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【精选】高中数学 1.3.2函数的奇偶性教案 新人教版必修1


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1.3.2 函数的奇偶性(教学设计)
教学目的:(1)理解函数的奇偶性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)学会判断函数的奇偶性.
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 教学过程: 一、复习回础,新课引入: 1、函数的单调性 2、函数的最大 (小)值。 3、从对称的角度,观察下列函数的图象:
(1) f (x) ? x2 ?1;(2)f (x) ? x ;(3) f (x) ? x ;(4) f (x) ? 1 x
二、师生互动,新课讲解: (一)函数的奇偶性定义 象上面的图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数关于原点对称的函数即是奇函数. 1.偶函数(even function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数(odd function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做奇函数.

注意:
(1)具有奇偶性的函数的定义域具有对称性,即关于坐标原点对称,如果一个函数的定义域关于坐标原点不对
称,就不具有奇偶性.因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
(2)具有奇偶性的函数的图象具有对称性.偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于坐标原点对称;反 之,如果一 个函数的图象关于 y 轴对称,那么,这个函数是偶函数 ,如果一个函数的图象关于坐标原点对称,那么,
这个函数是奇函数.
(3)由于奇函数和偶函数的对称性质,我们在研究函数时,只要知道一半定义域上的图象和性质,就可以得到
另一半定义域上的图象和性质.
(4)偶函数: f (?x) ? f (x) ? f (x) ? f (?x) ? 0 , 奇函数: f (?x) ? ? f (x) ? f (x) ? f (?x) ? 0;
(5)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 (6)已知函数 f(x)是奇函数,且 f(0)有定义,则 f(0)=0。 (二)典型例题 1.判断函数的奇偶性 例 1.如图,已知偶函数 y=f(x)在 y 轴右边的一部分图象,根据偶函数的 性质,画出它在 y 轴左边的图象.

变式训练 1:(课本 P36 练习 NO:2)

例 2(课本 P35 例 5):判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)= x ? 1 ;(4)f(x)= 1

x

x2

归纳:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:

○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;

○2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;

○3 作出相应结论:

若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;

若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数.

变式训练 2:(课本 P36 练习 NO:1)
例 3:已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数
解:任取 x1, x2 ? (??,0) ,使得 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ?x2 ? 0
由于 f(x) 在(0,+∞)上是增函数
所以 f (?x1 ) ? f (?x2 )
又由于 f(x)是奇函数
所以 f (?x1 ) ? ? f (x1 ) 和 f (?x2 ) ? ? f (x2 ) 由上得 ? f (x1) ? ? f (x2 ) 即 f (x1) ? f (x2 )
所以,f(x)在(-∞,0 )上也是增函数 结论:偶函数在关于原点 对称的区间上单调性相反;
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 三、课堂小结,巩固反思:
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的 奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶 性的综合应用是本节的一个难点,需 要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 四、作业布置 A 组: 1、根据定义判断下列函数的奇偶性:
(1) f (x) ? 2x 2 ? 2x ;(2) f (x) ? x3 ? 2x ;(3) f (x) ? x2 ( x ? R );(4)f(x)=0 ( x ? R ) x ?1

2、(课本 P39 习题 1.3 A 组 NO:6)

3、(tb0109806)若函数 f(x)的图象关于原点对称且在 x=0 处有定义,则 f(0)=_______。(答:0)
4、(tb0109803)若函数 y=f(x) (x? R) 为偶函数,则下列坐标表示的点一定在函数 y=f(x)的图象上的是( C )。
(A)(a, -f(a)) (B ) (-a, -f(-a)) (C) (-a, f(a)) (D) (-a, -f(a))

B 组:

1、(tb0109912)已知函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,且与x 轴有四个不同的交点,则方程 f(x)=0 的所有实根的和

为(D)。

(A)4

(B)2

(C)1

(D)0

2、(tb0307345)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是(B)。

(A)增函数且最小值为-5 (B)增函数且最大值为-5

(C)减函数且最小值为-5 (D)减函数且最大值为-5

3、(课本 P39 习题 1.3 B 组 NO :3)

C 组:
1、定义在 R 上的奇函数 f (x) 在整个定义域上是减函数,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。
2、已知 f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x(1+x);求当 x <0 时,函数 f(x)的解析式 解:设 x <0,则 -x >0
有 f(-x)= -x [1+(-x)] 由 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x)

所以 f(x) = -x [1+(-x)]= x(x-1)

f

(x)

?

?x(1? x) ??x(x ?1)

,x ? 0 ,x ? 0

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