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高中数学 (1.1集合的含义与表示)备课资料 新人教A版必修1


高中数学 (1.1 集合的含义与表示)备课资料 新人教 A 版必修 1

[备选例题] 【例 1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示: (1)被 3 除余 1 的自然数组成的集合; (2)由所有小于 20 的既是奇数又是质数的正整数组成的集合; (3)二次函数 y=x2+2x-10 的图象上的所有点组成的集合;
(4)设 a、b 是非零实数,求 y= a ? b ? ab 的所有值组成的集合. | a | | b | | ab |
思路分析:本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要 分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么. 解:(1)被 3 除余 1 的自然数有无数个,这些自然数可以表示为 3n+1(n∈N).用描述法表示 为{x|x=3n+1,n∈N}. (2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有 7 个,用 列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}. (3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对 (x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.
(4)当 ab<0 时,y= a ? b ? ab =-1;当 ab>0 时,则 a>0,b>0 或 a<0,b<0. | a | | b | | ab |

若 a>0,b>0,则有 y= a ? b ? ab =3;若 a<0,b<0,则有 y= a ? b ? ab =-1.

| a | | b | | ab |

| a | | b | | ab |

∴y= a ? b ? ab 的所有值组成的集合共有两个元素-1 和 3.则用列举法表示为{-1, | a | | b | | ab |
3}.
【例 2】定义 A-B={x|x∈A,x?B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列举法表
示集合 N-M.
分析:应用集合 A-B={x|x∈A,x?B}与集合 A、B 的关系来解决.依据定义知 N-M 就是集合 N
中除去集合 M 和集合 N 的公共元素组成的集合.观察集合 M、N,它们的公共元素是 2,3.集 合 N 中除去元素 2,3 还剩下元素 6,则 N-M={6}. 答案:{6}.
(设计者:张新军) 设计方案(二)
教学过程 导入新课 思路 1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的 解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集 合”,那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习
集合,引出课题. 思路 2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听

1

起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式 x-3>5 的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么?(提问学生)圆是到一个
定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这 5 个实例的共同特征是什么? (1)1~20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)北京大学 2004 年 9 月入学的全体学生. 活动:教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上, 师生共同概括出 5 个实例的特征,并给出集合的含义. 引导过程: ①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的 元素. ②集合常用大写字母 A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母 a,b,c,d,…表示. ③集合的表示法:a.自然语言(5 个实例);b.字母表示法. ④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系 只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元 素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的. ⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“?”表示. 元素确定性的符号语言表述为:对任意元素 a 和集合 A,要么 a∈A,要么 a?A.
⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法: 自然数集(包含零):N,正整数集:N*(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R. 因此字母 N、Z、Q、R 不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面. 提出问题 (1)请列举出“小于 5 的所有自然数组成的集合 A”. (2)你能写出不等式 2-x>3 的所有解吗?怎样表示这个不等式的解集? 活动:学生回答后,教师指出: ①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来, 元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法. 如本例可表示为 A={0,1,2,3,4}. ②描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式. 其中 x 为元素的一般特征,p(x)为 x 满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x, y)|p(x,y)}表示. 应用示例
思路 1 1.课本第 3 页例 1. 思路分析:用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内. 点评:本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少 时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;
2

列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素

写在大括号“{}”内,并写成 A={……}的形式.

变式训练

请试一试用列举法表示下列集合:

(1)A={x∈N|且 9 ∈N}; 9?x
(2)B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.

分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.

(1)集合 A 中元素 x 满足 9 均为自然数; 9?x
(2)集合 B 中 y 值为函数 y=-x2+6 的函数值的集合;

(3)集合 C 中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.

答案:(1)A={0,6,8};

(2)B={2,5,6};

(3)C={(0,6),(1,5),(2,2)}.

2.课本第 4 页例 2.

思路分析:本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为

集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然

后写在大括号“{}”内.

点评:本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步

骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号

内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集

合中元素所具有的共同特征.并写成 A={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集

合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.

变式训练

课本 P5 练习 2.

思路 2

1.下列所给对象不能构成集合的是( )

A.一个平面内的所有点

B.所有大于零的正数

C.某校高一(4)班的高个子学生

D.某一天到商场买过货物的顾客

思路分析:本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确

的,不能模棱两可.在 A 中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而

它可以组成一个集合;在 B 中由于大于零的正数很明确,因此 B 也能组成一个集合;C 中由于

“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成

集合;而 D 中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,

因此它也能组成一个集合.

答案:C

变式训练

下列各组对象中不能构成集合的是( )

A.高一(1)班全体女生

B.高一(1)班全体学生家长

3

C.高一(1)班开设的所有课程 D.高一(1)班身高较高的男同学 分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定 性便可以解决.因为 A、B、C 中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而 D 中所给对象不 确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将 D 中“身高较高的男 同学”改为“身高 175 cm 以上的男同学”,则能构成集合. 答案:D 2.用另一种形式表示下列集合: (1){绝对值不大于 3 的整数}; (2){所有被 3 整除的数}; (3){x|x=|x|,x∈Z 且 x<5}; (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}; (5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}. 思路分析:用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件 是什么. 答案:(1){绝对值不大于 3 的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2, -1,0,1,2,3}. (2){x|x=3n,n∈Z}. (3)∵x=|x|,∴x≥0. 又∵x∈Z 且 x<5, ∴{x|x=|x|,x∈Z 且 x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}. (4){-2}. (5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. 变式训练 用适当的形式表示下列集合: (1)绝对值不大于 3 的整数组成的集合; (2)所有被 3 整除的数组成的集合; (3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0 实数解组成的集合; (4)一次函数 y=x+6 图象上所有点组成的集合. 分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法. 答案:(1){x||x|≤3,x∈Z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3}; (2){x|x=3n,n∈Z};
(3){ 5 ,-2}; 3
(4){(x,y)|y=x+6}. 3.已知集合 A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围. 思路分析:对于方程 ax2-3x+2=0,a∈R 的解,要看这个方程左边的 x2 的系数,a=0 和 a≠0 方程的根的情况是不一样的,则集合 A 的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解:当 a=0 时,原方程为-3x+2=0 ?x= 2 ,符合题意; 3



a≠0

时,方程

ax2-3x+2=0

为一元二次方程,则

?a ??9

? 0, ? 8a

?

解得
0.

a≠0



a≤

9 8

.

4

综上所得 a 的取值范围是{a|a≤ 9 }. 8
4.用适当的方法表示下列集合:

(1)方程组

?2x ??3x

- 3y ? 14, ? 2y ? 8

的解集;

(2)1000 以内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合; (3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合; (4)所有正方形; (5)直角坐标平面上在直线 x=1 和 x=-1 的两侧的点所组成的集合. 分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由

于方程组

?2x ??3x

- 3y ? 14, ? 2y ? 8

的解为

x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于

它的元素个数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法; 而(4)则宜用列举法为好. 解:(1){(4,-2)}; (2){x|x=3k+2,k∈N 且 x<1000}; (3){(x,y)|x<0 且 y>0}; (4){正方形}; (5){(x,y)|x<-1 或 x>1}. 知能训练 课本 P5 练习 1、2. 拓展提升
1.已知 A={x∈R|x= | a | ? | b | ? | c | ? | ab | ? | ac | ? | bc | ? | abc | ,abc≠0},用列举法表 a b c ab ac bc abc
示集合 A. 分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论. 解:题目中 x 的取值取决于 a、b、c 的正负情况,可分成以下几种情况讨论: (1)a、b、c 全为正时,x=7; (2)a、b、c 两正一负时,x=-1; (3)a、b、c 一正两负时,x=-1; (4)a、b、c 全为负时,x=-1. ∴A={7,-1}. 注意:(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c 各自的正负情况),解题时应考虑全面. 2.已知集合 C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}. (1)若 A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合 C 中所有元素之和 S; (2)若 A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合 C 中 所有元素之和 S; (3)联系高斯求 S=1+2+3+4+…+99+100 的方法,试求出(2)中的 S. 思路分析:先用列举法写出集合 C,然后解决各个小题. 答案:(1)列举法表示集合 C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得 S=6+7+8+9+10+11+12=63. (2)列举法表示集合 C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得 S=5+6+7+…+2 013+2 014. (3) 高 斯 求 S=1+2+3+4+…+99+100 时 , 利 用 1+100=2+99=3+98=…=50+51=101 , 进 而 得

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S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050. 本题(2)中 S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095. 课堂小结 在师生互动中,让学生了解或体会下列问题: (1)本节课我们学习过哪些知识内容? (2)你认为学习集合有什么意义? (3)选择集合的表示法时应注意些什么?
设计感想 本节课是集合的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引 导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法. 作业 1.课本 P11 习题 1.1A 组 4. 2.元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种呢?如 何表示?请同学们通过预习课本来解答.
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