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2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第9章第5讲 椭 圆

发布时间:

第5讲 椭 圆

[学生用书 P155]

1.椭圆的定义 条件

平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1,F2

|MF1|+|MF2|=2a

2a>|F1F2|

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

ax22+by22=1(a>b>0)

结论 1
M 点的 轨迹为 椭圆

结论 2 F1、F2 为椭圆
的焦点 |F1F2|为椭圆
的焦距

ay22+bx22=1(a>b>0)

图形

续表 标准方程 范围

对称性

性质

顶点
轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

ax22+by22=1(a>b>0)

ay22+bx22=1(a>b>0)

-a≤x≤a

-b≤x≤b

-b≤y≤b

-a≤y≤a

对称轴:x 轴、y 轴

对称中心:(0,0)

A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)

B1(0,-b),B2(0,b)

B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a

短轴 B1B2 的长为 2b

|F1F2|=2c

e=ac,e∈(0,1)

c2=a2-b2

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)平面内两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成△PF1F2 的周长为 2a+2c(其中 a 为椭圆的长半轴 长,c 为椭圆的半焦距).( )

(3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.( )

(4)方程 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )

(5)ay22+bx22=1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.(

)

(6)ax22+by22=1(a>b>0)与ay22+bx22=1(a>b>0)的焦距相等.(

)

答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√

已知椭圆2x52 +my22=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m=(

)

A.2

B.3

C.4

D.9

解析:选 B.依题意有 25-m2=16,因为 m>0,所以 m=3.选 B.

(教材习题改编)椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,1),并且经过点 P(32,1)的椭圆的标准方

程为( )

A.x42+y32=1

B.x22+y32=1

C.x32+y22=1

D.y42+x32=1

解析:选 D.由题意可设椭圆 C 的标准方程为 ay22+bx22=1(a>b>0),且另一个焦点为 F2(0,

-1),

所以 2a=|PF1|+|PF2|= ??32??2+(1-1)2+ ??32??2+(1+1)2=4.
所以 a=2,又 c=1,所以 b2=a2-c2=3. 故所求的椭圆方程为y42+x32=1,故选 D.
(教材习题改编)椭圆 C 的长轴长是短轴长的 3 倍,则 C 的离心率为( )

A.

6 3

2 B. 3

C.

3 3

D.2 3 2

解析:选 D.不妨设椭圆 C 的方程为ax22+by22=1(a>b>0),则 2a=2b×3,即 a=3b.所以

a2=9b2=9(a2-c2).

即ac22=89,所以 e=ac=2 3 2,故选 D. 若方程5-x2 k+k-y23=1 表示椭圆,则 k 的取值范围是________.

??5-k>0, 解析:由已知得?k-3>0,

解得 3<k<5 且 k≠4.

??5-k≠k-3,

答案:(3,4)∪(4,5) (教材习题改编)椭圆 C:2x52 +1y62 =1 的左右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆 C

于 A,B 两点,则△F1AB 的周长为________. 解析:△F1AB 的周长为|F1A|+|F1B|+|AB| =|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a. 在椭圆2x52 +1y62 =1 中,a2=25,a=5,

所以△F1AB 的周长为 4a=20. 答案:20

椭圆的定义及应用(高频考点) [学生用书 P156] 椭圆的定义是每年高考的重点,题型既有选择、填空题,也有时出现在解答题的已知条 件中.主要命题角度有: (1)利用定义求轨迹方程; (2)利用定义解决“焦点三角形”问题.
[典例引领] 角度一 利用定义求轨迹方程
(1)如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 内一个定点,P 是圆上任意一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是( )

A.椭圆 C.抛物线

B.双曲线 D.圆

(2)已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相

内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )

A.6x42 -4y82 =1

B.4x82 +6y42 =1

C.4x82 -6y42 =1

D.6x42 +4y82 =1

【解析】 (1)连接 QA.由已知得|QA|=|QP|.

所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又因为点 A 在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,点 Q 的轨迹是以 O,A 为焦点,

r 为长轴长的椭圆.故选 A.

(2)设圆 M 的半径为 r,

则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|, 所以 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,

且 2a=16,2c=8, 故所求的轨迹方程为6x42 +4y82 =1.

【答案】 (1)A (2)D

角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题

已知 F1、F2 是椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,

且P→F1⊥P→F2,若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 【解析】 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则?????rr121++rr222==24ac2,, 所以 2r1r2=(r1+r2)2-(r21+r22)=4a2-4c2=4b2,

又因为 S△PF1F2=12r1r2=b2=9,所以 b=3.

【答案】 3

1.在本例中增加条件“△PF1F2 的周长为 18”,其他条件不变,求该椭圆的方程. 解:由原题得 b2=a2-c2=9, 又 2a+2c=18,所以 a-c=1,解得 a=5, 故椭圆的方程为2x52 +y92=1.
2.在本例中的条件“P→F1⊥P→F2”“△PF1F2 的面积为 9”分别改为“∠F1PF2=60°”“S △PF1F2=3 3”,结果如何?

解:|PF1|+|PF2|=2a,又∠F1PF2=60°, 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2, 即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4c2, 所以 3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2, 所以|PF1||PF2|=43b2, 又因为 S△PF1F2=12|PF1||PF2|·sin 60°
=12×43b2× 23= 33b2=3 3, 所以 b=3.

椭圆定义的应用 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆; 二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. (2)椭圆的定义式必须满足 2a>|F1F2|.

[通关练习] 1.设 P 是椭圆2x52 +y92=1 上一点,M,N 分别是两圆:(x+4)2+y2=1 和(x-4)2+y2=1

上的点,则|PM|+|PN|的最小值和最大值分别为( )

A.9,12

B.8,11

C.8,12

D.10,12

解析:选 C.如图,

由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a

=10,连接 PA,PB 分别与圆相交于 M,N 两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|

-2R=8;连接 PA,PB 并延长,分别与圆相交于 M,N 两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值

为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为 8,12.

2.已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 33,过 F2 的

直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( )

A.x32+y22=1

B.x32+y2=1

C.1x22 +y82=1

D.1x22 +y42=1

解析:选 A.由题意及椭圆的定义知 4a=4 3,则 a= 3,

又ac=

c= 3

33,所以

c=1,所以

b2=2,

所以 C 的方程为x32+y22=1,选 A.

椭圆的标准方程[学生用书 P157]

[典例引领]

(1)若直线 x-2y+2=0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为

() A.x52+y2=1 C.x52+y2=1 或x42+y52=1

B.x42+y52=1 D.以上答案都不对

(2)一个椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|,

|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为( )

A.x82+y62=1

B.1x62 +y62=1

C.x82+y42=1

D.1x62 +y42=1

【解析】 (1)直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在 x 轴上时,c

=2,b=1, 所以 a2=5,所求椭圆的标准方程为x52+y2=1.

当焦点在 y 轴上时,b=2,c=1, 所以 a2=5,所求椭圆的标准方程为y52+x42=1. (2)设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).由点 P(2, 3)在椭圆上知a42+b32=1.又

|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2·2c,ac=12,又 c2=a2-b2,

联立得 a2=8,b2=6.

【答案】 (1)C (2)A

定义法

求椭圆标准方程的 2 种常用方法 根据椭圆的定义,确定 a2,b2 的值,结合焦点位置可写出椭圆

待定系 数法

方程 若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求 出 a、b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上 两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0, A≠B).

[通关练习]
1.已知 F1,F2 分别是椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点,点??1, 22??在椭圆上,

且点(-1,0)到直线 PF2 的距离为4 5 5,其中点 P(-1,-4),则椭圆 E 的标准方程为(

)

A.x2+y42=1

B.x42+y2=1

C.x2+y22=1

D.x22+y2=1

解析:选 D.设 F2 的坐标为(c,0)(c>0),则 kPF2=c+4 1,故直线 PF2 的方程为 y=c+4 1

(x



c) ,



4 c+1

x



y



4c c+1



0





(



1



0)





线

PF2 的 距 离

d



|-c+4 1-c+4c1|
??c+4 1??2+1



4

=4

??c+4 1??2+1

5

5,即??c+4 1??2=4,

解得 c=1 或 c=-3(舍去),所以 a2-b2=1.①

1
又点??1, 22??在椭圆 E 上,所以a12+b22=1,②

由①②可得?????ab22==21,,所以椭圆 E 的标准方程为x22+y2=1.故选 D.

2.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1),P2(- 3,-

2),则该椭圆的方程为________.

解析:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n).

因为椭圆经过 P1,P2 两点, 所以 P1,P2 点坐标适合椭圆方程, 则???6m+n=1,①
??3m+2n=1,②

?m=19,
①②两式联立,解得
??n=13.
所以所求椭圆方程为x92+y32=1. 答案:x92+y32=1

椭圆的几何性质(高频考点) [学生用书 P157] 椭圆的几何性质是每年高考的热点,主要涉及椭圆的离心率问题,题型既有选择题、填

空题,也有解答题,难度中等及以上.主要命题角度有:

(1)求椭圆的离心率问题;

(2)椭圆中的范围问题.

[典例引领]

角度一 求椭圆的离心率问题

(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,

A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )

A.

6 3

3 B. 3

C.

2 3

D.13

(2)设 A1、A2 分别为椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点 P,使得

kPA1·kPA2>-12,则该椭圆的离心率的取值范围是(

)

A.(0,12)

B.(0,

2 2)

C.( 22,1)

D.(12,1)

【解析】 (1)以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2+y2=a2,由原点到直线 bx-ay+2ab

=0 的距离 d= b22a+b a2=a,得 a2=3b2,所以 C 的离心率 e= 1-ba22= 36.

(2)椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1(-a,0)、A2(a,0),设 P(x0,y0),根

据题意,kPA1·kPA2=x02-y02a2>-12,而ax022+by202=1,所以 a2-x20=ab2y220,于是ba22<12,即a2-a2 c2<12,

1-e2<12,所以 e> 22,又 e<1,故 22<e<1,选 C.

【答案】 (1)A (2)C

角度二 椭圆中的范围问题 (2017·高考全国卷Ⅰ)设 A、B 是椭圆 C:x32+ym2=1 长轴的两个端点.若 C 上存在

点 M 满足∠AMB=120°,则 m 的取值范围是( )

A.(0,1]∪[9,+∞)

B.(0, 3]∪[9,+∞)

C.(0,1]∪[4,+∞)

D.(0, 3]∪[4,+∞)

【解析】

?? 依题意得,?

3 ≥tan m

∠AMB 2或

??0<m<3

?? ?

m≥tan 3

∠A2MB,所以???

3 ≥tan 60° m

??m>3

??0<m<3

?? 或?

m≥tan 3

60°,解得

0<m≤1



m≥9.故选

A.

??m>3

【答案】 A

(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中 x, y 的范围,离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、 短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于 a,b,c 的等式或不等式, 利用 a2=b2+c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围.

[通关练习] 1.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点, A,B 分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交 于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )

A.13

1 B.2

C.23

D.34

解析:选 A.设 E(0,m),则直线 AE 的方程为-ax+my =1,由题意可知 M??-c,m-mac??,

??0,m2 ??和 B(a,0)三点共线,则m--macc-m2 =-m2a,化简得 a=3c,则 C 的离心率 e=ac=13.

2.如图,焦点在 x 轴上的椭圆x42+by22=1 的离心率 e=12,F,A 分别是椭圆的一个焦点

和顶点,P 是椭圆上任意一点,则P→F·P→A的最大值为________.

解析:设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2, 因为 e=ac=12,所以 c=1,b2=a2-c2=3. 故所求椭圆方程为x42+y32=1. 所以-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. 因为 F(-1,0),A(2,0), P→F=(-1-x0,-y0),P→A=(2-x0,-y0), 所以P→F·P→A=x20-x0-2+y20=14x02-x0+1=14(x0-2)2.即当 x0=-2 时,P→F·P→A取得最大值 4. 答案:4
直线与椭圆的位置关系 [学生用书 P158]
[典例引领] 已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),点
A??1, 22??在椭圆 C 上.
(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)是否存在斜率为 2 的直线 l,使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M,N 时,能在

直线 y=53上找到一点 P,在椭圆 C 上找到一点 Q,满足P→M=N→Q?若存在,求出直线 l 的方 程;若不存在,说明理由.
【解】 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,则 c=1,
因为 A??1, 22??在椭圆 C 上,
所以a12+21b2=1,又 a2=b2+c2, 所以 a= 2,b=c=1. 故椭圆 C 的标准方程为x22+y2=1. (2)设直线 l 的方程为 y=2x+t,
设 M(x1,y1),N(x2,y2),P??x3,53??,Q(x4,y4),
MN 的中点为 D(x0,y0), 由?????yx= 2+22xy+2=t,2,消去 x,得 9y2-2ty+t2-8=0, 所以 y1+y2=29t且 Δ=4t2-36(t2-8)>0, 故 y0=y1+2 y2=9t 且-3<t<3, 由P→M=N→Q,知四边形 PMQN 为平行四边形, 而 D 为线段 MN 的中点,因此 D 为线段 PQ 的中点, 所以 y0=53+2 y4=9t ,可得 y4=2t-9 15, 又-3<t<3,可得-73<y4<-1, 因此点 Q 不在椭圆上,故不存在满足题意的直线 l.
解决直线与椭圆位置关系问题的方法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联 立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题时 用“点差法”解决,往往会更简单. (2) 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 坐 标 为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 |AB| = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] = (1+k12)[(y1+y2)2-4y1y2](k 为直线斜率).

[注意] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略 判别式.
[通关练习]
已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的焦距为 4,且经过点 P??2,53??.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 经过 M(0,1),与 C 交于 A,B 两点,M→A=-23M→B,求直线 l 的方程. 解:(1)依题意,2c=4,则椭圆 C 的焦点为 F1(-2,0),F2(2,0),
由椭圆的定义可得 2a=|PF1|+|PF2|= (2+2)2+??53??2+ (2-2)2+??53??2=133+53
=6, 即有 a=3,则 b2=a2-c2=5, 故椭圆 C 的方程为x92+y52=1. (2)若 l 与 x 轴垂直,则 l 的方程为 x=0, A,B 为椭圆短轴的两个端点,不符合题意. 若 l 与 x 轴不垂直,设 l 的方程为 y=kx+1,
由???x92+y52=1,得(9k2+5)x2+18kx-36=0. ??y=kx+1
设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-9k128+k 5,x1·x2=-9k32+6 5,易知 Δ>0, 由M→A=-23M→B,得(x1,y1-1)=-23(x2,y2-1) 即有 x1=-23x2, 可得13x2=-9k128+k 5,-23x22=-9k32+6 5,
即有??-9k524+k 5??2=9k52+4 5,
解得 k=±13,故直线 l 的方程为 y=13x+1 或 y=-13x+1.
椭圆标准方程的求法 求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定位”,就 是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标轴上,

确定标准方程形式;再“定量”,就是根据已知条件,通过解方程(组)等手段,确定 a2,b2 的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置,这时的方程常 可设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n).
求离心率常用的两种方法 (1)求得 a,c 的值,代入公式 e=ac即可; (2)列出 a,b,c 的方程或不等式,根据 b2=a2-c2 将 b 消掉,转化为含有 a 和 c 的关系 式,最后转化为关于 e 的方程或不等式.
椭圆焦点三角形的常见性质 以椭圆ax22+by22=1(a>b>0)上一点 P(x0,y0)(y0≠0)和焦点 F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的 △PF1F2 中,若∠F1PF2=θ,则 (1)|PF1|+|PF2|=2a; (2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos θ; (3)S△PF1F2=12|PF1||PF2|·sin θ,当|y0|=b,即 P 为短轴端点时,S△PF1F2 取最大值 bc; (4)焦点三角形的周长为 2(a+c); (5)当 P 为短轴端点时,θ 最大; (6)若焦点三角形的内切圆圆心为 I,延长 PI 交 F1F2 于点 Q,则||IPQI||=||FP1FQ1||=||FP2FQ2||,所 以||IPQI||=||FP1FQ1||+ +||PFF2Q2||=22ac=1e(e 为离心率).
解决椭圆的方程及性质问题应注意三点 (1)判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程中 x2 和 y2 的分母大小. (2)关于离心率的范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为 0<e<1. (3)注意椭圆的范围,在设椭圆ax22+by22=1(a>b>0)上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这 往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

[学生用书 P317(单独成册)]

1.椭圆xm2+y42=1 的焦距为 2,则 m 的值是(

)

A.6 或 9

B.5

C.1 或 9

D.3 或 5

解析:选 D.由题意,得 c=1,当椭圆的焦点在 x 轴上时,由 m-4=1,解得 m=5;

当椭圆的点在 y 轴上时,由 4-m=1,解得 m=3,所以 m 的值是 3 或 5,故选 D. 2.已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半

径的圆与直线 x-y+ 6=0 相切,则椭圆 C 的方程为( )

A.x82+y62=1

B.1x22 +y92=1

C.x42+y32=1

D.x62+y42=1

解析:选 C.由题意知 e=ac=12,所以 e2=ac22=a2-a2 b2=14,即 a2=43b2.以原点为圆心,

椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为 x2+y2=b2,由题意可知 b= 6= 3,所以 a2=4,b2 2
=3.故椭圆 C 的方程为x42+y32=1,故选 C. 3.设椭圆x42+y32=1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若△PF1F2 是直角三角形,则△PF1F2

的面积为( )

A.3

B.3 或32

C.32

D.6 或 3

解析:选 C.由已知 a=2,b= 3,c=1,则点 P 为短轴顶点(0, 3)时,∠F1PF2=π3, △PF1F2 是正三角形,若△PF1F2 是直角三角形,则直角顶点不可能是点 P,只能是焦点 F1(或
F2)为直角顶点,此时|PF1|=ba2=32??或|PF2|=ba2??,S△PF1F2=12·ba2·2c=ba2c=32.故选 C.
4.已知 F 是椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,PF⊥x 轴,

|PF|=14|AF|,则该椭圆的离心率是( )

A.14

3 B.4

C.12

D.

3 2

解析:选 B.由题可知点 P 的横坐标是-c,代入椭圆方程,有ac22+by22=1,得 y=±ba2.又

|PF|=14|AF|,即ba2=14(a+c),化简得 4c2+ac-3a2=0,即 4e2+e-3=0,解得 e=34或 e=-

1(舍去). 5.如图,椭圆ax22+y22=1(a>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 点在椭圆上,若 |PF1|=4,

∠F1PF2=120°,则 a 的值为( )

A.2 C.4

B.3 D.5

解析:选 B.b2=2,c= a2-2,故|F1F2|=2 a2-2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2| =2a-4,由余弦定理得 cos 120°=42+(22a×-44×)(2-2a(-24)a2-2)2=-12,化简得 8a=24,

即 a=3,故选 B.

6.已知方程2-x2 k+2ky-2 1=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是________.

????? 解析:因为方程2-x2 k+2ky-2 1=1

表示焦点在

y

??2-k>0, 轴上的椭圆,则由?2k-1>0, 得
??2k-1>2-k

k<2, k>12, k>1,

故 k 的取值范围为(1,2).

答案:(1,2) 7.若 n 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+yn2=1 的离心率是________.

解析:由 n2=2×8,得 n=±4,当 n=4 时,曲线为椭圆,其离心率为 e= 42-1= 23;

当 n=-4 时,曲线为双曲线,其离心率为 e= 41+1= 5.

答案: 23或 5

8.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3, 则椭圆 C 的方程是_________________________________.
解析:设椭圆 C 的方程为ax22+by22=1(a>b>0).

??a2=b2+c2, 由题意知?a∶b=2∶ 3,解得a2=16,b2=12.
??c=2,
所以椭圆 C 的方程为1x62 +1y22 =1. 答案:1x62 +1y22 =1 9.已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点.若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长 度的最小值. 解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为x42+y22=1. 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2.
故椭圆 C 的离心率 e=ac= 22. (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. 因为 OA⊥OB,所以O→A·O→B=0, 即 tx0+2y0=0,
解得 t=-2xy00.又 x20+2y20=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=??x0+2xy00??2+(y0-2)2
=x02+y20+4xy0220+4=x20+4-2 x20+2(4x-20 x20)+4=x220+x802+4(0<x20≤4). 因为x220+x802≥4(0<x20≤4), 当且仅当 x20=4 时等号成立, 所以|AB|2≥8. 故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 10.(2018·陕西质量检测)已知椭圆与抛物线 y2=4 2x 有一个相同的焦点,且该椭圆的
离心率为 22. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若A→P=2P→B,求△AOB
的面积. 解:(1)依题意,设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0),

由题意可得 c= 2,又 e=ac= 22,所以 a=2. 所以 b2=a2-c2=2, 所以椭圆的标准方程为x42+y22=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由A→P=2P→B,得?????-1-x1y=1=2x22(y2-1), 验证易知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,代入椭圆方程整理,得 (2k2+1)x2+4kx-2=0,所以 x1+x2=2-k2+4k1,x1·x2=2k-2+2 1. 将 x1=-2x2 代入上式可得,(2k42+k 1)2=2k21+1, 解得 k2=114. 所以△AOB 的面积 S=12|OP|·|x1-x2|= (x1+x22)2-4x1x2=12·2 2k82k+2+1 2=3 814.

1.(2018·广州综合测试(一))已知 F1,F2 分别是椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点,

若椭圆 C 上存在点 P 使得∠F1PF2 为钝角,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )

A.( 22,1)

B.(12,1)

C.(0,

2 2)

D.(0,12)

解析:选 A.法一:设 P(x0,y0),由题易知|x0|<a,因为∠F1PF2 为钝角,所以P→F1·P→F2 <0 有解,即 c2>x20+y20有解,即 c2>(x20+y02)min,又 y20=b2-ba22x20,x20<a2,故 x20+y20=b2+ac22x20∈

[b2,a2),所以(x20+y20)min=b2,故 c2>b2,又 b2=a2-c2,所以 e2=ac22>12,解得 e> 22,又 0<e<1,

故椭圆 C 的离心率的取值范围是( 22,1),选 A.

法二:椭圆上存在点 P 使∠F1PF2 为钝角?以原点 O 为圆心,以 c 为半径的圆与椭圆有 四个不同的交点?b<c,如图,由 b<c,得 a2-c2<c2,即 a2<2c2,解得 e=ac> 22,又 0<e<1,

故椭圆 C 的离心率的取值范围是( 22,1),选 A. 2.过椭圆x52+y42=1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标

原点,则△OAB 的面积为( )

A.43

5 B.3

C.54

D.130

解析:选 B.由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0),则直线 AB 的方程为 y=2x-2.

联 立 ???x52+y42=1, 解 得 交 点 ??y=2x-2,

A(0 , - 2) , B ??53,43?? , 所 以

S



OAB



1 2

·|OF|·|yA



yB|



1 2

×1×??-2-43??=53,故选 B.

3.

如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-2 5,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足

|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆 C 的方程为( )

A.2x52 +y52=1

B.3x62 +1y62 =1

C.3x02 +1y02 =1

D.4x52 +2y52 =1

解析:

选 B.设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0),焦距为 2c,右焦点为 F′,连接 PF′,如图 所示.因为 F(-2 5,0)为 C 的左焦点,所以 c=2 5.由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′= 90°,即 FP⊥PF′.
在 Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|= |FF′|2-|PF|2= (4 5)2-42=8.由椭圆定 义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,所以 a=6,a2=36,于是 b2=a2-c2=36-(2 5)2=16, 所以椭圆 C 的方程为3x62 +1y62 =1.

4.已知椭圆方程为ax22+by22=1(a>b>0),A,B 分别是椭圆长轴的两个端点,M,N 是椭 圆上关于 x 轴对称的两点,直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2,若|k1·k2|=14,则椭圆的离 心率为________.
解析:设 M(x0,y0),则 N(x0,-y0),|k1·k2|=??x0y+0 a·a-y0x0??=a2-y02 x20=b2a??21--xax20202??=ba22=
14, 从而 e= 1-ba22= 23.

答案:

3 2

5.(2017·高考北京卷)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴

上,离心率为 23. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM
的垂线交 BN 于点 E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为 4∶5. 解:(1)设椭圆 C 的方程为ax22+by22=1(a>b>0).
??a=2, 由题意得???ac= 23,解得 c= 3.
所以 b2=a2-c2=1. 所以椭圆 C 的方程为x42+y2=1. (2)证明:设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n). 由题设知 m≠±2,且 n≠0. 直线 AM 的斜率 kAM=m+n 2,故直线 DE 的斜率 kDE=-m+n 2. 所以直线 DE 的方程为 y=-m+n 2(x-m).

直线 BN 的方程为 y=2-n m(x-2).

??? 联立

y=-m+n 2(x-m), 解得点
y=2-n m(x-2),

E

的纵坐标

yE=-n4(-4m-2+m2n)2 .

由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2,

所以 yE=-45n.

又 S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,

S△BDN=12|BD|·|n|,

所以△BDE 与△BDN 的面积之比为 4∶5. 6.(2018·合肥质量检测(一))已知点 F 为椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点

与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线4x+2y=1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)设直线4x+2y=1 与 y 轴交于 P,过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B 若 λ|PM|2

=|PA|·|PB|,求实数 λ 的取值范围.

解:(1)由题意,得 a=2c,b= 3c,则椭圆 E 为4xc22+3yc22=1.

?x42+y32=c2

? 由

,得 x2-2x+4-3c2=0.

?4x+2y=1

因为直线4x+2y=1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M,

所以 Δ=4-4(4-3c2)=0?c2=1, 所以椭圆 E 的方程为x42+y32=1.

(2)由(1)得 M(1,32), 因为直线4x+2y=1 与 y 轴交于 P(0,2), 所以|PM|2=54, 当直线 l 与 x 轴垂直时, |PA|·|PB|=(2+ 3)×(2- 3)=1,

所以 λ|PM|2=|PA|·|PB|?λ =45, 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由?????y3=x2+kx4+y22-12=0?(3+4k2)x2+16kx+4=0, 依题意得,x1x2=3+44k2,且 Δ=48(4k2-1)>0, 所以|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·3+44k2=1+3+14k2=54λ,所以 λ=45(1+3+14k2), 因为 k2>14,所以45<λ<1. 综上所述,λ 的取值范围是[45,1).



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