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湖南师大附中高三上学期第一次月考 数学(理)Word版含解析


炎德·英才大联考理科数学(附中版) 炎德·英才大联考湖南师大附中 2015 届高三月考试卷(一)
数 学(理科) 审题人:朱修龙 谢美丽 (考试范围:高考全部内容(除选考部分)) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 6 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

1.已知集合 M={ x|x2-2x<0},N={ x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是(A)

A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0]

2.下列四个命题

p1:?x∈(0,+∞),??12??x<??13??x p3:?x∈(0,+∞),??12??x>log1x
2

p2:?x∈(0,1),log1x>log1x

2

3

p4:?x∈??0,13??,??12??x<log1x 3

其中的真命题是(D)

A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4

3.在如右图所示的程序框图中输入 10,结果会输出(D) A.10 B.11 C.512 D.1 024 4.将函数 f(x)=sin x+cos x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则 φ 的最 小值为(C)

A.-π4

π B. 4

3π C. 4

5π D. 4

5.若实数

x,y

满足条件???y≥2|x|-1,则
??y≤x+1

z=x+3y

的最大值为(B)

A.9 B.11 C.12 D.16 6.不全相等的五个数 a、b、c、m、n 具有关系如下:a、b、c 成等比数列,a、m、b 和 b、n、c 都成
等差数列,则ma +nc=(C)

A.-2 B.0 C.2 D.不能确定 7.已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x、y 的正半轴上(含原点)滑动,
则O→B·O→C的最大值是(C)

A.1

2 B. 2

C.2

D. 5

8.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为(D)

3 A. 4

3 B. 2

C. 3

D.2 3

【解析】如图所示,四面体为正四面体.

9.若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有 4 个不同的交点,则实数 m 的取值范围 是(B)

A.??-

33,

3? 3?

B.??-

33,0??∪??0,

3? 3?

C.??-

33,

3? 3?

D.??-∞,- 33??∪?? 33,+∞??

【解析】曲线 C1:(x-1)2+y2=1,图象为圆心为(1,0),半径为 1 的圆;曲线 C2:y=0,或者 y- mx-m=0,直线 y-mx-m=0 恒过定点(-1,0),即曲线 C2 图象为 x 轴与恒过定点(-1,0)的两条直线.作 图分析:
k1=tan 30°= 33,k2=-tan 30°=- 33,
又直线 l1(或直线 l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点,结合图形可知 m=k∈??- 33,0??∪??0, 33??.
10.已知集合 A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33},其中 ai∈{0,1,2}(i=0,1,2,3)且 a3≠0,
则 A 中所有元素之和等于(D) A.3 240 B.3 120 C.2 997 D.2 889

【解析】由题意可知,a0,a1,a2 各有 3 种取法(均可取 0,1,2),a3 有 2 种取法(可取 1,2),由分步 计数原理可得共有 3×3×3×2 种方法,
∴当 a0 取 0,1,2 时,a1,a2 各有 3 种取法,a3 有 2 种取法,共有 3×3×2=18 种方法,即集合 A 中 含有 a0 项的所有数的和为(0+1+2)×18;
同理可得集合 A 中含有 a1 项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18; 集合 A 中含有 a2 项的所有数的和为(32×0+32×1+32×2)×18; 集合 A 中含有 a3 项的所有数的和为(33×1+33×2)×27; 由分类计数原理得集合 A 中所有元素之和: S=(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27 =18(3+9+27)+81×27=702+2 187=2 889.故选 D.
选择题答题卡

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

ADDCBCCDB D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11.在△ABC 中,a=15,b=10,∠A=60°,则 cos B=__ 36__.

12.如右图,椭圆1x62+1y22 =1 的长轴为 A1A2,短轴为 B1B2,将坐标平面沿 y 轴折成一个二面角,使点 A2 在平面 B1A1B2 上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为__π3 __.
13.若 f(x)+??1f(x)dx=x,则 f(x)=__x-14__. 0
【解析】因为??01f(x)dx 是个常数,不妨设为 m,所以 f(x)=x-m,
其原函数 F(x)=12x2-mx+C(C 为常数),所以可得方程 m=12-m,解得 m=14.故 f(x)=x-14.
14.在函数 f(x)=aln x+(x+1)2(x>0)的图象上任取两个不同的点 P(x1,y1)、Q(x2,y2),总能使得 f(x1) -f(x2)≥4(x1-x2),则实数 a 的取值范围为__??12,+∞??__.
【解析】由题意 f′(x)≥4 对任意 x>0 恒成立,也就是 a≥(2x(1-x))max=12.
15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或 用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,图中的实心点的个数 1、5、12、22、…, 被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1=1,第 2 个五角形数记作 a2=5,第 3 个五角形数记作 a3 =12,第 4 个五角形数记作 a4=22,……,若按此规律继续下去,则 a5=__35__,若 an=145,则 n=__10__.
【解析】根据图形变化的规律可归纳得 an=3n22-n.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)
设 f(x)=sin??π4 x-π6 ??-2cos2π8 x+1.
(1)求 f(x)的最小正周期;

(2)若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈??0,43??时 y=g(x)的最大值.

π π ππ π 【解析】(1)f(x)=sin 4 xcos 6 -cos 4 xsin 6 -cos 4 x=

23sinπ4 x-32cosπ4 x=

3sin??π4 x-π3 ??,故

f(x)

的最小正周期为 T=2ππ=8.(6 分)

4

(2)法一: 在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点为(2-x,g(x)).

由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上,从而 g(x)=f(2-x)= 3sin??π4 (2-x)-π3 ??

= 3sin??π2 -π4 x-π3 ??= 3cos??π4 x+π3 ??,

当 0≤x≤43时,π3 ≤π4 x+π3 ≤23π ,因此 y=g(x)在区间??0,43?? 上的最大值为 ymax=

3cosπ3 =

3 2 .(12

分) 法二:

因区间??0,43??关于 x=1 的对称区间为??23,2??, 且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故 y

=g(x)在区间??0,43??上的最大值为 y=f(x)在区间??23,2??上的最大值.

由(1)知 f(x)=

3sin??π4 x-π3 ??.当23≤x≤2

ππ ππ 时,- 6 ≤ 4 x- 3 ≤ 6 .

因此 y=g(x)在区间??0,43??上的最大值为 ymax=

π 3sin 6 =

3 2 .(12

分)

17.(本题满分 12 分) 某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选

手可以参加 A、B、C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超 过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目 A、B、C 测试

的概率为分别为15、13、12, 且通过各次测试的事件相互独立.
(1)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序, 对他通过海选的概率是否有影响?说明理由;
(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1,第二项能通过的概率为 p2,第三项 能通过的概率为 p3,设他通过海选时参加测试的次数为 ξ,求 ξ 的分布列和期望(用 p1、p2、p3 表示);并说 明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.

【解析】(1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为??1-15????1-13???? 1-12??=145,

故甲选手能通过海选的概率为 1-??1-15????1-13???? 1-12??=1115.(3 分)
若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响,

因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为??1-15????1-13???? 1-12??=145,

即无论按什么顺序,其能通过海选的概率均为1115.(5 分)

(2)依题意,ξ 的所有可能取值为 1、2、3. P(ξ=1)=p1,P(ξ=2)=(1-p1)p2,P(ξ=3)=(1-p1)(1-p2)p3. 故 ξ 的分布列为

ξ1

2

3

P p1

(1-p1)p2

(1-p1)(1-p2)p3

(8 分)

Eξ=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)p3(10 分) 分别计算当甲选手按 C→B→A,C→A→B,B→A→C,B→C→A,A→B→C,A→C→B 的顺序参加

测试时,Eξ 的值,得甲选手按 C→B→A 的顺序参加测试时,Eξ 最小,因为参加测试的次数少的选手优先

进入正赛,故该选手选择将自己的优势项目放在前面,即按 C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正

赛.(12 分)

18.(本题满分 12 分)

如图,△ABC 的外接圆⊙O 的半径为 5,CE 垂直于⊙O 所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且

BD=1,cos∠ADB=

101 101 .

(1)求证:平面 AEC⊥平面 BCED;

(2)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为2 2121?若存在,确定 点 M 的位置;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)证明:∵BD⊥平面 ABC

∴BD⊥AB,又因为

BD=1,cos∠ADB=

101 101 .

故 AD= 101,AB=10=直径长,(3 分) ∴AC⊥BC.又因为 EC⊥平面 ABC,所以 EC⊥BC.

∵AC∩EC=C,∴BC⊥平面 ACE,又 BC?平面 BCED,

∴平面 AEC⊥平面 BCED.(6 分)

(2)法一:存在,如图,以 C 为原点,直线 CA 为 x 轴,直线 CB 为 y 轴,直线 CE 为 z 轴建立空间直 角坐标系,则有点的坐标,A(8,0,0),B(0,6,0),D(0,6,1),E(0,0,4).
则A→D=(-8,6,1),D→E=(0,-6,3),

设D→M=λD→E=λ(0,-6,3)=(0,-6λ,3λ),0<λ<1

故A→M=A→D+D→M=(-8, 6-6λ,1+3λ)

由(1)易得平面 ACE 的法向量为C→B=(0,6,0),

设直线 AM 与平面 ACE 所成角为 θ,

→→

则 sin

θ=

|AM·CB| →→



|AM|·|CB|

36-36λ

=2

64+36(1-λ)2+(1+3λ)2·6

2121,解得

λ=13.(10

分)

所以存在点

M,且D→M=13D→E时,直线

AM

与平面

ACE

所成角的正弦值为2

21 21 .

(12

分)

法二:(几何法)

如图,作 MN⊥CE 交 CE 于 N,连接 AN,则 MN⊥平面 AEC,故直线 AM 与平面 ACE 所成的角为

∠MAN,且 MN⊥AN,NC⊥AC.

设 MN=2x,由直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为22121,得 AM= 21x,所以 AN= 17x.

另一方面,作 DK∥MN∥BC,得 EN=x,NC=4-x 而 AC=8,故 Rt△ANC 中,由 AN2=AC2+NC2 得 17x2=64+(4-x)2,∴x=2,∴MN=4,EM=2 5

所以存在点 M,且 EM=2 5时,直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为2 2121. (12 分)

19.(本题满分 13 分) 等比数列{an}中的前三项 a1、a2、a3 分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数,且三个数不在 同一列.

?5 4 3?

? ?

6

10

8

? ?

? 20 12 16 ?

(1)求此数列{an}的通项公式;

n
(2)若数列{bn}满足 bn=3an-(-1) lg an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

【解析】(1)经检验,当 a1=5 或 4 时,不可能得到符合题中要求的等比数列; 故有 a1=3,a2=6,a3=12,等比数列公比 q=2, 所以 an=3·2n-1.(5 分)

n
(2)由 an=3·2n-1 得 bn=3an-(-1) lg an=9×2n-1-(-1)n[lg 3+(n-1)lg 2].

[ ] 所以 Sn=9(1+2+…+2n-1)-

2

n

(-1)+(-1) +…+(-1)

(lg 3-lg 2)

-[-1+2-3+…+(-1)nn]lg 2(9 分)
n 为偶数时,Sn=9×11--22n-n2lg 2=9(2n-1)-n2lg 2.

n 为奇数时,Sn=9×11--22n+(lg 3-lg 2)-??n-2 1-n??lg 2=9(2n-1)+n-2 1lg 2+lg 3.

?9(2n-1)-2nlg 2,n为偶数,

?? 所以, Sn=

9(2n-1)+n-2 1lg

2+lg

(13 3,n为奇数.

分)

20.(本题满分 13 分) 已知圆 C:(x-1)2+(y-1)2=2 经过椭圆 Γ∶xa22+yb22=1(a>b>0)的右焦点 F 和上顶点 B.
(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)如图,过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中点,

求O→M·O→Q的最大值.

【解析】(1)在 C:(x-1)2+(y-1)2=2 中, 令 y=0 得 F(2,0),即 c=2,令 x=0,得 B(0,2),b=2,

由 a2=b2+c2=8,∴椭圆 Γ:x82+y42=1.(4 分)

(2)法一:

依题意射线 l 的斜率存在,设 l:y=kx(x>0,k>0),设 P(x1,kx1),Q(x2,kx2)

??y=kx 由???x82+y42=1得:(1+2k2)x2=8,∴x2=

22 1+2k2.(6

分)

由?????y(=xk-x1)2+(y-1)2=2得:(1+k2)x2-(2+2k)x=0,∴x1=21++2kk2 ,

∴O→M·O→Q=??x21,k2x1??·(x2,kx2)=12(x1x2+k2x1x2)=2

2

1+k 1+2k2(k>0).

(9

分)

=2 2

(11++2kk)2 2=2 2

k2+2k+1 1+2k2 .

设 φ(k)=k21++22kk+2 1,φ′(k)=-(41k+2-2k22k)+22,

令 φ′(k)=-(41k+2-22k2k)+22>0,得-1<k<12.

又 k>0,∴φ(k)在??0,12??上单调递增,在??12,+∞??上单调递减.

∴当 k=12时,φ(k)max=φ??12??=32,即O→M·O→Q的最大值为 2 3.(13 分)
法二: 依题意射线 l 的斜率存在,设 l:y=kx(x>0,k>0),设 P(x1,kx1),Q(x2,kx2)

??y=kx 由???x82+y42=1得:(1+2k2)x2=8,∴x2=

22 1+2k2.(6

分)

O→M·O→Q=(O→C+C→M)·O→Q=O→C·O→Q

=(1,1)·(x2,kx2)=(1+k)x2=2

2

1+k 1+2k2(k>0)(9

分)

=2 2

(1+k)2 1+2k2 .

设 t=1+k(t>1),则(11++2kk)2 2=2t2-t42 t+3=2-4??1t ??1+3??1t ??2=3????1t??-123??2+32≤32.

当且仅当1t =23时,(O→M·O→Q)max=2 3.(13 分)

21.(本题满分 13 分) 已知函数 f(x)=ex-ax2-2x-1(x∈R). (1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间;

(2)求证:对任意实数

a<0,有

a2-a+1 f(x)> a .

【解析】(1)当 a=0 时,f(x)=ex-2x-1(x∈R), ∵f′(x)=ex-2,且 f′(x)的零点为 x=ln 2, ∴当 x∈(-∞,ln 2)时,f′(x)<0;当 x∈(ln 2,+∞)时,f′(x)>0 即(-∞,ln 2)是 f(x)的单调减区间,(ln 2,+∞)是 f(x)的单调增区间.(5 分) (2)由 f(x)=ex-ax2-2x-1(x∈R)得:f′(x)=ex-2ax-2, 记 g(x)=ex-2ax-2(x∈R). ∵a<0,∴g′(x)=ex-2a>0,即 f′(x)=g(x)是 R 上的单调增函数, 又 f′(0)=-1<0,f′(1)=e-2a-2>0, 故 R 上存在惟一的 x0∈(0,1),使得 f′(x0)=0,(8 分) 且当 x<x0 时,f′(x)<0;当 x>x0 时,f′(x)>0. 即 f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 则 f(x)min=f(x0)=ex0-ax02-2x0-1,再由 f′(x0)=0 得 ex0=2ax0+2,将其代入前式可得 f(x)min= -ax20+2(a-1)x0+1(10 分)
又令 φ(x0)=-ax20+2(a-1)x0+1=-a??x0-a-a 1??2+(a-a 1)2+1

由于-a>0,对称轴 x=a-a 1>1,而 x0∈(0,1),∴φ(x0)>φ(1)=a-1

又(a-1)-a2-aa+1=-1a>0,∴φ(x0)>a2-aa+1

故对任意实数

a<0,都有

a2-a+1 f(x)> a .(13

分)

比知识你 海纳百 川,比 能力你 无人能 及,比 心理你 处变不 惊,比 信心你 自信满 满,比 体力你 精力充 沛,综 上所述 ,高考 这场比 赛你想 不赢都 难,祝 高考好 运,考 试顺利 。



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