A.45° B.60° C.90° D.45°或 60° 6.函数 y=

e x ? e?x 的反函数 2



) 。

A.是奇函数,它在(0, +∞)上是减函数 B.是偶函数,它在(0, +∞)上是减函数 C.是奇函数,它在(0, +∞)上是增函数 D.是偶函数,它在(0, +∞)上是增函数 7.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12 的值为 ( A.20 B.22 C.24 D.28 8. 若极限 lim (a2-2a)n 存在,则实数 a 的取值范围是
n →∞

) )



A.(1- 2 , 1+ 2 ) C.[1- 2 , 1]∪(1, 1+ 2 )

B.(1- 2 , 1)∪(1, 1+ 2 ) D.[1- 2 , 1+ 2 ]

9.若 F(c, 0)是椭圆

x2 y2 + = 1 的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为 M,最小值为 m,则椭圆上与 F a2 b2
( )

点的距离等于

M +m 的点的坐标是 2
B.(-c, ±

A.(c, ±

b2 ) a
2

b2 ) a

C.(0, ±b)

D.不存在

? x≥0 ? 10.P 是 圆 x + y = 1 上 一 点 , Q 是 满 足 ? y ≥ 0 的 平 面 区 域 内 的 点 , 则 |PQ| 的 最 小 值 为 ? ?x + y ≥ 2
2

( A.2 B. 2 + 1 C. 2 ? 1 D. 2 2 (



11.下列求导正确的是

)

1 1 A.(x+ )′=1+ 2 x x
12. 若 i 为虚数单位,则

1 B.(log2x)′= xln2

C.(3x)′=3xlog3x

D.(x2cosx)′=-2xsinx

(1 + 2i ) 2 ( 2 ? i ) 2 ? 等于 1? i 1+ i





A. 3 ? 4i B. ? 3 + 4i C. 3 + 4i D.- 3 ? 4i 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 二、填空题 13.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且 a1+a2+…+an-1=29-n,则 n=_____________. 14. 用 6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛” (即图中 A、B 所示区域) 用相同颜色,则不同的涂法共有_________种。 (用数字作答) 15.已知 f ( x ), g ( x )奇函数, f ( x ) > 0的解集为( a 2 , b), g ( x ) > 0 的解集为

(

a2 b , ), 其中 b>2a,则不等式 f ( x) g ( x) > 0的解集是 2 2
o o



16. 地球北纬 45 圈上有两点 A、B , A 在东经 130 处, B 在西经 140 处, 点 点 若地球半径为 R , A, B 则
o

两点的球面距离为 ______________. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) = (sin x + cos x ) 2 + 2 cos 2 x ? 2. (1)求函数 f (x ) 的最小正周期 T; (2)当 x ∈ [

π 3π
4 , 4

] 时,求函数 f (x ) 的最大值和最小值。
ABCD ,

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥平面 且 PA=AB=2,E、F 分别为 AB、PC 的中点。 (1)求异面直线 PA 与 BF 所成角的正切值。

P

F A E B

O D C

(2)求证:EF⊥平面 PCD。 19.(本小题满分 12 分) 一项"过关游戏"规则规定: 在第 n 关要抛掷骰子 n 次, 若这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 N*), 则算过关. (1)求在这项游戏中第三关过关的概率是多少? (2) 若规定 n≤3, 求某人的过关数ξ的期望. 20. (本小题满分 12 分) 数列 {a n }, {b n } 满足: a1 = 2,2a n +1 = a n + n, bn = a n ? n + 2(n ∈ N *) (1)求数列 {b n } 的通项公式; (2)设数列 {a n }, {b n } 的前 n 项和分别为 An、Bn,问是否存在实数 λ ,使
n ?1

+1 (n∈

得{

An + λBn } 为等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由。 n
1 2 (1)求函数 f (x ) 在区间 [1, e] 上的最大值、最小值; x + ln x . 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

(2)已知 a > 1 ,求证:在区间 (1, + ∞ ) 上,函数 f (x ) 的图象在函数 g ( x) = ax 2 的图象的下方. 22. (本小题满分 12 分) 已知点 F(1,0) ,直线 l : x = 2 ,设动点 P 到直线 l 的距离为 d ,已知

PF =

2 2 3 d ,且 ≤ d ≤ . 2 3 2

(1)求动点 P 的轨迹方程; 1 (2)若 PF ? OF = ,求向量 OP 与 OF 的夹角; 3 (3)如图所示,若点 G 满足 GF = 2 FC ,点M满足 MP = 3PF ,且线 的垂直 平分线经过点 P,求 ?PGF 的面积. 段MG

级高三第二学期第一次模拟考试试题答案 天水一中 2008 级高三第二学期第一次模拟考试试题答案


一、选择题 1——5 DCBDD 二、填空题 13、4 6——10 CCBCC

学(理科)

11——12 BA

14、216 15、 ( a 2 , ) ∪ ( ?

b 2

b ,? a 2 ) 2

16、

π
3

R

三、解答题 17、 (10 分)解: (1) f ( x) = 1 + 2 sin x cos + ( 2 cos x ? 1) ? 1
2

= sin 2 x + cos 2 x = 2 sin( 2 x +

π
4

) ……………………3 分

∴函数 f (x ) 的最小正周期 T= π ……………………4 分

3π . 4 4 3π π 7π ……………………6 分 ∴ ≤ 2x + ≤ 4 4 4
(2)∵

π

≤x≤

∴ ? 1 ≤ sin( 2 x + ∴?

π
4

)≤

2 ……………………8 分 2

2 ≤ f ( x ) ≤ 1.

故 f (x ) 的最大值为,最小值为- 2 ……………………10 分 18、 (12 分)解: (1)如图,连结 AC 过点 F 作 FO⊥AC, ∴面 PAC⊥面 ABCD ∵PA⊥平面 ABCD, ∴平面 PAC⊥AC,垂足为 O, 连结 BO,则 FO⊥平面 ABCD,且 FO//PA。 ∴∠BFO 为异面直线 PA 与 BF 所成的角………………4 分

P

F A E B

1 PA=1, 2 OB OB= 2 ,则 tanBFO= = 2 ………………6 分 OF
在 Rt△BOF 中,OF =

O D C

(2)连结 OE、CE、PE。 ∵E 是 AB 的中点, ∴OE⊥AB 又 FO⊥平面 ABCD, ∴EF⊥AB。 ∵AB//CD ∴EF⊥CD 在 Rt△PAE 和 Rt△CBE 中,PA=CB,AE=BE, ∴Rt△PAE≌Rt△CBE, ∴PE=CE…………………………10 分 ∴又 F 为 PC 的中点, ∴EF⊥PC。 故 EF⊥平面 PCD。……………………12 分 19、 (12 分).解(1)设第三关不过关事件为 A, 则第三关过关事件为 .由题设可知: 事件 A 是指第三关出现 点数之和没有大于 5.因为第三关出现点数之和为 3,4, 5 的次数分别为 1,3,6 知:

P(A)=

1+3+6 5 5 103 = , ∴P()=1- = . 216 108 108 108

1+2 2 1 2 (2)设第一关不过关的事件为 B, 第二关不过关的事件为 C.依题意, 得 P(B)= = , P()= P( C) = = 6 3 3 36 1 1 11 , P()=1- = 12 12 12 ∴P(ξ=0)=P(B)= . ∵n≤3, ∴ξ的取值分别为 0,1,2,3

2 1 1 1 , P(ξ=1)=P(·C )= × = 3 12 18 3

2 11 5 55 P(ξ=2)= P(· ·A) = × × = 3 12 108 1944 2 11 103 1133 P(ξ=3)= P(· = × × = ·) 3 12 108 1944 故ξ的分布列: ξ P 0 1 3 1 1 18 2 55 1944 3 1133 1944

1 1 55 1133 3617 Eξ=0× +1× +2× +3× = 3 18 1944 1944 1944 20、 (12 分)解: (1)由 bn = a n ? n + 2, 得a n = bn + n ? 2 ……………………1 分 ∵ 2a n +1 = a n + n, ∴ 2[bn +1 + (n + 1) ? 2] = bn + 2n ? 2, 即bn +1 = ∴ {bn } 是首项为 b1 = a1 + 1 = 3, 公比为 故 bn = 3( ) n ?1 ……………………6 分 (2)∵ a n = bn + n ? 2,

1 bn ………………4 分 2

1 是等比数列。 2

1 2

n( n ? 3) ……………………8 分 2 1 3(1 ? n ) 2 = 6(1 ? 1 ), 又 Bn = 1 2n 1? 2 n(n ? 3) (1 + λ ) Bn + An + λBn 2 = ∴ n n 1 6(1 + λ )(1 ? n ) n?3 2 ………………10 分 = + 2 n
∴ An = Bn + 故当且仅当 λ = ?1时, {

An + λBn } 为等差数列……………………12 分 n

21、 (12 分)解: (1)∵ f ′( x) = x + 当 x ∈ [1, e] 时, f ′( x ) > 0 . ∴ f max ( x) = f (e) = 1 +

1 x2 +1 = ……………………………………………2 分 x x ∴ f (x ) 在区间 [1, e] 上为增函数. …………4 分
…………………………………6 分

e2 1 , f min ( x) = f (1) = . 2 2

(2)令 F ( x) = f ( x ) ? g ( x ) = 则 F ′( x) = x +

1 2 x + ln x ? ax 2 , 2

1 (1 ? 2a) x 2 + 1 ? 2ax = . ………………………………………8 分 x x Qa >1 ∴1 ? 2a < ?1 所以, x > 1 时,F ′( x) < 0 . F (x ) 在区间 (1, + ∞ ) 上为减函数. 当 ∴ ………10 分又函数 F (x ) 在 x = 1 1 处连续,且 F (1) = + 0 ? a < 0 .----------------------11 分 2 1 1 ∴ F ( x ) < F (1) ,即 x 2 + ln x ? ax 2 < 0 ,即 x 2 + ln x < ax 2 2 2 所以在区间 (1, + ∞ ) 上,函数 f (x ) 的图象在函数 g (x ) 的图象的下方.………12 分
22、 (12 分) 解: (1)设动点 P 的坐标为(x,y),则

PF = ( x ? 1) 2 + y 2 , d = 2 ? x , ( x ? 1) 2 + y 2 2 ∴ = . 2?x 2 化简得
――2分

x2 ――3 分 + y2 = 1 2 2 3 1 4 ――4 分 又 ≤ d = 2 ? x ≤ ,∴ ≤ x ≤ . 3 2 2 3 x2 1 4 即动点P的轨迹方程为 + y 2 = 1( ≤ x ≤ ). ―――5 分 2 2 3 (2) Q PF = (1 ? x,? y ), OF = (1,0), OP = ( x, y ), 1 ∴ PF ? OF = (1 ? x) ? 1 + (? y ) ? 0 = 1 ? x = , 3 2 x 2 7 ∴ x = , 代入 + y 2 = 1,得y = ± , 3 2 3 2 7 2 7 ∴ OP = ( , )或( ,? ), 3 3 3 3 ∴ cos < OP, OF >= OP ? OF OP ? OF = 2 11 , 11
―――9 分 ―――6 分

―――7 分

∴ OP与OF的夹角为 arccos

2 11 . 11

(3)由已知,得 GF = 2 FC = 2, G为左焦点, ―――10 分 ∴ ? ? PG = PM = 3 PF ? PF = 2 ? ? 2 又Q ? ∴? PG + PF = 2 × 2 ? PG = 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 v2 又 Q GF = 2,∴ 有 PF + GF = PG , ∴ ?PGF为直角三角形。 ∴ S ?PGF = 1 2 GF × PF = 。 2 2
―――13 分 ―――14 分



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