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2019精选教育第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件.ppt_图文


数学 R A(理)
§1.2 命题及其关系、充分 条件与必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

1.命题的概念 在数学中把用语言、符号或式 子表达的,可以判断真假 的 陈述句叫做命题.其中 判断 为真 的语句叫真命题,判断 为假 的语句叫假命题.

1 . 等价命题和等价转化
(1) 逆 命 题 与 否 命 题 互 为 逆 否 命题; (2) 互 为 逆 否 命 题 的 两 个 命 题 同真假; (3) 当 判 断 原 命 题 的 真 假 比 较
困难时,可以转化为判断它的

逆否命题的真假.

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

2.四种命题及相互关系

若p,则q

若q,则p

1 . 等价命题和等价转化
(1) 逆 命 题 与 否 命 题 互 为逆否命题; (2) 互 为 逆 否 命 题 的 两 个命题同真假; (3) 当 判 断 原 命 题 的 真
假比较困难时,可以转

若綈 p,
则綈 q

若綈 q, 化为判断它的逆否命题

则綈 p

的真假.

基础知识

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基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它 们有 相同 的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为 否命题,它们的真假性 没有 关系.

2.集合与充要条件
设集合 A={x|x 满足条件 p},B= {x|x 满足条件 q},则有 (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件, 若 A B,则 p 是 q 的充分不必要 条件; (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件, 若 B A,则 p 是 q 的必要不充分 条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A B,且 B A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

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要点梳理

难点正本 疑点清源

4.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分 条件 ,q 是 p 的 必要条件 ; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的 充要条件 .

2.集合与充要条件
设集合 A={x|x 满足条件 p},B= {x|x 满足条件 q},则有 (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件, 若 A B,则 p 是 q 的充分不必要 条件; (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件, 若 B A,则 p 是 q 的必要不充分 条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A B,且 B A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

基础知识

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基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
②③ 充分不必要
必要不充分 C A

基础知识

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思想方法

解析
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题型分类·深度剖析

题型一

四种命题的关系及真假

【例 1】 已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 思维启迪 解析 答案 探究提高

在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则

下列结论正确的是

()

A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,

+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题

B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题

C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题

D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex

-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真

命题

基础知识

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题型一

四种命题的关系及真假

【例 1】 已知命题“若函数 f(x)=ex-mx

在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则

下列结论正确的是

()

A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,

+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题

B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题

C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题

D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex

-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真

命题

思维启迪 解析 答案 探究提高
根据四种命题的定义判断一 个原命题的逆命题、否命题、 逆否命题的表达格式.当命 题较简单时,可直接判断其 真假,若命题本身复杂或不 易直接判断时,可利用其等 价命题——逆否命题进行真 假判断.

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题型一

四种命题的关系及真假

【例 1】 已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 思维启迪 解析 答案 探究提高

在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则 命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,

下列结论正确的是

( ) +∞)上是增函数,则 m≤1”是

A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0, 真 命 题 , 所以 其 逆 否命 题 “ 若
+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题
B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex- m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,

mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 +∞)上不是增函数”是真命题.

C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题

D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex

-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真

命题

基础知识

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题型一

四种命题的关系及真假

【例 1】 已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 思维启迪 解析 答案 探究提高

在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则 命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,

下列结论正确的是

( D ) +∞)上是增函数,则 m≤1”是

A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0, 真 命 题 , 所以 其 逆 否命 题 “ 若
+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题
B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex- m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,

mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 +∞)上不是增函数”是真命题.

C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题

D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex

-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真

命题

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析

题型一

四种命题的关系及真假

【例 1】 已知命题“若函数 f(x)=ex-mx

在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则

下列结论正确的是

(D )

A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,

+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题

B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题

C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-

mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题

D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex

-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真

命题

思维启迪 解析 答案 探究提高
(1) 熟 悉 四 种 命 题 的 概 念 是 正 确书写或判断四种命题真假 的关键;(2)根据“原命题与逆 否命题同真同假,逆命题与否 命题同真同假”这一性质,当 一个命题直接判断不易进行 时,可转化为判断其等价命题 的真假;(3)认真仔细读题,必 要时举特例.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 1 命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆

否命题是

(C )

A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数

B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数

D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

解析 由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶 数”,“x+y 是偶数”的否定表达是“x+y 不是偶数”,故原 命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数”, 故选 C.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

充要条件的判断

【例 2】 已知下列各组命题,其 中 p 是 q 的充分必要条件的是

() A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y
=x2+mx+m+3 有两个不 同的零点 B.p:f?f-?x?x?=1;q:y=f(x)
是偶函数

C.p:cos α=cos β;q:tan α

=tan β

D.p:A∩B=A;q:A?U,

B?U,?UB??UA

基础知识

题型分类

思维启迪 解析
思想方法

答案 探究提高
练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

充要条件的判断

【例 2】 已知下列各组命题,其 中 p 是 q 的充分必要条件的是

思维启迪 解析 答案 探究提高

() A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y
=x2+mx+m+3 有两个不 同的零点 B.p:f?f-?x?x?=1;q:y=f(x)
是偶函数

首先要分清条件和结论,然后可 以从逻辑推理、等价命题或集合 的角度思考问题,做出判断.

C.p:cos α=cos β;q:tan α

=tan β

D.p:A∩B=A;q:A?U,

B?U,?UB??UA

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

充要条件的判断

【例 2】 已知下列各组命题,其 思维启迪 解析 答案 探究提高

中 p 是 q 的充分必要条件的是 对于 A,由 y=x2+mx+m+3 有两

()

A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y

=x2+mx+m+3 有两个不

同的零点 B.p:f?f-?x?x?=1;q:y=f(x)

是偶函数

C.p:cos α=cos β;q:tan α

=tan β

D.p:A∩B=A;q:A?U,

B?U,?UB??UA

基础知识

题型分类

个不同的零点,可得 Δ=m2-4(m +3)>0,从而可得 m<-2 或 m>6. 所以 p 是 q 的必要不充分条件; 对于 B,由f?f-?x?x?=1?f(-x)=f(x) ?y=f(x)是偶函数,但由 y=f(x)是 偶函数不能推出f?f-?x?x?=1,例如函 数 f(x)=0,所以 p 是 q 的充分不必 要条件;

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

充要条件的判断

【例 2】 已知下列各组命题,其 思维启迪 解析 答案 探究提高

中 p 是 q 的充分必要条件的是 对于 C,当 cos α=cos β=0 时,不

()

A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y

=x2+mx+m+3 有两个不

同的零点 B.p:f?f-?x?x?=1;q:y=f(x)

是偶函数

C.p:cos α=cos β;q:tan α

=tan β

D.p:A∩B=A;q:A?U,

B?U,?UB??UA

基础知识

题型分类

存在 tan α=tan β,反之也不成立, 所以 p 是 q 的既不充分也不必要

条件; 对于 D,由 A∩B=A,知 A?B,所

以?UB??UA; 反之,由?UB??UA,知 A?B,即 A∩B=A. 所以 p?q.

综上所述,p 是 q 的充分必要条件

的是 D.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

充要条件的判断

【例 2】 已知下列各组命题,其 思维启迪 解析 答案 探究提高

中 p 是 q 的充分必要条件的是 对于 C,当 cos α=cos β=0 时,不

(D )
A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y =x2+mx+m+3 有两个不
同的零点 B.p:f?f-?x?x?=1;q:y=f(x)

存在 tan α=tan β,反之也不成立, 所以 p 是 q 的既不充分也不必要 条件; 对于 D,由 A∩B=A,知 A?B, 所以?UB??UA;

是偶函数

C.p:cos α=cos β;q:tan α

=tan β

D.p:A∩B=A;q:A?U,

B?U,?UB??UA

基础知识

题型分类

反之,由?UB??UA,知 A?B,即 A∩B=A. 所以 p?q.

综上所述,p 是 q 的充分必要条件 的是 D.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

充要条件的判断

【例 2】 已知下列各组命题,其 思维启迪 解析 答案 探究提高

中 p 是 q 的充分必要条件的是
(D )
A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y =x2+mx+m+3 有两个不 同的零点
B.p:f?f-?x?x?=1;q:y=f(x)

判断 p 是 q 的什么条件,需要从两 方面分析:一是由条件 p 能否推得 条件 q;二是由条件 q 能否推得条 件 p.对于带有否定性的命题或比 较难判断的命题,除借助集合思想 把抽象、复杂问题形象化、直观化

是偶函数

外,还可利用原命题和逆否命题、

C.p:cos α=cos β;q:tan α 逆命题和否命题的等价性,转化为

=tan β

判断它的等价命题.

D.p:A∩B=A;q:A?U,

B?U,?UB??UA

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题型分类·深度剖析

变式训练 2 给出下列命题: ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的 充分不必要条件; ②“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数” 的充要条件; ③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5 =0 互相垂直”的充要条件; ④设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件. 其中真.命题的序号是________.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析

解析 对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan+1}是等比数 列,但当数列{anan+1}为等比数列时,数列{an}未必是等比数列,如数 列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列,而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是 等比数列,因此①正确;
对于②,当 a≤2 时,函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上是增函数, 因此②不正确; 对于③,当 m=3 时,相应的两条直线互相垂直,反之,这两条直线 垂直时,不一定有 m=3,也可能 m=0.因此③不正确;
对于④,由题意得ba=ssiinn BA= 3,若 B=60°,则 sin A=12,注意到 b>a,
故 A=30°,反之,当 A=30°时,有 sin B= 23,由于 b>a,所以 B= 60°或 B=120°,因此④正确.综上所述,真命题的序号是①④. 答案 ①④

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析

题型三

利用充要条件求参数

【例 3】 已知集合 M={x|x<-3 思维启迪 解析 探究提高 或 x>5} , P = {x|(x - a)·(x - 8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它 成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要 条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成 为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充 分但不必要条件.

基础知识

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题型分类·深度剖析

题型三

利用充要条件求参数

【例 3】 已知集合 M={x|x<-3 或 x>5} , P = {x|(x - a)·(x - 8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它 成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要 条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成 为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充 分但不必要条件.

思维启迪 解析 探究提高
解决此类问题一般是先把充分条 件、必要条件或充要条件转化为集 合之间的关系,再根据集合之间的 关系列出关于参数的不等式求解.

基础知识

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题型分类·深度剖析

题型三

利用充要条件求参数

【例 3】 已知集合 M={x|x<-3 思维启迪 解析 探究提高

或 x>5} , P = {x|(x - a)·(x - 8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它

解 (1)由 M∩P={x|5<x≤8}, 得-3≤a≤5, 因此 M∩P={x|5<x≤8}的充要条 件是{a|-3≤a≤5}.

成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要 (2)求实数 a 的一个值,使它成为

条件;

M∩P = {x|5<x≤8} 的 一 个 充 分 但 不

(2)求实数 a 的一个值,使它成 必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}

为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充

中取一个值,如取 a=0,此时必有 M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P=

分但不必要条件.

{x|5<x≤8}未必有 a=0,故“a=0”

是 “M∩P = {x|5<x≤8}” 的 一 个 充

分但不必要条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

利用充要条件求参数

【例 3】 已知集合 M={x|x<-3 或 x>5} , P = {x|(x - a)·(x - 8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它 成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要 条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成 为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充 分但不必要条件.

思维启迪 解析 探究提高
利用充要条件求参数的值或范围, 关键是合理转化条件,准确地将每 个条件对应的参数的范围求出来, 然后转化为集合的运算,一定要注 意区间端点值的检验.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知 p:x2-4x-5≤0,q:|x-3|<a (a>0).若 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围. 解 设 A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5},B={x|-a+ 3<x<a+3},因为 p 是 q 的充分不必要条件, 从而有 A B.故?????- a+a+ 3>35<,-1, 解得 a>4.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法 1.等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例:(12 分)已知 p:????1-x-3 1????≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p

是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

审题视角

规范解答

温馨提醒

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 1.等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例:(12 分)已知 p:????1-x-3 1????≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p

是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

审题视角

规范解答

温馨提醒

(1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简. (2)再利用命题间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组,得出结论.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 1.等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例:(12 分)已知 p:????1-x-3 1????≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p

是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

审题视角

规范解答

温馨提醒

解 方法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0,

得 1-m≤x≤1+m,

2分

∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0},

3分

由 p:????1-x-3 1????≤2,解得-2≤x≤10,

5分

∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}.

6分

∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 1.等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例:(12 分)已知 p:????1-x-3 1????≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p

是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

审题视角

规范解答

温馨提醒

??m>0,

??m>0,

∴A B,∴?1-m<-2, 或?1-m≤-2,

??1+m≥10, ??1+m>10,

即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.

12分

方法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,

∴p 是 q 的充分而不必要条件,

2分

由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m,

∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},

4分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 1.等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例:(12 分)已知 p:????1-x-3 1????≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p

是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

审题视角

规范解答

温馨提醒

由 p:????1-x-3 1????≤2,解得-2≤x≤10,

∴p:P={x|-2≤x≤10}.

6分

∵p 是 q 的充分而不必要条件,

?? m>0, ∴P Q,∴?1-m<-2,
??1+m≥10,

?? m>0, 或?1-m≤-2,
??1+m>10,

即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.

基础知识

题型分类

思想方法

12分
练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 1.等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例:(12 分)已知 p:????1-x-3 1????≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p

是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

审题视角

规范解答

温馨提醒

本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、 生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参 数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系 来考虑,这是破解此类问题的关键.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保

留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组

成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或几个)

作为大前提.
方 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定



理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的.



3.命题的充要关系的判断方法



(1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:利用 A?B 与綈 B?綈 A,B?A 与綈 A?綈 B,



A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系,对于条件或结论是否定

式的命题,一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断:若 A?B,则 A 是 B 的充

分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要

条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题





的结构,可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式.



防 范

2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正

确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组 专项基础训练

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1.(2012·湖南)命题“若 α=π4,则 tan α=1”的逆否命题是 ( )

A.若 α≠π4,则 tan α≠1

B.若 α=π4,则 tan α ≠1

C.若 tan α≠1,则 α≠π4

D.若 tan α≠1,则 α=π4

解析

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1.(2012·湖南)命题“若 α=π4,则 tan α=1”的逆否命题是 ( C )

A.若 α≠π4,则 tan α≠1

B.若 α=π4,则 tan α ≠1

C.若 tan α≠1,则 α≠π4

D.若 tan α≠1,则 α=π4

解析

由原命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否

命题: 若 tan α≠1,则 α≠4π.

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2.(2012·福建)已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条

件是 A.x=-12
解析

B.x=-1 C.x=5

() D.x=0

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2.(2012·福建)已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条

件是 A.x=-12
解析

B.x=-1 C.x=5

( D) D.x=0

∵a=(x-1,2),b=(2,1),

∴a·b=2(x-1)+2×1=2x.

又 a⊥b?a·b=0,∴2x=0,∴x=0.

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3.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”

是“a∈M”的

()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

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3.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”

是“a∈M”的

(B )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

因为 M N,所以 a∈M?a∈N,反之,则不成立,故

“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件.故选 B.

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4.下列命题中为真命题的是

()

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题

B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题

C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”

的否命题

D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否

命题

解析

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4.下列命题中为真命题的是

( ) 解析

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”
的否命题

对于 A,其逆命题:若 x>|y|, 则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|=?????y-?yy≥?y0<?0? ,必有 x>y;

D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否 对于 B,否命题:若 x≤1,

命题

则 x2≤1,是假命题.如 x=

-5,x2=25>1;

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4.下列命题中为真命题的是

(A ) 解析

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 对于 C,其否命题:若 x≠1,

B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 则 x2+x-2≠0,因为 x=

C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0” -2 时,x2+x-2=0,所以

的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否
命题

是假命题; 对于 D,若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原 命题的逆否命题是假命题,

故选 A.

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5.下列命题:

①若 ac2>bc2,则 a>b;②若 sin α=sin β,则 α=β;③“实数

a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条

件;④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________.

解析

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5.下列命题:

①若 ac2>bc2,则 a>b;②若 sin α=sin β,则 α=β;③“实数

a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条

件;④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数.
其中正确命题的序号是_①__③__④___.

解析

对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b 正确;

对于②,sin 30°=sin 150°D 30°=150°,所以②错误; 对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a?a=0 且 A1C2≠A2C1,所以③对;对于④显然对.

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6.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题, 则实数 m 的取值范围为__________.

解析

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6.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,
则实数 m 的取值范围为___[_3_,_8_)___.

解析
因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,

解得 m≥3;又因为 p(2)是真命题,所以 4+4-m>0, 解得 m<8.故实数 m 的取值范围是 3≤m<8.

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7.(2011·陕西)设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整.数.根的

充要条件是 n=________.

解析

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7.(2011·陕西)设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整.数.根的

充要条件是 n=__3_或__4___.

解析
∵x2-4x+n=0 有整数根, ∴x=4± 126-4n=2± 4-n, ∴4-n 为某个整数的平方且 4-n≥0,∴n=3 或 n=4. 当 n=3 时,x2-4x+3=0,得 x=1 或 x=3;
当 n=4 时,x2-4x+4=0,得 x=2. ∴n=3 或 n=4.

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8.(10 分)判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题 的真假.

解析

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8.(10 分)判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题 的真假.

解析
解 原命题:若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根.
逆否命题:若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0. 判断如下: ∵x2+x-a=0 无实根,∴Δ=1+4a<0,∴a<-14<0, ∴“若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0”为真命题.

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9.(12 分)已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围.

解析

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A组 专项基础训练

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9.(12 分)已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围.

解析

解 由题意得 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5.

q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1.

又∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,

∴?????mm-+11≥≤15,, 且等号不能同时取到,∴2≤m≤4.

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1.(2012·上海)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的

曲线是椭圆”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

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B组 专项能力提升

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1.(2012·上海)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的

曲线是椭圆”的

(B )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

∵mn>0,∴???m>0, ??n>0

或?????mn<<00,,

当 m>0,n>0 且 m≠n 时,方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆,

当 m<0,n<0 时,方程 mx2+ny2=1 不表示任何图形,

所以条件不充分;反之,当方程 mx2+ny2=1 表示的曲线是椭

圆时有 mn>0, 所以“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的必要不

充分条件.

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B组 专项能力提升

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2.已知 p:x-1 2≥1,q:|x-a|<1,若 p 是 q 的充分不必要条件,则

实数 a 的取值范围为

()

A.(-∞,3] B.[2,3]

C.(2,3]

D.(2,3)

解析

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B组 专项能力提升

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2.已知 p:x-1 2≥1,q:|x-a|<1,若 p 是 q 的充分不必要条件,则

实数 a 的取值范围为

(C )

A.(-∞,3] B.[2,3]

C.(2,3]

D.(2,3)

解析

由x-1 2≥1,得 2<x≤3; 由|x-a|<1,得 a-1<x<a+1. 若 p 是 q 的充分不必要条件,则?????aa- +11≤ >32 ,即 2<a≤3.
所以实数 a 的取值范围是(2,3],故选 C.

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B组 专项能力提升

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7

3.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

() B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析

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B组 专项能力提升

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3.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

(B )
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析

A={x|-4≤x≤4},若 A?B,则 a>4.a>4D a>5,但 a>5?a>4.故“A?B”是“a>5”的必要不充分条件.

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4.设有两个命题 p、q.其中 p: 对于任意的 x∈R,不等式 ax2+2x+1>0 恒成立;命 题 q:f(x)=(4a-3)x 在 R 上为减函数.如果两个命 题中有且只有一个是真命 题,那么实数 a 的取值范 围是_______________.

解析

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4.设有两个命题 p、q.其中 p: 解 析

对于任意的 x∈R,不等式 当 a=0 时,不等式为 2x+1>0,显然

ax2+2x+1>0 恒成立;命 不能恒成立,故 a=0 不适合;

题 q:f(x)=(4a-3)x 在 R 上为减函数.如果两个命 题中有且只有一个是真命 题,那么实数 a 的取值范 围是_______________.

当 a≠0 时,不等式 ax2+2x+1>0 恒成











?? a>0, ???Δ=22-4a<0,

解得

a>1.

若命题 q 为真,则 0<4a-3<1,解得34

<a<1.

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4.设有两个命题 p、q.其中 p: 解 析
对于任意的 x∈R,不等式 由题意,可知 p,q 一真一假. ax2+2x+1>0 恒成立;命 当 p 真 q 假时,a 的取值范围是 题 q:f(x)=(4a-3)x 在 R {a|a>1}∩{a|a≤34或 a≥1}={a|a>1};

上为减函数.如果两个命 当 p 假 q 真时,a 的取值范围是

题中有且只有一个是真命
题,那么实数 a 的取值范 围是_???_34_,_1_???_∪_(_1_,__+_∞__)_.

{a|a≤1}∩{a|34<a<1}={a|34<a<1};
所以 a 的取值范围是???34,1???∪(1, +∞).

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5.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范 围是________.
解析

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5.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范
围是__[_1_,2_)___. 解析
x?[2,5]且 x?{x|x<1 或 x>4}是真命题. 由?????x1<≤2或 x≤x4>,5, 得 1≤x<2. 点评 “A 或 B”的否定是“綈 A 且綈 B”.

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6.“m<14”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的

____________________条件.

解析

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7

6.“m<14”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的

____充__分__不__必__要________条件.

解析
x2+x+m=0 有实数解等价于 Δ=1-4m≥0, 即 m≤14,∵m<14?m≤14,反之不成立. 故“m<14”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”

的充分不必要条件.

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7.(13 分)已知全集 U=R,非空集合 A=?????x|x-x?-3a2+1?<0?????,B=

?? x-a2-2 ??

?x|
??

x-a

<0?.
??

(1)当 a=12时,求(?UB)∩A;

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实

数 a 的取值范围.

解析

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7.(13 分)已知全集 U=R,非空集合 A=?????x|x-x?-3a2+1?<0?????,B=

?? x-a2-2 ??

?x|
??

x-a

<0?.
??

(1)当 a=12时,求(?UB)∩A;

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实

数 a 的取值范围.

解析 解 (1)当 a=12时,
A=?????x|xx- -252<0?????=?????x|2<x<52?????,B=?????x|xx- -1294<0?????=?????x|12<x<94?????,

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7.(13 分)已知全集 U=R,非空集合 A=?????x|x-x?-3a2+1?<0?????,B=

?? x-a2-2 ??

?x|
??

x-a

<0?.
??

(1)当 a=12时,求(?UB)∩A;

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实

数 a 的取值范围.

解析

∴?UB=?????x|x≤12或x≥94?????.∴(?UB)∩A=?????x|94≤x<52?????. (2)∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}. ①当 3a+1>2,即 a>13时,A={x|2<x<3a+1}.

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7.(13 分)已知全集 U=R,非空集合 A=?????x|x-x?-3a2+1?<0?????,B=

?? x-a2-2 ??

?x|
??

x-a

<0?.
??

(1)当 a=12时,求(?UB)∩A;

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实

数 a 的取值范围.

解析

∵p 是 q 的充分条件,∴A?B.

∴?????a3≤ a+21≤a2+2

,即13<a≤3-2

5 .

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7.(13 分)已知全集 U=R,非空集合 A=?????x|x-x?-3a2+1?<0?????,B=

?? x-a2-2 ??

?x|
??

x-a

<0?.
??

(1)当 a=12时,求(?UB)∩A;

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实

数 a 的取值范围.

解析

②当 ③当

33aa++11=<22,,即即aa<=13时13时,,A=A={x?|3,a+不1符<x合<2题},意;

由 A?B 得?????aa≤ 2+32a≥+21 ,∴-12≤a<13.

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7.(13 分)已知全集 U=R,非空集合 A=?????x|x-x?-3a2+1?<0?????,B=

?? x-a2-2 ??

?x|
??

x-a

<0?.
??

(1)当 a=12时,求(?UB)∩A;

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实

数 a 的取值范围.

解析

综上所述,实数 a 的取值范围是???-12,13???∪????13,3-2 5????.

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