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2015-2016学年高中数学 第3章 2.3两角和与差的正切函数课时作业 北师大版必修4


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2015-2016 学年高中数学 第 3 章 2.3 两角和与差的正切函数课时作业 北师大版必修 4

一、选择题

1.若 tanα=3,tanβ=43,则 tan(α-β)等于(

)

A.-3 B.-13

C.3 D.31

[答案] D

[解析]

tan(α-β)=1t+antαa-nαttaannββ=13+-334×43=13.

2.若 tan??π4-α??=3,则 tanα 等于(

)

A.-2 B.-12

C.21

D.2

[答案] B

[解析]

tanα=tan??π4-??π4-α????=1t+antπ4a-nπ4ttaann????π4π4--αα????=-12.

3.若 tanα=2,tanβ=3,且 α,β∈(0,π2),则 α+β 的值为(

)

A.30° B.45°

C.135° D.225°

[答案] C

[解析] ∵tan(α+β)=1t-antαa+nαttaannββ=12-+23×3=-1,0<α+β<π,

∴α+β=135°.

4.若 sinα=45,tan(α+β)=1,且 α 是第二象限角,则 tanβ 的值为(

)

A.43 B.-43 C.-7 D.-17

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[答案] C [解析] 因为 sinα=54,α 是第二象限角, 所以 cosα=-35. 所以 tanα=-43. 因为 tan(α+β)=1t-antαa+nαttaannββ, 所以 1=-1+34+43ttaannββ,解得 tanβ=-7.

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5.若∠A=22°,∠B=23°,则(1+tanA)(1+tanB)的值是( )

A. 3 B.2

C.1+ 2 D.2(tanA+tanB)

[答案] B

[解析] 因为原式=1+tanA+tanB+tanAtanB=1+tanAtanB+tan(A+B)(1-tanAtanB)

=1+tanAtanB+tan45°(1-tanAtanB)=2+tanAtanB-tanAtanB=2.

6.若 tan28°tan32°=m,则 tan28°+tan32°的值为( )

A. 3m B. 3(1-m)

C. 3(m-1) D. 3(m+1)

[答案] B [解析] ∵tan(28°+32°)=1t-ant2a8n°2+8°ttaann3322°°, ∴tan28°+tan32°=tan60°(1-tan28°tan32°)= 3(1-m).

二、填空题 7.1t-ant2a3n°2+3°ttaann3377°°=________. [答案] 3

[解析] 原式=tan(23°+37°)=tan60°= 3.

8.设 sinα=35(π2<α<π),tan(π-β)=21,则 tan(α-2β)=________.

[答案]

7 24

[解析] sinα=35(π2<α<π),则 tanα=-43.

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tan(π-β)=12,则 tanβ=-12, tan(α-β)=1t+antαa-nαttaannββ=- 1+34+ 34×1212=-121,

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tan(α-2β)=1+

- - -tanβ =- 1+121121+×2112=274.

三、解答题

9.计算下列各式的值.

(1)tan15°+tan75°;

tan41°+tan19° (2)1-tan41°tan19°.

[分析] 观察各式的特点,设法化为特殊角的和、差正切公式计算.

[解析] (1)tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)=11- +ttaann3300°°+11-+ttaann3300°°

1- =
1+

3 3

1+



3 3

1-

3 33=1+3-31+1+3-31=4. 3

(2)原式=tan(41°+19°)=tan60°= 3.

10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的终边分别与单位圆交于 A,

B

两点.已知点

A,B

的横坐标分别为

102,2

5

5 .

(1)求 tan(α+β)的值;

(2)求 α+2β 的值.

[解析]

(1)由已知条件及三角函数的定义,可知

cosα=

102,cosβ=2

5

5 .

因为 α 为锐角,故 sinα>0,

从而 sinα= 1-cos2α=7102.

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同理可得 sinβ= 55.因此 tanα=7,tanβ=12. 所以 tan(α+β)=1t-antαa+nαttaannββ=17-+712×12=-3.

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(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=1-





+tanβ

= -3+12 1- -

1=-1. 2

又 0<α<π2,0<β<π2,故 0<α+2β<32π, 从而由 tan(α+2β)=-1,得 α+2β=34π.

一、选择题

1.△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为( )

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不能确定

[答案] A

[解析] ∵tanA·tanB>1>0.∴tanA>0 且 tanB>0(否则 A、B 同为钝角,不可能),

∴tan(A+B)=1t-antAa+nAttaannBB<0,

∴90°<A+B<180°,∴0°<C<90°.

2.已知 sin2α=53??π2<2α<π??,tan(α+β)=-2,tan(α-β)的值为(

)

A.12 B.-12

C.-121 D.121

[答案] A

[解析] 先求出 cos2α=-45,∴tan2α=-43.

-+

由于 tan2α=tan[(α-β)+(α+β)]=1-



解得 tan(α-β)=21.

+ +

=-43,

二、填空题

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3.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB,则 C=________.

[答案]

π 3

[解析] 由已知得 tanA+tanB=- 3(1-tanAtanB),

∴tan(A+B)=- 3. ∵A,B 均为△ABC 的内角,

∴0<A+B<π.

∴A+B=23π.∴C=π3.

4.已知 tan??α-β2??=12,tan??β-α2??=-31,则 tanα+2 β=________.

[答案]

1 7

[解析]

tanα+2 β=tan????α-β2??+??β-α2????=121-+12??×-??-133??1??=17.

三、解答题

5.已知 sin(2α+β)=5sinβ,求证:2tan(α+β)=3tanα.

[解析] ∵2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,

∴sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]

=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,

而 5sinβ=5sin[(α+β)-α]

=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.

由已知得 sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.

∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα,

等式两边都除以 cos(α+β)cosα,

得 2tan(α+β)=3tanα. 6.在△ABC 中,已知 sinBcosA=3sinAcosB 且 cosC= 55,求 A 的值. [解析] 因为 sinBcosA=3sinAcosB,

所以 tanB=3tanA. 又因为 cosC= 55,0<C<π,

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所以 sinC= 1-cos2C=2 5 5, 从而 tanC=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,

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即 tan(A+B)=-2, 亦即1t-antAa+nAttaannBB=-2,又因为 tanB=3tanA, 所以得1-43tatnanA2A=-2,解得 tanA=1 或-13, 因为 cosA>0,故 tanA=1,所以 A=π4. 7.已知 tanα=-13,cosβ= 55,α,β∈(0,π). (1)求 tan(α+β)的值;

(2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.

[解析] 考查两角和与差的三角函数公式的运用和三角函数的性质.

(1)由 cosβ= 55,β∈(0,π),得 sinβ=2 5 5,

所以 tanβ=csoinsββ=2,

所以 tan(α+β)=1t-antαa+nαttaannββ=1.

(2)因为 tanα=-13,α∈(0,π),

所以 sinα= 1 ,cosα=- 3 .

10

10

∴f(x)= 2sinxcosα- 2cosxsinα+cosxcosβ-sinxsinβ

=-3 5 5sinx-

55cosx+

55cosx-2

5

5 sinx

=- 5sinx.

所以 f(x)的最大值为 5.

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