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【2019年整理】第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件_图文


命题及其关系、充分条件与必要条件
1. 理解命题的概念.

2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命
题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.

[理 要 点] 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的 陈述句叫做命题.其中 判断为真 的语句叫真命题,判断为假 的语句叫假命题.

二、四种命题及其关系
1.四种命题 命题 原命题 逆命题 表述形式 若p,则q

若q,则p
若綈 p,则綈 q

否命题 逆否命题

若綈 q,则綈 p

2.四种命题间的逆否关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性;

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没有关系 .
三、充分条件与必要条件 1.如果p?q,则p是q的 充分条件 ,q是p的 必要条件 . 2.如果p?q,q?p,则p是q的 充要条件 .

[究 疑 点] 1.“命题的否定”与“否命题”一样吗?
提示: 不一样.“ 否命题 ” 与“ 命题的否定 ”是两个不 同的概念.如果原命题是 “若 p,则 q”,那么这个原命 题的否定是“若 p,则綈 q”,即只否定结论;而原命题 的否命题是“若綈 p,则綈 q”,即既否定命题的条件, 又否定命题的结论.

2.命题“若p,则q”的逆命题为真,逆否命题为假,则p 是q的什么条件? 提示:逆命题为真即q?p,逆否命题为假,即p 故p是q的必要不充分条件. q.

[题组自测] 1.下列命题是真命题的为 1 1 A.若x= y,则 x=y C.若 x=y,则 x= y ( )

B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2

1 1 解析:由x= y得 x=y,A 正确,B、C、D 错误.

答案:A

2.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、

逆否命题中,假命题的个数为
A.1 C. 3 B.2 D.4

(

)

解析:原命题为真命题,从而其逆否命题也为真命
题;逆命题:若a>-6,则a>-3为假命题,则否命 题也为假命题. 答案:B

3.下列有关命题的说法正确的是
则x≠1”

(

)

A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1, B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:

“?x∈R,均有x2+x+1>0”
D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题

解析:命题“若x=y,则sinx=siny”为真命题,∴其逆 否命题为真命题. 答案:D

4.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、
逆否命题,并判断真假. (1)若四边形的对角互补,则该四边形是圆内接四边形; (2)在二次函数y=ax2+bx+c中,若b2-4ac<0,则该函 数图象与x轴有交点.

解:(1)该命题为真命题. 逆命题:若四边形是圆内接四边形,则该四边形的对角互

补.真命题.
否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆内接 四边形.真命题. 逆否命题:若四边形不是圆内接四边形,则该四边形的对 角不互补.真命题.

(2)该命题是假命题. 逆命题:在二次函数y=ax2+bx+c中,若该函数的图象与x

轴有交点,则b2-4ac<0.假命题.
否命题:在二次函数y=ax2+bx+c中,若b2-4ac≥0, 则该函数图象与x轴没有交点.假命题. 逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点, 则b2-4ac≥0.假命题.

[归纳领悟]
1.在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的 条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关 系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原 命题,也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否

命题”.
2.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保 留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成 的命题,在写其他三种命题时,应把其中一个(或n个)作 为大前提.

[题组自测] 1.(2010· 陕西高考)“a>0”是“|a|>0”的 ( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:因为|a|>0?a>0或a<0,所以a>0?|a|>0, 但|a|>0 条件. a>0,所以a>0是|a|>0的充分不必要

答案:A

2.设全集U={x∈N*|x≤a},集合P={1,2,3},Q={4,5,6}, 则a∈[6,7)是?UP=Q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ( )

C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 解析:若a∈[6,7),则U={1,2,3,4,5,6},则?UP=Q,若 ?UP=Q,则U={1,2,3,4,5,6},结合数轴可得6≤a<7. 答案:C

3.设有如下三个命题:

甲:m∩l=A,m,l?α,m,l?β;
乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交; 丙:平面α与平面β相交. 当甲成立时,乙是丙的________条件. 解析:由题意乙?丙,丙?乙. 故当甲成立时乙是丙的充要条件. 答案:充要

4.下列各题中,p是q的什么条件? (1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB; f?-x? (2)p: =1;q:y=f(x)是偶函数; f?x? (3)p:|x|=x,q:x2+x≥0.

解: (1)若∠ A=∠ B,则 sinA= sinB,即 p? q. 又若 sinA= sinB,则 2RsinA= 2RsinB,即 a= b. ∴∠ A=∠ B,即 q? p. 所以 p 是 q 的充要条件. f?- x? (2)∵ = 1,∴ f(- x)= f(x), f? x? ∴ y= f(x)是偶函数,∴ p? q. 取 f(x)= x2 为 R 上的偶函数, f?- x? 但 在 x= 0 时没有意义,∴ q? p. f? x? ∴ p 是 q 的充分不必要条件.

(3)p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A, q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0或x≤-1}=B,

∵A

B,∴p是q的充分不必要条件.

[归纳领悟] 充分条件、必要条件、充要条件的判定:

(1)定义法
①分清条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论; ②找推式:判断“p?q”及“q?p”的真假; ③下结论:根据推式及定义下结论.

(2)等价转化法

条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命
题来判断. 注意:从集合的角度理解,小范围可以推出大范围,大 范围不能推出小范围.

[题组自测]
1.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0, 则l1∥l2的充要条件是a=______.

解析:由1×3-a×(a-2)=0得a=3或-1,而a=3时,
两条直线重合,所以a=-1. 答案:-1

2.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充

分条件,则a的取值范围为____________.
解析:设 q、p 表示的范围为集合 A、B, 则 A=(2,3),B=(a-4,a+4). 因 q 是 p 的充分条件,则有 A?B,
? ?a-4≤2, 即? ? ?a+4≥3.

所以-1≤a≤6.

答案:-1≤a≤6

3.已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存

在,求出m的范围;
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存 在,求出m的范围.

解:(1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件,∴P=S,
? ?1-m=-2 ∴? ? ?1+m=10 ? ?m=3 ,∴? ? ?m=9

.

∴这样的 m 不存在. (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P.
? ?1-m≥-2 ∴? ? ?1+m≤10

.∴m≤3.

综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

本题条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求 实数 m 的取值范围.
解:由 3 题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,∴P?S 且 S?/ P. ∴[-2,10] [1-m,1+m].
? ?1-m<-2 或? ? ?1+m≥10.

? ?1-m≤-2, ∴? ? ?1+m>10

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).

[归纳领悟]
在有些含字母参数的数学命题中,可以借助p和q间 “条件”的关系,确定相应等式(或不等式),从而建立 关于参数的方程(或不等式),进而求得参数的取值范围.

一、把脉考情

从近两年的高考试题看,充要条件的判定、命题真假的
判断等是高考的热点,题型以选择题、填空题为主,分值为 5分,属中低档题目.本节知识常和函数、不等式、向量、 三角函数及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相 结合,考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与

平面位置关系判定的掌握程度.
预测2012年高考仍将以充要条件的判定、判断命题的真 假为主要考点,重点考查学生的逻辑推理能力.

二、考题诊断

1.(2010· 江西高考)对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2
>bc2”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:由ac2>bc2?a>b,但由a>b推不出ac2>bc2.
答案:B

2.(2010· 福建高考)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是
“|a|=5”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ( B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

解析:当x=4时,a=(4,3),则|a|=5;若|a|=5,则x

=±4.故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件.
答案:A

1 3.(2010· 广东高考)“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 4 有实数解”的 A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 ( B.充分必要条件 D.非充分非必要条件 )

解析: 一元二次方程 x2 + x + m = 0 有实数解 ? 1 - 1 4m≥0?m≤ . 4 1 1 1 1 当 m< 时,m≤ 成立,但 m≤ 时,m< 不一定成立. 4 4 4 4

答案:A

4.(2010· 安徽高考)命题“对任何x∈R,|x-2|+|x- 4|>3”的否定是________. 解析:由定义知命题的否定为“存在x∈R,使得|x- 2|+|x-4|≤3”. 答案:存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3

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