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江西省萍乡市高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2_图文


两条直线的交点

.了解两直线的交点的概念,会求两直线的交点坐标. .理解两直线交点个数与位置关系的联系,会综合判断两直线的 位置关系. .应用直线相交解决有关问题.

两条直线的交点 ()求法:用代数方法求两条直线的交点坐标,两直线方程联立方程 组,此方程组的解就是这两条直线的交点坐标,因此解方程组即可. ()应用:可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系. 一般地,将直线和直线的方程
当联方立程,得组方有程唯组一解12时 ++和相12交 ++,方1程2 ==组00的,. 解就是交点的坐标. 当方程组无解时与平行. 当方程组有无数组解时与重合.

【做一做】 直线与直线的交点坐标是

.

答案:()

【做一做】 判断直线和直线的位置关系,如果相交,求出交点坐

标.

解:解方程组

--1 = 0, 2 + + 4

=

0,

得 = -1,所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). = -2,

题型一 题型二 题型三 题型四

题型一 判断两条直线的位置关系

【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交,求出交点坐标.

解:解方程组

-2 + 1 = 0, 得 2-2 + 3 = 0,

= -2,



=

-

1 2

所以直线 ,

l1



l2

相交,交

点坐标是

-2,-

1 2

.

反思可以利用两直线方程组成的方程组的解的个数来判断两条

直线的位置关系.当方程组无解时,两条直线平行;当方程组仅有一 组解时,两条直线相交;当方程组有无数组解时,两条直线重合.

题型一 题型二 题型三 题型四

【变式训练】 判断下列两直线是否相交,若相交,求出它们的交 点坐标.

();

().

解:(1)解方程组

2- = 7, 3 + 2-7 = 0,





= =

3, -1,

所以直线 l1 与 l2 相交,交点坐标为(3,-1). (2)方程组 24--612+ +48==0,0,有无数组解,因此,l1 与 l2 重合.

题型一 题型二 题型三 题型四

题型二

求直线方程

【例】 求经过两条直线和的交点,且与直线垂直的直线的方程. 分析:方法一,解方程组得点的坐标,又直线与垂直,可得直线的斜 率,然后按点斜式写出方程;方法二,根据直线与垂直,设出直线方程, 再由点的坐标解得;方法三,由过两条直线交点的直线系设出直线 方程,再根据直线与垂直来求解.

题型一 题型二 题型三 题型四
解:方法一: 解方程组 -2 + 4 = 0,得 P(0,2).
+ -2 = 0, 因为 l⊥l3 且 l3 的斜率为34, 所以直线 l 的斜率为-43. 所以 l 的方程为 y=-43x+2,即 4x+3y-6=0.

题型一 题型二 题型三 题型四
方法二: 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, 解方程组 -2 + 4 = 0,得 P(0,2),
+ -2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.

题型一 题型二 题型三 题型四
方法三: 很显然直线不为直线,所以可设直线的方程为λ(), 即(λ)(λ)λ, 由题意,知(λ)()(λ), 解得λ,则直线的方程为. 反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从 垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线的斜率和一定点坐标;方法 二是从直线与直线垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三 是从直线过直线和的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线系设 出方程.

题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练】 设三条直线交于一点,求的值.

解:解方程组

-2 2 +

= 1, =

3,





=

+6 +4

,



=

1 +4

,

即前两条直线的交点坐标为

+6 +4

,

1 +

4

.

因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点,

所以有

3k·

+6 +4

+

+4 4=5.

解得 k=1 或 k=-136.

题型一 题型二 题型三 题型四

题型三

对称问题

【例】 求直线关于直线的对称直线方程. 分析:本题主要考查轴对称问题,关键是把直线的对称转化为点的 对称.

题型一 题型二 题型三 题型四

解:方法一:由 -2-1 = 0, 得两直线的交点为 A(1,0). + -1 = 0,

在 x-2y-1=0 上取点 B

0,-

1 2

,

设点 B 关于 x+y-1=0 的对称点为 C(x0,y0),则有

0+0 2

+

-12+0 2

-1

=

0,

0- -12 0-0

·(-1) = -1,

解得

3
x0=2,y0=1,

即点 C 的坐标为

3 2

,1

.

题型一 题型二 题型三 题型四

由于所求直线经过 A,C 两点,

则有-0
1-0

=

32--11,即

2x-y-2=0.

∴所求直线方程为 2x-y-2=0.

方法二:设 P(x,y)为所求直线上任一点,点 P 关于 x+y-1=0 的对

称点为 P0(x0,y0),则 P0 在 x-2y-1=0 上,即 x0-2y0-1=0.
∵P 与 P0 关于 x+y-1=0 对称,



-0 -0

×

(-1)

=

-1,

+0 2

+

+0 2

-1

=

0.

∴x0=1-y,y0=1-x.

代入 x0-2y0-1=0,得 1-y-2(1-x)-1=0,

故所求直线方程为 2x-y-2=0.

题型一 题型二 题型三 题型四
反思关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这一基本条 件,“垂直”是指两个对称点连线与已知对称轴垂直,“平分”是 指两对称点连成线段的中点在对称轴上,可通过这两个条件列方程 组求解.

题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练】 已知直线,求点()关于直线的对称点的坐标.

解:设点 A(x,y)是点 P 关于直线 l 的对称点,

∵AP 的中点在直线 l 上,

∴+2 5=3×+24+3,即 3x-y+13=0.



又 AP 与直线 l 垂直,

∴--54×3=-1,

即 x+3y-19=0.



解①②组成的方程组可得 x=-2,y=7,

即所求点的坐标为(-2,7).

题型一 题型二 题型三 题型四

题型四 易错辨析

易错点:忽视对直线方程中系数为 0 的讨论而致误

【例 4】 已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当 m 为何

值时,直线 l1 与 l2:①相交;②平行;③重合. 错解:①由1-2 ≠ 3,得 m≠-1 且 m≠3,这时 l1 与 l2 相交;

②当 m=-1 时,l1 与 l2 平行;

③当 m=3 时,l1 与 l2 重合.

错因分析:错解在于忽视了对直线方程中系数为 0 的讨论,即 l1

中 m 为 0 时,l1 与 l2 相交,l2 中 m-2=0 即 m=2 时,l1 与 l2 也相交,但是不

能由 1
-2



3求出.

题型一 题型二 题型三 题型四
正解:①当 m=0 时,l1 为 x+6=0,l2 为-2x+3y=0,此时两直线相交;
当 m=2 时,l1 为 x+2y+6=0,l2 为 3y+4=0,此时两直线相交; 当 m≠0 且 m≠2 时,由1-2 ≠ 3,得 m≠-1 且 m≠3,此时 l1 与 l2 相交, 因此,当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交;
②当 m=-1 时 l1 与 l2 平行; ③当 m=3 时 l1 与 l2 重合.

题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练】 已知两条不同直线:()()相交,则的值是 .
解析:直线 l1 的斜率为 k1=-4+3,当 m=-5 时,l2 的斜率不存在,则 l1 与 l2 相交;当 m≠-5 时,l2 的斜率为 k2=-5+2.要使 l1 与 l2 相交,需使 k1≠k2,即-+4 3≠-5+2,整理得 m2+8m+7≠0,解得 m≠-1 且 m≠-7.
答案≠且≠

.直线和的交点的坐标为 ( )

.()

.()

.()

.()

解析:由方程组

3 + 2 + 6 = 0, 得 2 + 5-7 = 0,



= =

-4, 3.

即两条直线的交点坐标为(-4,3).

答案

.直线关于直线对称的直线方程为 ( )

解析:由

-2 + = 1,

1

=

0,得交点

A(1,1),且可知所求直线的斜率为-12.

则所求直线的方程为 答案

y-1=-12(x-1),即

x+2y-3=0.

.已知两直线和的交点在轴上,则的值为( )

.± .以上都正确

解析:由

2 + -

3- + 12

= =

0,消 0

y,得

x=22-+336,

由已知得22-+336=0,

答案即 k=±6.

.过原点和直线与的交点的直线方程为

.

解析:由

-3 + 2 +

4 = 0, + 5 = 0,





=

-

19 7

,



=

3 7

,

即 l1 与 l2 的交点坐标为

-

19 7

,

3 7

.

又直线过原点,则所求直线的斜率为-139.故所求直线方程为 y=-

139x,即 3x+19y=0.

答案

12345

5.求经过直线l1:2x+3y-5=0,l2:3x-2y-3=0的交点,且平行于直线2x+y-

3=0的直线方程.

解:由

2 + 3-5 3-2-3 =

= 0,

0,





=

19 13

,



=

9 13

.

∴l1,l2 的交点坐标为

19 13

,

9 13

.

又直线 2x+y-3=0 的斜率为-2,

即所求直线的斜率为-2,

∴所求的直线方程为 y-193=-2

-

19 13

,

即 26x+13y-47=0.



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