您现在的位置:首页 > >

07-08微积分A套参考答案及评分细则

发布时间:

07—08 学年第一学期微积分 A 参考答案及评分细则 A 套) — 学年第一学期 第一学期微积分 (
一:填空(每小题 2 分,共 20 分) 1: (?1, 2) 、 8: ln 3dx 、 2:2、 3:2、 4:k、 5: ?

2 e 、 6: 、 7、0 2 x 1 + e2

9: 3 x ? 4 y = 1 、 10:24

二:选择题(每小题 2 分,共 10 分) 1: B 2:B、 3:C、 4:A 5:A 三:计算题(每小题 6 分,共 48 分) 1、解:

lim
x →0

x2 1 ? 1 + x2
x →0

= lim
x →0

x 2 (1 + 1 + x 2 ) ? x2

3分 6分

= ? lim(1 + 1 + x 2 ) = ?2
2、解:

1 ? ex ?1 ? x ?1 lim ? ? x ? = lim x →0 x e ? 1 ? x →0 x(e x ? 1) ? ex ?1 = lim x 3分 x → 0 e ? 1 + xe x ex 1 = lim x = 6分 x x → 0 2e + xe 2
3、解
1 hx

lim x1? x = lim e1? x
x →1 x →1

3分 1 e 6分

= e x→11? x = e x→1 x =
4、解

lim

ln x

lim

1

y = arcsin x + = arcsin x dy = arcsin xdx
5、解: y =
'

x 1? x
2

+

1 2 1? x 4分
2

(1 ? x )′
2

3分

6分

1 e x + 1 + e2 x
ex 1 + e2 x
x =0

(e x + 1 + e 2 x ) ' x =

1 e x + 1 + e2 x

(e x +

e2 x 1 + e2x

)=

ex 1 + e2 x

4分

y (′0 ) =

=

1 2

6分

6、解: ln y = x ln

b + a (ln b ? ln x ) + b(ln x ? ln a ) a

2分

1 b a b y ′ = ln ? + y a x x

4分

b b x b a ?b y ′ = ( ) x ( ) a ( ) b (ln ? ) a x a a x
7、解:

6分

?cos x f ′( x) = ? x ?e

x<0 x>0
=1 4分

2分

f ′(0) = lim

f ( 0 +△ x ) ? f ( 0 )
△x

△ x →0

因为 lim f ′ ( x ) = 1 = f ′(0)
x →0

所以 f ′( x ) 在 x = 0 处连续。
sin x ? =1 ? x x →0 8、解: x→0 ? ? b =1 lim f ( x) = lim (ax + b) = b ? x→0 ? x →0 ? ? lim f ( x ) = lim
+ +

6分

3分

sin x ? ?1 ? x f ' (0 ) = lim = 0? ? a = 0 ? x →0 x ? ? f ' (0? ) = a ?
+

6分

四:应用题(每小题 8 分,共 16 分) 应用题 1、解:设利润函数为 L

L = R?C
= PQ ? 60000 ? 20Q = (60 ?
Q )Q ? 20Q ? 60000 1000

4分

L ' = 40∴ Q = 20000

Q =0 500
6分

L ′′ ( Q ) = ?

1 ≤0 500

7分

所以当 Q=20000 时利润最大,最大利润为 L(20000)=34000(元) 8 分 解:

f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + b f ′′( x ) = 6 x + 2a

f ′(0) = 0 f ′′(1) = 0

? ?
a = ?3

b=0

f (1) = ?1

?

c =1 3分

2 令 f ′( x ) = 3 x ? 6 x = 3x ( x ? 2) = 0

?

x = 0, x = 2

令 f ′′( x ) = 6 x ? 6 = 6( x ? 1) = 0

?

x =1

5分

∴ f ( x ) = x 3 ? 3x 2 + 1
x

(?∞,0)
+ 上升下凹

0 0

(0,1) -

1

(1,2) -

2 0

( 2,+∞)
+ +

f ′(x )
f ′′(x )

0 拐

+ 下降上凹 局 小

f (x )

局大

下降下凹

上升上凹

极大值 f (0) = 1 ,极小值 f (2) = ?3 四:证明(6 分)

8分

证明: 令F ( x ) = f ( x ) ? e x
  则F ( x)在[0, a ]上连续 因1 < f ( x) < e a 则F (1) ? F (a ) < 0 利用闭区间上连续函数的零值定理, 至少存在一个ξ 使f (ξ ) = eξ 再证在(0, a )最多有一个x使F ( x) = 0 反证倘设存在0 < x1 < x2 < a使F ( x1 ) = F ( x2 ) = 0 4分

2分

F ( x ) 在[ x1 , x 2 ]上满足罗尔定理的条件 则至少存在ξ ∈ (0, a ) 使F ′ (ξ ) = 0
即f ′(ξ ) = e ξ > 0这与在 (0, a ) 内f ′( x ) < 0, 矛盾 ! 即最多有一个x ∈ (0, a ) 使F ( x ) = 0 故在 (0, a ) 内有且仅有一个x使f ( x ) = e x 。
6分



热文推荐
猜你喜欢
友情链接: 工作计划 总结汇报 团党工作范文 工作范文 表格模版 生活休闲