您现在的位置:首页 > 高三数学 >

2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)


2019 届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三第二次模拟考试数学 (理)试题

一、单选题
1.已知复数 z 满足 zi ? i ? m?m? R? ,若 z 的虚部为1,则复数 z 在复平面内对应的

点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】A

【解析】z

?

m? i

i

?

?m ? i???i? i ???i?

?

1?

mi

,虚部为1,即

z

?1?i

,故对应点 ?1,1?

在第一象

限.

2.已知全集U ? R ,集合 A ?{x | x? x ? 2? ? 0}, B ?{x | x ?1},则下图阴影部分

表示的集合是( )

A. ??2,1?
【答案】C

B. ???1,0???1, 2?

C. ??2,?1? ??0,1?

D. ?0,1?

【解析】由题意可得: A ? {x | ?2 ? x ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 1},

由文氏图可得,图中阴影部分的面积表示集合: x ?? A? B?且 x ?? A? B?的元素,

即阴影部分表示的集合是 ??2, ?1? ??0,1? .
本题选择 C 选项.

3.已知命题

A.

B.

【答案】B

;命题 若 ,则 ,则下列为真命题的是( )

C.

D.

【解析】因为 命题 为假,所以

为真,选 B.

4.已知向量



,若

,所以命题 为真; ,则实数 ( )

第 1 页 共 21 页

A.2

B.-2

C.

D.

【答案】A

【解析】根据题意,求出向量 的坐标,进而可得向量 与 、 的模,分析可

得 【详解】

,解可得 m 的值,即可得答案.

根据题意,向量 (m,2), (1,1),



(m+1,3),

则| |

,| |

,| | ,

若| |=| |+| |,则有



两式平方得到 解可得:m=2; 故答案为:A. 【点睛】

再平方得到

本题考查模的计算,关键是分析向量 与 的关系.

5.设等差数列 的前 项和为 ,若



,则当 取最小值时, 等

于( )

A.9 B.8 C.7 D.6

【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为 d, a1=?11,a4+a6=?6,可得?11+3d?11+5d=?6,解得 d=2,

则 Sn=na1+ n(n?1)d=n2?12n=(n?6)2?36,当 n=6 时,Sn 取最小值?36. 本题选择 D 选项.

6.函数

的图象大致为( )

A.

B.

第 2 页 共 21 页

C.

D.

【答案】A

【解析】函数 令 可得: 本题选择 A 选项.

是偶函数,其图象关于 y 轴对称,选项 CD 错误; ,选项 B 错误;

点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;

从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)

从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用

上述方法排除、筛选选项.

7.2020 年东京夏季奥运会将设置

米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的

规则是:每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员参加比赛,按照仰泳 蛙泳 蝶泳

自由泳的接力顺序,每种泳姿 100 米且由 1 名运动员完成,且每名运动员都要出场, 若中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由

泳,男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳,剩下的 2 名运动员四种泳姿都可以承担,则

中国对的排兵布阵的方式共有( )

A.144 种

B.24 种

C.12 种

D.6 种

【答案】D

【解析】分两类,甲承担仰泳与甲承担自由泳,根据分类计数原理可得.

【详解】

由题意,若甲承担仰泳,则乙运动员有 A22=2 种安排方法,其他两名运动员有 A22=2 种安排方法,共计 2×2=4 种方法,

若甲承担自由泳,则乙运动员只能安排蝶泳,其他两名运动员有 A22=2 种安排方法, 共计 2 种方法,

所以中国队共有 4+2=6 种不同的安排方法,

故选:D.

【点睛】

本题考查了排列组合的问题,考查了分类计数原理,考查了运算和推理能力,属于中档

题.解排列组合问题要遵循两个原则:

①按元素(或位置)的性质进行分类; 第 3 页 共 21 页

②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体, 即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置). 8.20 世纪 70 年代,流行一种游戏——角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数 , 按照以下的规律进行变换,如果 是奇数,则下一步变成 ;如果 是偶数,则下一
步变成 ,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底, 下列程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的 的值为 6,则输入的 值可以为 ()

A.5 或 16

B.16

C.5 或 32

D.4 或 5 或 32

【答案】C

【解析】根据各个选项 n 的值,模拟程序的运行,依次验证程序的输出的 i 的值是否为

6 即可得解.

【详解】

模拟程序的运行,由题意可得

当输入的 n 的值为 5 时,

i=1,第 1 次循环,n=5,n 为奇数,n=16

i=2,第 2 次循环,n 为偶数,n=8

i=3,第 3 次循环,n 为偶数,n=4

i=4,第 4 次循环,n 为偶数,n=2

i=5,第 5 次循环,n 为偶数,n=1

i=6,满足条件 n=1,退出循环,输出 i 的值为 6.符合题意.

当输入的 n 的值为 16 时,

i=1,第 1 次循环,n=16,n 为偶数,n=8

i=2,第 2 次循环,n 为偶数,n=4

第 4 页 共 21 页

i=3,第 3 次循环,n 为偶数,n=2 i=4,第 4 次循环,n 为偶数,n=1 i=5,满足条件 n=1,退出循环,输出 i 的值为 5.不符合题意. 当输入的 n 的值为 32 时, i=1,第 1 次循环,n=32,n 为偶数,n=16 i=2,第 2 次循环,n 为偶数,n=8 i=3,第 3 次循环,n 为偶数,n=4 i=4,第 4 次循环,n 为偶数,n=2 i=5,第 5 次循环,n 为偶数,n=1 i=6,满足条件 n=1,退出循环,输出 i 的值为 6.符合题意. 当输入的 n 的值为 4 时, i=1,第 1 次循环,n=4,n 为偶数,n=2 i=2,第 2 次循环,n 为偶数,n=1 i=3,满足条件 n=1,退出循环,输出 i 的值为 3.不符合题意. 故选:C. 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的 结论,是基础题.

9.如图,在边长为 1 的正方形

内任取一点 ,用 表示事件“点 恰好取自曲线

与直线 及 轴所围成的曲边梯形内”, 表示事件“点 恰好取自阴影部分内”,则 ()

A.

B.

【答案】A

【解析】试题分析:根据题意,正方形

C.

D.

的面积为 1×1=1,而

与直线 及

第 5 页 共 21 页

轴所围成的曲边梯形的面积为 ∴正方形

,而阴影部分的面积为 中任取一点 ,点 取自阴影部分的概率为

,故选 A. 【考点】几何概型,条件概率

10.已知

(其中

),



的最小值为 ,



,将 的图象向左平移 个单位得 ,则 的单调递减区间是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得 f(x)的解析式,利用函数 y=

Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 G(x)的解析式,利用余弦函数的单调性求得则 G

(x) 的单调递减区间.

【详解】

∵f(x)=sin(ωx+θ),其中 ω>0,θ∈(0, ),f'(x1)=f'(x2)=0,|x2﹣x1|min ,

∴ ?T



∴ω=2,

∴f(x)=sin(2x+θ).

又 f(x)=f( x), ∴f(x)的图象的对称轴为 x ,

∴2? θ=kπ ,k∈Z,又



∴θ ,f(x)=sin(2x ). 将 f(x)的图象向左平移 个单位得 G(x)=sin(2x

)=cos2x 的图象,

令 2kπ≤2x≤2kπ+π,求得 kπ≤x≤kπ ,则 G(x)=cos2x 的单调递减区间是[kπ,kπ ], 故选:A. 【点睛】 本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换

第 6 页 共 21 页

规律,余弦函数的单调性,属于中档题.

11.已知双曲线

与双曲线

,若以 四个顶点

为顶点的四边形的面积为 ,以 四个焦点为顶点的四边形的面积为 ,则 取 到最大值时,双曲线 的一条渐近线方程为

A.

B.

C.

【答案】B

【解析】由题意可得:

D.
, ,

据此有:

,结合均值不等式的结论有:

当且仅当 ,即

程为

.

本题选择 B 选项.

时, 取得最大值,此时双曲线 的一条渐近线方

12.设函数

,若存在区间 ,则 的取值范围是( )

,使得 在 上的值域为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】判断 f(x)的单调性得出 f(x)=k(x+2)在[ ,+∞)上有两解,作出函数图 象,利用导数的意义求出 k 的范围. 【详解】

f′(x)=2x﹣lnx+1,f″(x)=2 , ∴当 x 时,f″(x)≥0, ∴f′(x)在[ ,+∞)上单调递增, ∴f′(x)≥f′( )=2﹣ln 0, ∴f(x)在[ ,+∞)上单调递增, ∵[a,b]?[ ,+∞),

第 7 页 共 21 页

∴f(x)在[a,b]上单调递增, ∵f(x)在[a,b]上的值域为[k(a+2),k(b+2)],





∴方程 f(x)=k(x+2)在[ ,+∞)上有两解 a,b. 作出 y=f(x)与直线 y=k(x+2)的函数图象,则两图象有两交点.

若直线 y=k(x+2)过点( , ln2),

则k



若直线 y=k(x+2)与 y=f(x)的图象相切,设切点为(x0,y0),



,解得

k=1.

∴1<k



故选:D.

【点睛】

本题考查了函数的单调性,导数的几何意义,零点个数与函数图象的关系,属于中档

题.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方

程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.

二、填空题

13.已知

的展开式中含 项的系数为 2019,则实数 __________.

【答案】 【解析】利用二项式定理的通项公式即可得出.

第 8 页 共 21 页

【详解】

(1﹣ax)2018 展开式中 Tr+1

(﹣ax)r=(﹣a)r xr,

令 r=0,则 T1=1;令 r=1,则 T2=(﹣a) x=﹣2018ax. ∵(1+x)(1﹣ax)2018 展开式中含 x 项的系数为 2019, ∴1﹣2018a=2019, 解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点睛】 本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.求二项展开 式有关问题的常见类型及解题策略: (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项,再由特定项的特点求出 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第 项, 由特定项得出 值,最后求出其参数.

14.若实数 满足不等式组

,则

的取值范围为__________.

【答案】 【解析】根据不等式组画出可行域,结合图像得到结果. 【详解】 根据题意画出可行域:

可行域是直线 AB 右侧以及直线

的下侧,

第 9 页 共 21 页

的上侧,共同构成的开放区

域,

表示的是区域内的点 和点

两点构成的斜率,根据图像可知当两点构成

的直线和

平行时,斜率取得最小值但是永远取不到这种情况,代入得到斜率为

;当直线过点 时构成的直线的斜率最大,联立

,目标函数值

为.

故答案为:

.

【点睛】

点睛:利用线性规划求最值的步骤:

(1)在平面直角坐标系内作出可行域.

(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(

型)、

斜率型( 型)和距离型(

型).

(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解.

(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

15.如图①,把边长为 2 的正方形

沿对角线 折起,使得平面

平面 ,

形成的三棱锥

的正视图与俯视图如图②所示,则其侧视图的面积为__________.

【答案】1 【解析】由题意确定几何体的形状,二面角 C﹣BD﹣A 为直角二面角,依据数据,求出 侧视图面积. 【详解】
第 10 页 共 21 页

根据这两个视图可以推知折起后二面角 C﹣BD﹣A 为直角二面角, 其侧视图是一个两直角边长为 的等腰直角三角形,

∴侧视图的面积为

1.

故答案为:1.

【点睛】

本题考查三视图求面积,考查计算能力,逻辑思维能力. 思考三视图还原空间几何体首

先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵

为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体

的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考

方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视

图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.

16.如图平面四边形

的对角线的交点位于四边形的内部,







,当

变化时,对角线 的最大值为__________.

【答案】

【解析】设∠ABC=α,∠ACB=β,利用余弦定理求出 AC,再利用正弦定理求出 sinβ, 利用余弦定理求得对角线 BD,根据三角恒等变换求出 BD 的最大值. 【详解】 设∠ABC=α,∠ACB=β,则由余弦定理得,

AC2=1+3﹣2×1

cosα=4﹣2 cosα;

第 11 页 共 21 页

由正弦定理得



则 sinβ



所以 BD2=3+(4﹣2 cosα)﹣2

=7﹣2 cosα+2 sinα =7+2 sin(α﹣45°),

所以 α=135°时,BD 取得最大值为

cos(90°+β) 1.

故答案为:1 . 【点睛】 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余 弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注

意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余 弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正 弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

三、解答题 17.已知数列 与 满足:

列, ,

.

(1)求数列 与 的通项公式;

,且 为正项等比数

(2)若数列 满足

, 为数列 的前 项和,证明:

.

【答案】(1)



;(2)证明见解析.

【解析】(1)由 a1+a2+a3+…+an=2bn①,n≥2 时,a1+a2+a3+…+an﹣1=2bn﹣1②,①﹣②

可得:an=2(bn﹣bn﹣1)(n≥2),{an}公比为 q,求出 an,然后求解 bn;(2)化简 (n∈N),利用裂项消项法求解数列的和即可. 【详解】 (1)由 a1+a2+a3+…+an=2bn① n≥2 时,a1+a2+a3+…+an﹣1=2bn﹣1② ①﹣②可得:an=2(bn﹣bn﹣1)(n≥2), ∴a3=2(b3﹣b2)=8 ∵a1=2,an>0,设{an}公比为 q,
第 12 页 共 21 页

∴a1q2=8,∴q=2 ∴an=2×2n﹣1=2n





∴bn=2n﹣1.

(2)证明:由已知:



∴ 【点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查转化思想以及计算能力.数列求和 的常见方法有:列项求和,错位相减求和,倒序相加求和.

18.如图所示,四棱锥

中,底面

为菱形,且 平面





是 中点, 是 上的点.

(1)求证:平面

平面

(2)若 是 的中点,当

; 时,是否存在点 ,使直线 与平面

的所成角

的正弦值为 ?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2) 或

【解析】(1)根据底面菱形的特点得到

,再由线面垂直得到

,平

面 ,进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系得到线面角的表达式

【详解】

,求解即可.

(1)连接 ,因为底面

为菱形,

是 的中点,

,又



,又

,所以

是正三角形,



平面

,平

平面 ,又

平面 ,所以平

第 13 页 共 21 页



平面 .

(2)

以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,不妨设



,设

,又

,则 ,

, ,则



是平面 的一个法向量,则



取 ,得



设直线 与平面 所成角为 ,由

,得:



化简得:

,解得 或 ,

故存在点 满足题意,此时 为 或 . 【点睛】 这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系,线面角。求线面角,一是可以利用等 体积计算出直线的端点到面的距离,除以线段长度就是线面角的正弦值;还可以建系, 用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量,再求线面角即可。面面角一般是定 义法,做出二面角,或者三垂线法做出二面角,利用几何关系求出二面角,也可以建系 来做。 19.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元),如图所示:

第 14 页 共 21 页

(1)现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人,求至少有 1 位消费者,

其去年的消费者金额在

的范围内的概率;

(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表:

预计去年消费金额在

内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在

内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在

内的消费者都

将会申请办理金卡会员,消费者在申请办理会员时,需一次性缴清相应等级的消费金额,

该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:

方案 1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给

予奖励:

普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元;银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元;

金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.

方案二:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从一个装有 3 个白球、2 个红球

(球只有颜色不同)的箱子中,有放回地摸三次球,每次只能摸一个球,若摸到红球的

总数为 2,则可获得 200 元奖励金;若摸到红球的总数为 3,则可获得 300 元奖励金;

其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏;每位银卡会员均可参

加 2 次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立)

请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少?并说明理由.

【答案】(1) ;(2)方案二.

第 15 页 共 21 页

【解析】(1)由间接法可得到结果;(2)计算方案 1 奖励的总金额 ξ1 和方案 2 奖励的 总金额 ξ2,比较大小即可. 【详解】

(1)去年的消费金额超过 3200 元的消费者 12 人,随机抽取 2 人,消费在



范围内的人数为 X,可能取值为 1,2;

P(X≥1)=1﹣P(X=0)=1



去年的消费者金额在

的范围内的概率为

(2)方案 1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之

星”,

则“幸运之星”中的普通会员,银卡会员,金卡会员的人数分别为 25=7, 25=
15, 25=3, 按照方案 1 奖励的总金额为 ξ1=7×500+15×600+3×800=14900(元); 方案 2:设 η 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金,则 η 的可能取值为 0,200,300;

由摸到红球的概率为 P



∴P(η=0) ? ?

??



P(η=200) ? ?



P(η=300) ?



η 的分布列为:

η

0

200

300

P

数学期望为 Eη=0

200

300

76.8(元),

按照方案 2 奖励的总金额为

ξ2=(28+2×60+3×12)×76.8=14131.2(元), 由 ξ1>ξ2 知,方案 2 投资较少. 【点睛】

第 16 页 共 21 页

本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,是中档题.求解离散型随 机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取 值,以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概 率公式,求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分 布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求 期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题 中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用 这种典型分布的期望公式求得.

20.已知椭圆 :

的左、右焦点分别为 , ,左顶点为 ,离心率

为 ,点 是椭圆上的动点, (1)求椭圆 的方程;

的面积的最大值为 .

(2)设经过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 , ,线段 的中垂线为 .若直线 与

直线 相交于点 ,与直线 【答案】见解析.

相交于点 ,求 的最小值.

【解析】试题分析:(1)由已知,有 ,可得 . 设 点的纵坐标为

.可得

的最大值

。求出 , .即可得到椭圆 的方程;

(2)由题意知直线 的斜率不为 ,故设直线 :

.









.

联立

,得

.由弦长公式可得

试题解析:

,由此得到 的表达式,由基本不等式可得到 的最小值.

(1)由已知,有 ,即

.



,∴ .

设 点的纵坐标为

.





第 17 页 共 21 页

即 ∴,

. .

∴椭圆 的方程为

.

(2)由题意知直线 的斜率不为 ,故设直线 :

.









.

联立

,消去 ,得

.

此时

.





.

由弦长公式,得

.

整理,得

.



,∴

.



.





当且仅当

,即

时等号成立.

∴当

,即直线 的斜率为 时, 取得最小值 .

21.已知

,(其中常数 ).

(1)当 时,求函数 的极值;

(2)若函数

有两个零点

,求证:

.

【答案】(1) 有极小值

,无极大值;(2)证明见解析.

【解析】(1)求出 a=e 的函数的导数,求出单调区间,即可求得极值;(2)先证明:

当 f(x)≥0 恒成立时,有 0<a≤e 成立.若

,则 f(x)=ex﹣a(lnx+1)≥0 显

然成立;若 ,运用参数分离,构造函数通过求导数,运用单调性,结合函数零点存

在定理,即可得证.

【详解】

函数 的定义域为



第 18 页 共 21 页

(1)当 时,



时,

当 时, 所以 有极小值 (2)先证明:当



,则







,所以 在 上单调递减;

,则 在 ,无极大值. 恒成立时,有

上单调递增, 成立

显然成立;

单调递增且

若 ,由



,令

,则





,由

得在

上单调递增,

又∵

,所以 在 上为负,递减,在

上为正,递增,∴



从而

.

因而函数

若有两个零点,则 ,所以







,则





上单调递增,∴

, ,





上单调递增∴

,则



,由 得





,∴

,综上

.

【点睛】

本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,主要考查函数的单调性的运用,以及

不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,属于中档题和易错题.

22.已知曲线

和曲线

( 为参数),以坐标原点 为极点,

以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的单位长度.

(1)求曲线 和曲线 的极坐标方程;

(2)设曲线 与 轴、 轴分别交于 两点,且线段 的中点为 ,若射线 与曲线

交于点 ,求 两点间的距离.

【答案】(1)

;(2)1.

【解析】(1)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,将普通方程化为极坐标方程即可;(2)求出 M,

第 19 页 共 21 页

N,P 的坐标,得到射线的极坐标方程,分别代入 C1、C2 得到,P,Q 的极坐标,求距 离即可. 【详解】

(1)线 C1:x y 和 C2:

(φ 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正

半轴为极轴,建立极坐标系,因为 x=ρcosθ,y=ρsinθ,

所以 C1:

,即

,所以



C2 的普通方程为

,所以其极坐标方程为

,即



(2)由题意 M( ,0),N(0,1),所以 P( ),所以射线 OP 的极坐标方程为:

,把 代入 C1 得到 ρ1=1,P(1, );

把 代入 C2 得到 ρ2=2,Q(2, ), 所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1,即 P,Q 两点间的距离为 1. 【点睛】

本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化,理解自变量的关系是关

键.涉及极径的几何意义的应用.

23.设函数

.

(1)当 时,求不等式

的定义域;

(2)若函数 的定义域为 ,求 的取值范围.

【答案】(1)

;(2) .

【解析】(1)零点分区间去掉绝对值,分情况解不等式即可;(2)由题意得:

【详解】

恒成立,变量分离,利用绝对值三角不等式求最值即可.

(1)当 时, 定义域基本要求为:



时,



时,

,无解

当 时,

综上: 的定义域为 (2)由题意得:
.

. 恒成立
第 20 页 共 21 页

【点睛】 含绝对值不等式的求解有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的 几何意义求解.方法一是运用分类讨论思想,方法二是运用数形结合思想.将绝对值不 等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想 方法的灵活应用,这是命题的新动向.
第 21 页 共 21 页



热文推荐
友情链接: 工作计划 总结汇报 团党工作范文 工作范文 表格模版 生活休闲