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2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B版必修1_图文


2.2 不 等 式 2.2.1 不等式及其性质 1.不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点. (1)不等符号<, >,≤,≥或≠. (2)所表示的关系是不等关系. 【思考】 (1)不等号“≤,≥”的读法分别是什么? 提示:“≤”读作小于或者等于,“≥”读作大于或者 等于. (2)不等式“a≤b”的含义是什么?只有当“a<b”与 “a=b”同时成立时,该不等式才成立,是吗? 提示:不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含 义是指“或者a<b或者a=b”,等价于“a不大于b”, 即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. 2.比较两个实数大小的方法 (1)画数轴比较法 ①实数与数轴上的点一一对应 依据 ②如果点P对应的数为x,则x为点P的坐标, 并记作P(x) 结论 数轴上的点往数轴的正方向运动时,它所对 应的实数会变大. (2)作差比较法 如果a-b>0,那么a>b 依据 如果a-b<0,那么a<b 如果a-b=0,那么a=b 结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确 定它们的差a-b与0的大小关系 【思考】 (1)在比较两实数a,b大小的依据中,a,b两数是任意 实数吗? 提示:是任意实数. (2)若“b-a>0”,则a,b的大小关系是怎样的? 提示:b>a. 3.不等式的性质 性质1 a>b?a+c>b+c 性质2 a>b,c>0?ac>bc 性质3 a>b,c<0?ac<bc 性质4 a>b,b>c?a>c 性质5 a>b?b<a 4.不等式性质的推论 推论1 a+b>c?a>c-b 推论2 a>b,c>d?a+c>b+d 推论3 a>b>0,c>d>0?ac>bd 推论4 a>b>0?an>bn(n∈N,n>1) 推论5 a>b>0 ? a >___b 【思考】 (1)性质2,3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不 为零的数,不改变不等号的方向,对吗?为什么? 提示:不对.要看两边同乘以的数的符号,同乘以正数, 不改变不等号的方向,但是同乘以负数时,要改变不 等号的方向. (2)推论1类似于解方程中的什么法则? 提示:移项法则. (3)使用推论3,4,5时,要注意什么条件? 提示:各个数均为正数. 5.证明问题的常用方法 (1)综合法:从已知条件出发,综合利用各种结果,经 过逐步推导最后得到结论的方法. (2)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止. (3)反证法:首先假设结论的否定成立,然后由此进行 推理得到矛盾,最后得出假设不成立.反证法是一种间 接证明的方法. 【思考】 (1)综合法与分析法有什么区别? 提示:综合法是从已知条件出发,逐步寻找的是必要 条件,即由因导果;分析法是从待求结论出发,逐步 寻找的是充分条件,即执果索因. (2)反证法的实质是什么? 提示:反证法的实质就是否定结论,推出矛盾,从而 证明原结论是正确的. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( ) (2)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种 关系中的一种. ( ) (3)若a>b,则ac2>bc2. ( ) (4)若a+c>b+d,则a>b,c>d. ( ) 提示:(1)√.不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2. (2)√.任意两数之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关 系中的一种,没有其他大小关系. (3)×. 由不等式的性质,ac2>bc2?a>b;反之,c=0 时,a>b? ac2>bc2. (4)×.取a=4,c=5,b=6,d=2,满足a+c>b+d, 但不满足a>b,故此说法错误. 2.设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是 ( ) A.a-c>b-d B.ac>bd C.a+c>b+d D.a+d>b+c 【解析】选C.因为b<a,d<c,所以b+d<a+c. 3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为________. 【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,所以x-2<0, x-1<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x. 答案:x2+2>3x 类型一 作差法比较大小 【典例】比较下列各式的大小: (1)当x≤1时,比较3x3与3x2-x+1的大小. (2)当x,y,z∈R时,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的 大小. 【思维·引】利用作差法比较,先作差、化简,再判 断差的符号. 【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1) =(3x2+1)(x-1). 因为x≤1,所以x-1≤0,而3x2+1>0. 所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1. (2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, 所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2, 当且仅当x=y=1 且z=1时取到等号. 2 【素养·探】 本例考查作差法比较大小,突出考查了逻辑推理与数 学运算的核心素养. 本例(1)中,若把条件“x≤1”去掉,试比较所给两式 的大小. 【解析】去掉条件“x≤1”后需对差的符号进行讨论. 显然3x2+1>0,所以 当x<1时,(3x2+1)(x-1)<0,所以3x3<3x2-x+1; 当x=1时,(3x2+1)(x-1)=0,所以3x3=3x2-x+1; 当x>1时,(3x2+1)(x-1)>0,所以3x3>3x2-x+1. 【类题·通】 作差法比较大小的步骤 【习练·破】 已知x,y∈R,P=2x2-xy+1


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