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2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.2均值不等式的应用课件新人教B版必修1_图文


第2课时 均值不等式的应用 类型一 “常数代换法” 求最值 【典例】若点A(1,1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则 1 + 1 的最小值为________. 世纪金榜导学号 mn 【思维·引】由已知条件得到m,n的关系,构造均值 不等式求最值. 【解析】因为A(1,1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上, 所以m+n=1,而 1+ 1 = m + n + m + n = 2 + n+ m ≥2+2=4, mn m n mn 当且仅当m=n= 1 时取“=”,所以 1 + 1 的最小值为4. 2 mn 答案:4 【内化·悟】 “常数代换法”适合什么样的问题求解? 提示:有条件的求最值问题. 【类题·通】 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求 解最值的基本步骤为: (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除, 进而构造和或积的形式. (4)利用均值不等式求最值. 【习练·破】 已知x ,y均为正数,且 1 ? 9 =1,求x +y的最小值. xy 【解析】x+y=(x+y)( 1 ? 9 ) xy =10+ y ? 9 x ≥10+2 y g 9 x =16, xy xy 当且仅当 y = 9 x 且 1 ? 9 =1, xy xy 即x=4, y=12时取等号,所以x+y的最小值为16. 【加练·固】 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 () A.2 4 B.2 8 C.5 D.6 5 5 【解析】选C.由x+3y=5xy, 可得 1 + 3 =1, 5y 5x 所以3x+4y=(3x+4y)·( 1 + 3 ) 5y 5x = 9+4+3x+12y 5 5 5y 5x ≥ 13+2 5 3xg12y=13+12 5y 5x 5 5 =5,当且仅当x=1,y= 1 2 时取等 号,故3x+4y的最小值是5. 类型二 利用均值不等式证明不等式 【典例】已知a,b,c均大于0,且a+b+c=1, 世纪金榜导学号 求证:1 ? 1 ? 1 ≥9. abc 【思维·引】将“1”换为a+b+c,转化成积为常数的 特点,利用均值不等式证明. 【证明】因为a,b,c均大于0且a+b+c=1,所1以? 1 ? 1 ? abc a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 3 ? ( b ≥? 3a +) 2? ( c ? a ) ? ( c ? b ) a b c a ba cb c +2+2=9.当且仅当a=b=1 c= 时,等号成立. 3 【内化·悟】 结合均值不等式判断:a ? b 和 2 提示:a ? b≤ a 2.? b 2 2 2 a 2 ? b 2 的大小关系. 2 【类题·通】 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助 不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最 后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等 式时注意使用; ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形 成均值不等式模型,再使用. 【习练·破】 已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥ 8abc. 【证明】因为a,b,c都是正数, 所以a+b≥2 a b >0,b+c≥2 b >c 0,c+a≥2 a c>0,所 以(a+b)(b+c)(c+a)≥2 a b·2 b·c 2 =a c8abc,即 (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时等号成立. 【加练·固】 已知a,b,c为正数, 求证:b+ c- a+ c+ a- b+ a+ b- c≥3. a b c 【证明】左边= b+ c- 1+ c+ a- 1+ a+ b- 1 a a bb c c =(b?a)+ (c?a)+ .(c?b)- 3 a b a c bc 因为a,b,c为正数, 所以 b + ≥a 2(当且仅当a=b时取“=”); ab c + ≥a 2(当且仅当a=c时取“=”); ac c + ≥b 2(当且仅当b=c时取“=”). bc 从而 (b+ a)+ (c+ a≥)+ 6((c当+ 且b)仅当a=b=c时取等号). a b ac bc 所以 (b+ a)+ (c+ a-)+ 3≥(c3+ ,b) a b ac bc 即 b+ c- a+ c+ a- ≥b+ 3a . + b- c a b c 类型三 均值不等式的实际应用 【典例】玩具所需成本费用为P元,且P与生产套数x的 关系为P=1 000+5x+ 1 x2,而每套售出的价格为Q元, 10 其中Q(x)=a+ x (a,b∈R), 世纪金榜导学号 b (1) 问:该玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本 费用最少? (2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时 利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润= 销售收入-成本) 【思维·引】列出每套玩具的成本费用 P 以及利润 x x·Q(x)-P的式子,可进行求解. 【解析】(1)每套玩具所需成本费用为 P=1 000+5x+1 x2 10 x x = 1x+ 1000+ 5?2100+5=25,当 1 x=1 000 ,即x=100时 10 x 10 x 等号成立,故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少. (2)利润为x·Q(x)-P =x(a+ x)- (1000+ 5x+ x2) b 10 =( 1 - 1


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