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2016年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科)


2016 年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科)

2016 高三毕业班总复习综合试卷

数学(理科)

福建师大附中(执笔) 闽清一中 仙游金石中学

本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:( 每小题 5 分,共 60 分;在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一 项符合题目要求 )
? ? (1)设集合 A ? x | 2x ? 4 ,集合 B ? ?x | y ? lg(x ?1)? ,则 A B 等于( )

(A)(1,2)

(B) (1,2]

(C) [1,2)

(D) [1,2]

(2)已知 a,b ? R ,是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ?a ? bi?2 = ( )

(A) 3 ? 4i

(B) 5+4i (C) 3+4i

(D) 5 ? 4i

(3)右边程序框图的算法思路源于世界数学名题“ 3x ?1问题”.执行该程序框图,若输入的

N ? 3 ,则输出 i =( )

A.6

B.7 C.8

(4)根据如下样本数据

D.9

得到的回归方程为$yy? bx ? a.若a ? 7.9,则x 每增加 1 个单

位,y 就( ) (A)增加 1.4 个单位 (C)增加 1.2 个单位

(B)减少 1.4 个单位 (D)减少 1.2 个单位

(5)已知各项不为零的等差数列{an } 满足 2a2 ? 2a12 ? a72 ,数列{bn }是等比数列,且 b7 ? a7 ,

则 b5b9 为(
(A)4

) (B)8

(C)16

(D)64

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?x ? y ?1 ? 0,

(6)设实数

x



y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

1

?

0,

则 x2 ? ? y ? 2?2 的取值范围是(



??x ? ?1,

(A)???

1 2

,17???

(B)?1,17 ?

(C)??1, 17 ??

? (D)?
?

2, 2

? 17 ?
?

(7)将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,每所大学至

少保送 1 人,则不同的保送方法共有( )

(A) 150 种 (B) 180 种(C) 240 种 (D)540 种

(8)

过双曲线 C1 :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 的左焦点

F

作圆 C2 : x2

?

y2

? a2 的切线,设切点

为 M,延长 FM 交双曲线 C1 于点 N,若点 M 为线段 FN 的中点,则双曲线 C1 的离心率为( )

(A) 5 +1

5
(B)
2

(C) 5

5 ?1
(D)
2

(9)已知函数 f (x) ? a sin x ?

3 cos x

关于直线 x

? ?? 6

对称

,



f

(x1) ?

f

(x2 ) ? ?4 ,则

x1 ? x2 的最小值为(

)

(A) ?

(B) ?

(C) 5?

(D) 2?

6

3

6

3

(10) 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心距离等于球半径的一半,且 AC ? BC ? 6,AB ? 4 ,

则球面面积为( )

A. 42?

B. 48?

C. 54?

D. 60?

(11)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体

的表面积为(

)

(A)8 ? 8 2 ? 4 6 (B)8 ? 8 2 ? 2 6

(C) 2 ? 2 2 ?

6

(D) 1 ?

2 ?

6

22 4

(12) 已 知 函 数

f

(x)

?

?? x 2 ?

?

x,

? 2 ? x ? ?1
,若

??ln(x ? 2), ?1 ? x ? 2

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g(x) ? f (x) ? a(x ? 2) 的图像与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( )

A. (0, 1 ) e ?1

B. (0, 1 ) 3e

C.

? ??

ln 2 2

,

1 e

?? ?

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

(13) (x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y2 的系数为__________.

D.

?2 ??

ln 3

2

,

1 3e

?? ?

(14) 在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且| BO |? 3 | CO |,当AO ? x AB ? y AC

时,则 x-y=

.

(15) 已知函数 f (x) 满足 f (x ? 6) ? f (x) ? 0 ,函数 y ? f (x ?1) 关于点 (1,0) 对称, f (1) ? ?2 ,

则 f (2015) ? _________.

(16)平面凸四边形 ABCD, AB ? 2, BC ? 3,CD ? 4, AD ? 5 ,则此四边形的最大面积为

____________.
三、解答题:(本大题共 6 题;满分 70 分)
? ? (17) (本小题满分 12 分)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , a2 ? 8 ,

? ? ? ? Sn?1 ? 4Sn?1 ? 5Sn

n

?

2

, Tn 是数列

log 2

an

的前 n 项和.

? ? (1)求数列 an 的通项公式;

(2)求满足 (1 ? 1 )(1 ? 1 )?(1 ? 1 ) ? 51 的最大正整数 n 的值.

T2

T3

Tn 101

(18)(本小题满分 12 分)第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深 圳举行 ,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将 这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm): 若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子”, 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是
“高个子”的概率是多少?

(2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人

数,试写出? 的分布列,并求? 的数学期望。

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2016 年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科) (19)(本小题满分 12 分)
如图,将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折,连接 AC、FD,形成如图所示的多
面体,且 AC ? 6 ,(1)证明:平面 ABEF ? 平面 BCDE; (2)求 DE 与平面 ABC 所成角的正
弦值。
(20)(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F1 ? ? 2,0? ,点
? ? B 2, 2 在椭圆 C 上,直线 y ? kx ?k ? 0? 与椭圆 C 交于 E ,F 两点,直线 AE ,AF 分
别与 y 轴交于点 M , N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
(21)(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? 1 x2 ? m ln x , g(x) ? x2 ? (m ? 1)x . 2
(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,讨论函数 f (x) 与 g(x) 图像的交点个数.
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时 4 / 18

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请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边

的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB.

A E
O M

B

D

C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中,直线的参数方程

???x ?

?

2

?

1 2

t

(为参数),以坐标原点为极点,

x

? ??

y

?

3t 2

轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4cos? .
(Ⅰ)求直线的极坐标方程;
(Ⅱ)求直线与曲线 C 交点的极坐标 (? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) .[来源:

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f (x) ? 2x ? a ? 2x ?1 (a ? 0) , g(x) ? x ? 2 . (Ⅰ)当 a ?1时,求不等式 f (x) ? g(x) 的解集; (Ⅱ)若 f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案

1. 【答案】B
? ? 【解析】集合 A ? x | 2x ? 4 = ?x | x ? 2? ,集合 B ? ?x| y ? lg(x? 1?) = ?x | x ?1? ,所以

A B =(1,2],故选 B.

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2. 【答案】C
【解析】 a ? 2,b ? 1, 则 ?a ? bi?2 = (2 ? i)2 ? 3 ? 4i
3. 【答案】C
i ? 1, N ? 3 ? N ? 10,i ? 2 ? N ? 5,i ? 3 ? N ? 16,i ? 4
【解析】
? N ? 8,i ? 5 ? N ? 4,i ? 6 ? N ? 2,i ? 7 ? N ? 1,i ? 8
4. 【答案】B
【解析】: x ? 25 , y ? 9 ,代入回归方程可得 b ? ?1.4. 48
5. 【答案】C
? ? 【解析】因为 a3 ? a11 ? 2a7 ,所以 4a7 ? a72 ? 0, a7 ? 4或a7 ? 0 舍 ,
又因为 b7 ? a7 ,?b7 ? 4 , b5b9 ? b72 ? 16
6. 【答案】A
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图,三角形 ABC, x2 ? ? y ? 2?2 表示三角形 ABC 内或
边上一点到点(0,-2)之间的距离的平方,点 B 到(0,-2)之间的距离的平方为 17,点(0,
-2)到直线 x-y-1=0 距离的平方为 1 ,故选 A。 2

7. 【答案】A

【解析】保送方法有两类:(1)2,2,1 的分配方式, C52C32 A22

A33


? 30?3 ? 90

(2)3,1,1 的分配方式, C53 A33 ? 10 ? 6 ? 60 ;总共 150 种.

8.【答案】C

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【解析】 FN ? 2b, F1N ? 2a FN ? F1N ? 2a ? b ? 2a, 则 e ? 5 .
9.【答案】D

【解析】 f (fx()x?) ?aasisninxx?? 33cocosxs ? a2 ? 3 sin(x ??)(tan? ? 3 ) a

f (x)对称轴为x ? ? ? ?? ? k? ? ? , (k ? Z ), a ? 1

6

3

f (x1) ? ff((xx1)2 )????44

? x1

?

?? 6

? 2k1? , x2

?

5? 6

? 2k2? ,?

x1

?

x2

min

?

2? 3

10.【答案】C

【解析】 ?ABC

外接圆的半径 r

?

92 4

?

R2

?

27 2



S球表

?

4? R2

? 54?

.

11.【答案】A

【解析】该几何体为如图中的三棱锥 C-A1C1E,EC=EA1= 2 5 ,A1C= 16+16+16 =4 3 ,

三角形 EA1C 的底边 A1C 上的高为:2 2 ,

表面积为:S= 1 ? 2 ? 4+ 1 ? 2? 4+ 1 ? 4 2 ? 4+ 1 ? 2 2 ? 4 3 = 8 ? 8 2 ? 4 6

2

2

2

2

12.【答案】C
【解析】作出示意图, g(x) ? f (x) ? a(x ? 2) 的图像与 x 轴有 3 个不同的交点可转化为 y ? f (x) 与 y ? a(x ? 2) 有 3 个不同交点,易知直线 y ? a(x ? 2) 过定点 A(-2,0),斜率为 a .当 直线 y ? a(x ? 2) 与 y ? ln(x ? 2) 相切时是一个临界状态,设切点为
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C (x0 ,

y0

),

??a ?

?

1 x0 ?

2

??a(x0 ? 2) ?

ln( x0

? 2)

?

x0

?

e ? 2, a

?

1 e

,又函数过点 B(2,ln4),故 k AC

?

1 e



k BC

?

2 ln 4

2

?

ln 2 2

,所以 ln 2 2

?

a

?

1 e



13.【答案】30

【解析】展开式中 C52 (x2 ? x)3 y2 ? C52 x3 (x?1)3 y2 含 x5 y2 ,系数为 C52C31 =30

14.【答案】-2

【解析】 AO ? AB ? BO ? AB ? 3CO ? AB ? 3( AO ? AC)

所 以 AO ? ? 1 AB ? 3 AC , 又 因 为 AO ? x AB ? y AC , 所 以 x ? ? 1 , y ? 3 , 所 以

22

22

x ? y ? ?2 .

15.【答案】2

【解析】由于 f ?x? ? ? f ?x ? 6?,? f ?x ?12? ? f ??x ? 6?? 6? ? ? f ?x ? 6? ? f ?x?, 故函数的周期为 12,把函数 y ? f ?x? 的图象向右平移 1 个单位,得 y ? f ?x ?1?,因此 y ? f ?x? 的 图 象 关 于 ?0,0? 对 称 , 为 奇 函 数 , ? f ?2015? ? f ?167?12?11? ? f ?11? ? f ?11?12? ? f ??1? ? ? f ?1? ? 2.

16. 【答案】 2 30

【解析】如图连接 BD,在 ?ABD和?BCD 中分别应用余弦
定理

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2AB? AD? cos A ? BC2 ? CD2 ? 2BC?CD ? cosC

整理有 5cos A ? 6cosC ?1…………?,

四边形 ABCD的面积

S

?

S?ABD

?

S?BCD

?

1 2

AB?

AD ? sin

A?

1 2

BC ?CD ?sin C

?

5sin

A?

6sin C

…………?

?式?式平方相加得 S 2 ?1 ? 25 ? 60 cos(A ? C) ? 36 ,? S 2 ? 60 ? 60 cos(A ? C) ? 120

当 A ? C ? ? 时,四边形 ABCD的面积 S 取到最大值为 2 30 .
17. (本小题满分 12 分) 8 / 18

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解:(Ⅰ)∵当 n ? 2 时, Sn?1 ? 4Sn?1 ? 5Sn ,…………1 分
? ? ∴ Sn?1 ? Sn ? 4 Sn ? Sn?1 .…………2 分

∴ an?1 ? 4an . …………3 分

∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . …………4 分
? ? ∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列.…………5 分

∴ an ? 2 ? 4n ?1 ? 22n ?1 .

…………6 分

(Ⅱ)由(1)得: log 2

an

?

log 2

22n ?1

? 2n ? 1, …………7 分

? ? ∴Tn

?

log 2

a1

?

log 2

a2

?

?

log 2

an

?

1

?

3

?

? 2n ? 1

n ?1 ? 2n ? 1?
? 2

? n2 . …………8 分

? ?1 ?

?

1 T2

??

? ?

???1

?

1 T3

? ???

?

?

? ???1

?

1 Tn

? ??? ?

??1 ? ?

1 22

? ?

??1

?

??

1 32

? ? ?

?

?

??1 ?

?

1 n2

? ? ?

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1

?

?

?

?

22

32

42

? n2 ? 1 …………9 分 n2

1? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ?

? ?n ? 1? ?n ? 1? ? n ? 1 . …………10 分

22 ? 32 ? 42 ? ? n2

2n

令 n ? 1 ? 51 ,解得: n ? 101. 2n 101

故满足条件的最大正整数 n 的值为100 .……12 分

18、【解析】(1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,…………1 分

用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 5 ? 1 , 30 6

………………2 分

所以选中的“高个子”有12 ? 1 ? 2 人,“非高个子”有18 ? 1 ? 3 人.…………3 分

6

6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个子”

被选中”,

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则 P( A)

?

1?

C

2 3

C

2 5

?1? 3 ? 7 . 10 10

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 7 . 10

(2)依题意,? 的取值为 0, 1, 2, 3 .

…………………5 分 ………………6 分 ………………7 分

P(?

?

0)

?

C83 C132

?

14 55



P(?

? 2) ?

C24C18 C132

? 12 , 55

因此,? 的分布列如下:

P(? ? 1) ?

C14C82 C132

?

28 , 55

[来源:Z+xx+]

P(?

? 3) ?

C34 C132

?

1. 55

…………………9 分

?

0

2

3

p

14

28

12

1

55

55

55

55

[来源:]

? E? ? 0 ? 14 ?1? 28 ? 2 ? 12 ? 3? 1 ? 1. 55 55 55 55

……10 分 …………12 分

19. (本小题满分 12 分) (1)证明:正六边形 ABCDEF 中,连接 AC、BE,交点为 G,易知 AC ? BE ,且 AG ? CG ? 3 ,

在多面体中,由 AC= 6 ,知 AG2 ? CG2 ? AC2 ,故 AG ? GC, …………………2 分

又 GC BE ? G, GC, BE ?平面 BCDE ,故 AG ? 平面 BCDE ,………………..5 分

又 AG ? 平面 ABEF,所以平面 ABEF ? 平面 BCDE.…………6 分
(2)以 G 为坐标原点,分别以 GC,GE,GA 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的

坐标系.

由 AG ? CG ? 3 , BG ?1 , GE ? 3,,
? ? ? ? 则 A 0,0, 3 , B?0,?1,0?,C 3,0,0 ,

? ? ? ? D 3,2,0 , E ?0,3,0?,F 0,2, 3 .

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? ? ? ? AB ? 0,?1,? 3 , AC ? 3,0,? 3 ,

DE ? (? 3,1, 0) ,………………...8 分

设平面 ABC 的法向量为 n1= ? x, y, z? ,

? ? 则

?? ?

n1

?

AB

?

0

,即

?? ?

?

y

?

z

3 ? 0 ,令

z ? 1 ,得 n1= 1, ? 3,1 ,

??n1 ? AC ? 0

??x 3 ? z 3 ? 0

所以, cos

DE,n1

??

15 5

所以 FE 与平面 ABC 所成角的正弦值为 15 ……….12 分 5

20.

解析:(Ⅰ)解法一:设椭圆

C

的方程为

x a

2 2

?

y2 b2

?1

(a

? b ? 0) ,

因为椭圆的左焦点为 F1 ? ? 2,0? ,所以 a2 ? b2 ? 4 .……………………………1 分
? ? 设椭圆的右焦点为 F2 ?2,0?,已知点 B 2, 2 在椭圆 C 上,
由椭圆的定义知 BF1 ? BF2 ? 2a , 所以 2a ? 3 2 ? 2 ? 4 2 .………………………………………………………2 分

所以 a ? 2 2 ,从而 b ? 2 .………………………………………………………3 分

所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1.………………………………………………4 分 84

解法二:设椭圆

C

的方程为

x a

2 2

?

y2 b2

?1

(a ? b ? 0) ,

因为椭圆的左焦点为 F1 ? ? 2,0? ,所以 a2 ? b2 ? 4 .

? ? 因为点 B 2,

2

在椭圆 C

上,所以 4 a2

?

2 b2

?1.

①…………………1 分 ②…………………2 分

由①②解得, a ? 2 2 , b ? 2 .…………………………………………………3 分

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所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1.………………………………………………4 分 84
? ? (Ⅱ)解法一:因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2,0 .…………5 分
因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆 x2 ? y2 ? 1交于两点 E , F , 84
? ? 设点 E x0, y0 (不妨设 x0 ? 0 ),则点 F ??x0 , ? y0 ? .

? y ? kx,

联立方程组

? ?

x

2

?? 8

?

y2 4

消去 y 得 x2 ?1

?8 1? 2k2



所以 x0 ?

22 1 ? 2k 2

,则 y0

?

2 2k . 1 ? 2k 2

所以直线 AE 的方程为 y ?

k

? ? x ? 2 2 .……………………………6 分

1? 1? 2k2

因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N ,

令x ?0得 y

? 2 2k 1? 1? 2k2

,即点 M

? ???

0,

1

?

2

1

2k ? 2k

2

? ??? .……………………7 分

同理可得点

N

?

???

0, 1?

2 2k 1? 2k 2

? ??? .…………………………………………………8



? ? 所以 MN ?

2 2k ? 2 2k

2 2 1? 2k2

?

.…………………9 分

1? 1? 2k2 1? 1? 2k2

k

? 设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ??? 0, ?

2 k

? ???

.…………………………10



则以

MN

为直径的圆的方程为

x2

?

? ???

y

?

2 k

?2 ???

?

? ?
???

2

2

?1

?

2k

2

?

? ?



k

???

即 x2 ? y2 ? 2 2 y ? 4 .…………………………………………………………11 分 k

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2016 年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科)

令 y ? 0,得 x2 ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 .

故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1 ?2,0? , P2 ??2,0? .………………………12 分

? ? 解法二:因为椭圆 C 的左端点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2,0 .……………5 分

因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆 x2 ? y2 ? 1交于两点 E , F , 84
设点 E(x0 , y0 ) ,则点 F (?x0 , ? y0 ) .

? ? 所以直线 AE 的方程为 y ? y0

x ? 2 2 .………………………………6 分

x0 ? 2 2

因为直线 AE 与 y 轴交于点 M ,



x

?

0得

y

?

2 2 y0 x0 ? 2 2

,即点 M

? ??? 0,

2 2 y0 x0 ? 2 2

? ??? .……………………………7



同理可得点

N

? ???

0,

2 x0

2 y0 ?2 2

? ???

.……………………………………………………8



所以 MN ? 2 2 y0 ? 2 2 y0 ? 16 y0 . x0 ? 2 2 x0 ? 2 2 x02 ? 8

因为点 E(x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

x02 8

?

y02 4

?1.

所以 MN ? 8 .……………………………………………………………………9 分 y0

? 设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ??? 0, ?

2 x0 y0

? ???

.………………………10



2

则以

MN

为直径的圆的方程为

x2

?

? ???

y

?

2 x0 y0

? ???

?

16 . y02

即 x2 ? y2 + 2 2x0 y ? 4 .………………………………………………………11 分 y0
令 y ? 0,得 x2 ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 .
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2016 年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科)

故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1 ?2,0? , P2 ??2,0? .………………………12 分
? ? 解法三:因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .……………5 分
因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆 x2 ? y2 ? 1交于两点 E , F , 84
? ? ? ? 设点 E 2 2 cos?, 2sin? ( 0 ?? ? ?),则点 F ?2 2 cos?, ?2sin? .

所以直线 AE 的方程为 y ?

2 sin ?

? ? x ? 2 2 .………………………6 分

2 2 cos? ? 2 2

因为直线 AE 与 y 轴交于点 M ,



x

?

0



y

?

2 sin ? cos? ?1

,即点

M

? ??

0,

2 sin ? cos? ?1

? ??

.………………………………7



同理可得点

N

? ??

0,

2 sin ? cos? ?1

? ??

.………………………………………………………8



所以 MN ? 2sin? ? 2sin? ? 4 .………………………………………9 分 cos? ?1 cos? ?1 sin?



MN

的中点为

P

,则点

P

的坐标为

P

? ??

0,

?

2 cos? sin ?

? ??

.………………………10



则以 MN

为直径的圆的方程为 x2

?

? ??

y?

2 cos? sin?

2
? ??

?

4 sin2 ?



即 x2 ? y2 ? 4 cos? y ? 4 .………………………………………………………11 分 sin ?

令 y ? 0,得 x2 ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 .

故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1 ?2,0? , P2 ??2,0? .………………………12 分
21. (本小题满分 12 分)

⑴解:函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) , f ?(x) ? x2 ? m , x

当 m ? 0 时, f ?(x) ? 0 ,所以函数 f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ,无减区间;

…………………… 2 分

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2016 年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科)

当 m ? 0 时, f ?(x) ? (x ? m )(x ? m ) ;当 0 ? x ? m 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 的单调 x
递减;当 x ? m 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 的单调递增. 综上:当 m ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ,无减区间;当 m ? 0 时,函数 f (x)

的单调增区间是 ( m, ??) ,减区间是 (0, m ) . ……………… 4 分

⑵ 解:令 F(x) ? f (x) ? g(x) ? ? 1 x2 ? (m ?1)x ? m ln x, x ? 0 ,问题等价于求函数 F(x) 的 2

零点个数,

……………………5 分

当 m ? 0时, F (x) ? ? 1 x2 ? x, x ? 0,有唯一零点;当 m ? 0 时, F?(x) ? ? (x ?1)(x ? m) ,

2

x

当 m ? 1时, F?(x) ? 0 ,函数 F(x) 为减函数,注意到 F (1) ? 3 ? 0 , F(4) ? ? ln 4 ? 0 , 2

所以 F(x) 有唯一零点;…………………… 7 分

当 m ? 1时, 0 ? x ?1或 x ? m 时 F?(x) ? 0 ,1? x ? m 时 F?(x) ? 0 , 所以函数 F(x) 在 (0,1) 和 (m, ??) 单调递减,在 (1, m) 单调递增,注意到 F (1) ? m ? 1 ? 0 ,
2
[来源:]
F(2m ? 2) ? ?mln(2m ? 2) ? 0 ,所以 F(x) 有唯一零点;……………………9 分

当 0 ? m ?1时, 0 ? x ? m 或 x ?1时 F?(x) ? 0 , m ? x ?1时 F?(x) ? 0 ,

所以函数 F(x) 在 (0, m) 和 (1, ??) 单调递减,在 (m,1) 单调递增,意到 ln m ? 0 , 所以 F (m) ? m (m ? 2 ? 2 ln m) ? 0 ,而 F(2m ? 2) ? ?mln(2m ? 2) ? 0 ,
2 所以 F(x) 有唯一零点. ……………………11 分

综上,函数 F(x) 有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.………………12 分

22.(本小题满分 10 分)

解:(1)连结 OE .∵点 D 是 BC 中点,点 O 是 AB 中点,

A E

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O M

B

D

C

2016 年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科)



OD

/?/

1 2

AC

,∴

?A

?

?BOD



?AEO

?

?EOD

.

∵ OA ? OE ,∴ ?A ? ?AEO,∴ ?BOD ? ?EOD .

在 ?EOD 和 ?BOD 中,∵ OE ? OB ,??EOD ? ?BOD ,

∴ ?OED ? ?OBD ? 90 ,即 OE ? ED .

∵ E 是圆 O 上一点,∴ DE 是圆 O 的切线. ………………………………5 分 (2)延长 DO 交圆 O 于点 F .∵ ?EOD ≌ ?BOD ,∴ DE ? DB. ∵点 D 是 BC 的中点,∴ BC ? 2DB . ∵ DE, DB 是圆 O 的切线,∴ DE ? DB .∴ DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2DE2 .

∵ AC ? 2OD, AB ? 2OF ,

∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? (AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF) ? 2DM ? DF .

∵ DE 是圆 O 的切线, DF 是圆 O 的割线,

∴ DE2 ? DM ? DF ,∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB……………………10 分

23.(本小题满分 10 分)

解:(1)将直线 l

:

? ??

x

?

?

2

?

1 2

t

消去参数得普通方程

? ??

y?

3t 2

3x ? y ? 2

3 ? 0 ,…2 分



?x

? ?

y

? ?

? cos? ? sin?

代入

3x ? y ? 2

3?0得

3? cos? ? ? sin? ? 2

3 ? 0 .……4 分

化简得

?

cos

????

?

? 6

? ??

?

3 ……4 分(注意解析式不进行此化简步骤也不扣分)

(2)方法一: C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 4x ? 0 .…………………………6 分



?? ?

??

3x ? y ? 2 3 ? 0 x2 ? y2 ? 4x ? 0

解得:

?? ? ??

y

x ?

?1 ?

3



?? ? ??

x? y?

3 3

………………………8



所以与 C 交点的极坐标分别为: (2, 5? ) , (2 3, ? ) .……………………10 分

3

6

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2016 年福建省数学基地校总复习总结综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学理科)

方法二:由

?? ?

3? cos? ? ? sin? ? 2

3 ? 0 ,……………………………6 分

??

? ? 4 cos?

得: sin(2? ? ? ) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? …………………………8 分 3

? ??2

所以

? ????

?

5? 3



?? ?

?

2

? ??

?

?

? 6

3

所以与 C 交点的极坐标分别为: (2, 5? ) , (2 3, ? ) .………………10 分

3

6

24.(本小题满分 10 分)
解:(1)当 a ? 1时,| 2x ?1| ? | 2x ?1|? x ? 2

?

所以

? ?

x??1 2



??? ?

1 2

?

x

?

1 2



?? ?

1?x 2

………………………3 分

???4x ? x ? 2 ?? 2 ? x ? 2 ??4x ? x ? 2

解得 x ?? 或 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 ……………………………………4 分 22 3

综上,不等式的解集为

???0,

2 3

? ??

.……………………………………………5



(2)| 2x ? a | ? | 2x ?1|? x ? 2 ,转化为| 2x ? a | ? | 2x ?1| ?x ? 2 ? 0

令 h(x) ?| 2x ? a | ? | 2x ?1| ?x ? 2 ,……………………………………6 分

? ? ?

?5x ? a ? 3, x ? ? 1 2

h(x)

?

???x ?

?

a

?1, ?

1 2

?

x

?

a 2

,……………………………………7



? ??

3x ? a ?1, x ? a 2

a

?

0 时, h(x)min

?

a 2

?1 ,……………………………………………8



令 a ?1 ? 0, a得 a ? 2.a………………………………………………10 分 2

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