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2015高中数学第1部分21第2课时数列的通项公式与递推公式课件新人教A版必修5_图文


2.1

理解教 材新知

知识点

第二

第 二

课时 数列

突破常 考题型

题型一 题型二 题型三



的通

项公 式与

跨越高分障碍

递推 公式

应用落

随堂即时演练

实体验

课时达标检测

第二课时 数列的通项公式与递推公式

数列的递推关系
[提出问题] 某剧场有 30 排座位,第一排有 20 个座位,从 第二排起,后一排都比前一排多 2 个座位(如图). 问题 1:写出前五排座位数. 提示:20,22,24,26,28.

问题 2:第 n 排与第 n+1 排座位数有何关系? 提示:第 n+1 排比第 n 排多 2 个座位. 问题 3:第 n 排座位数 an 与第 n+1 排座位数 an+1 能 用等式表示吗? 提示:能.an+1=an+2.

[导入新知]
如果已知数列{an}的 第一项 (或前几项),且任一项 an 与它的 前一项an-1 (或前几项)间的关系可以用一个公 式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[化解疑难] 1.数列的递推公式是给出数列的另一重要形式,由递推 公式可以依次求出数列的各项. 2.有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化,如数 列 1,3,5,…,2n-1,…的一个通项公式为 an=2n-1(n∈N*).用 递推公式表示为 a1=1,an=an-1+2(n≥2,n∈N*).

数列的表示方法
[例 1] 根据数列{an}的通项公式,把下 列数列用图象表示出来(n≤5,且 n∈N*).
(1)an=(-1)n+2; (2)an=n+n 1.

[解] (1)数列{an}的前 5 项依次是 1,3,1,3,1,图象如下图 ①所示.
(2)数列{an}的前 5 项依次是 2,32,43,54,65,图象如下 图②所示.

[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列,简洁明了,便于计算.公 式法是常用的数学方法.
(2)列表法的优点是不经过计算,就可以直接看出项 数与项的对应关系.
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化,相应 项变化的趋势.

[活学活用] 1.一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A,B) 共有 8 站,从 A 地出发时,装上发往后面 7 站的邮件各一个,到 达各站后卸下前面各站发往该站的邮件,同时装上该站发往后面 各站的邮件各一个.试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余 邮件个数所成的数列.

解:将 A,B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号.通过计 算,各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0,如下表:
站号(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数(an) 7 12 15 16 15 12 7 0

由递推公式求数列中的项
[例 2] 已知数列{an}的第一项 a1=1,以后的各项由公式
an+1=a2n+an2给出,试写出这个数列的前 5 项.
[解] ∵a1=1,an+1=a2n+an2,∴a2=a12+a12=23, a3=a22+a22=223× +232=12,a4=a32+a32=212× +122=25, a5=a24+a42=225× +252=13.故该数列的前 5 项为 1,23,12,25,13.

[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部 分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需 注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式.

[活学活用] 2.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由 an=an-1 +an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前 5 项; (2)通过公式 bn=aan+n1构造一个新的数列{bn},写出数列{bn} 的前 4 项. 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且 a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8.

故数列{an}的前 5 项依次为 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. (2)∵bn=aan+n1,且 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, ∴b1=aa12=12,b2=aa23=23,b3=aa43=35, b4=aa45=58. 故 b1=12,b2=23,b3=35,b4=58.

由递推公式归纳数列的通项公式 [例 3] 已知数列{an}的第 1 项是 2,以后的各项由公式 an=1-ana-n1-1(n=2,3,4,…)给出,写出这个数列的前 5 项,并 归纳出数列{an}的通项公式. [解] 可依次代入项数进行求值. a1=2,a2=1-2 2=-2,a3=1--?-2 2?=-23, a4=1--???-23 23???=-25,

a5=1--???-25 25???=-27. 即数列{an}的前 5 项为 2,-2,-23,-25,-27. 也可写为- -12,-12,-32,-52,-27. 即分子都是-2,分母依次加 2,且都是奇数, 所以 an=-2n2-3(n∈N*).

[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其 特点、规律,归纳总结出数列的一个通项公式.

[活学活用] 3.已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+n?n1-1?(n≥2), 写出该数列前 5 项,并归纳出它的一个通项公式. 解:a1=1, a2=a1+2×1 1=1+12=32, a3=a2+3×1 2=32+16=53, a4=a3+4×1 3=53+112=74,

a5=a4+5×1 4=74+210=95. 故数列的前 5 项分别为 1,32,53,74,95. 由于 1=2×11-1,32=2×22-1,53=2×33-1,74=2×44-1, 95=2×55-1, 故数列{an}的一个通项公式为 an=2nn-1=2-n1.

2.巧析递推数列求通项公式两种常用方法
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定 数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如 通项公式直接,下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法.
【角度一】 累加法 对于数列{an}若满足 an+1-an=f(n)时,需用累加法,即 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 来求 an.

[例 1] 已知 a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的一个通 项公式.
[解] ∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2, a4-a3=2,…,an-an-1=2(n≥2),将这些式子的两边分别 相加,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n- 1),即 an-a1=2(n-1),又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2),当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个通项公式为 an=2n-1.

【角度二】 累乘法 对于数列{an}若满足aan-n 1=f(n)时,需用累乘法,即 an=aan-n 1·aann--12·…·aa32·aa21·a1 来求 an.
[例 2] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N*), 求数列{an}的通项公式.

[解] 由 an+1=3an 得aan+n 1=3. 因此可得aa12=3,aa23=3,aa43=3,…,aan-n 1=3. 将上面的 n-1 个式子相乘可得 aa12·aa32·aa43·…·aan-n 1=3n-1. 即aan1=3n-1, 所以 an=a1·3n-1, 又 a1=2,故 an=2·3n-1.

[随堂即时演练]

1.符合递推关系式 an= 2an-1 的数列是( )

A.1,2,3,4,…

B.1, 2,2,2 2,…

C. 2,2, 2,2,…

D.0, 2,2,2 2,…

解析:B 中从第二项起,后一项是前一项的 2倍,符合递 推公式 an= 2an-1.

答案:B

3.已知 a1=1,an=1+an1-1(n≥2),则 a5=________. 解析:由 a1=1,an=1+an1-1得 a2=2,a3=32,a4=53, a5=85. 答案:85

4.已知数列{an}满足 a1>0,aan+n 1=13(n∈N*),则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”).
解析:由已知 a1>0,an+1=13an(n∈N*), 得 an>0(n∈N*). 又 an+1-an=13an-an=-23an<0, 所以{an}是递减数列.
答案:递减

5.已知数列{an}的通项公式为 an=n2+n 1,写出它的前 5 项, 并判断该数列的单调性. 解:对于公式 an=n2+n 1,依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列的前 5 项为 a1=12,a2=25,a3=130,a4=147,a5=256. 而 an+1-an=?n+n+1?21+1-n2+n 1=[?n+11-?2+n21-]?nn2+1?. 因为 n∈N*,所以 1-n2-n<0,所以 an+1-an<0,即 an+1< an.故该数列为递减数列.



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