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高一数学平面向量知识点及典型例题解析


高一数学
第一讲 向量的概念与线性运算 一. 【要点精讲】 1.向量的概念

第八章 平面向量

①向量 :既有大小又有方向的量。几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? y j ? ( x, y) 。 向量的模(长度) ,记作| AB |.即向量的大小,记作| a |。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.

??? ?

?

?

??? ?

?

? ? 0 0 ②零向量 :长度为 0 的向量,记为 ,其方向是任意的,规定 平行于任何向量。 (与 0 的区
别)

? ? ? a a 0 ③单位向量 | |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作 ∥ b

? x1 ? x 2 ?? ? ? ? y1 ? y 2 ⑤相等向量记为 a ? b 。大小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 )
2.向量的运算 (1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.

??? ? ??? ? BC ? b,则向量 AC 叫做 a 与 b A AB ? 如图,已知向量 a,b, 在平面内任取一点 ,作 a,
王新敞
奎屯 新疆

??? ? ??? ? ??? ? ? AB ? BC ? AC 的和,记作 a+b,即 a+b
C a a+b b B D b a b 三角形法则 A a 平行四边形法则 a+b C

B

特殊情况:
a
b
a ? b

(1)

A

a
b
a ? b

A

B

(2 )

C

C

A

( 3 )

B

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连” 。

②向量减法:

? ?? ? a a ?b 同一个图中画出 ? b、

要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重 合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有 向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. (3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理: 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。 二. 【典例解析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例 1 判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (3)单位向量都相等 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (2)若 (4) 向量就是有向线段 (6)若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ;

?

?

?

?

a ? b , 则a ? b

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? (7)若 a // b , b // c ,则 a // c

? ? ? ? ? ? | a a ? b (8) 的充要条件是 |?| b | 且 a // b ;

(9) 若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB ? CD, BC ? DA → =2DC → ”是“四边形 ABCD 为梯形”的 练习. (四川省成都市一诊)在四边形 ABCD 中, “AB A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例 2 化简 ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) = 练习 1.下列命题中正确的是

??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? AB A. ? ??? ? ? 0 ? AB ?0 C.
2.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得 A. AB

??? ? ??? ? AB ? BA ?0 B. ??? ? ??? ? ??? ? ???? AB ? BC ? CD ? AD D.

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

B. DA

C. BC

D. 0

?

3.如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则

(

) → → → B.BD-CF+DF=0 → → → D.BD-BE-FC=0

→ → → A.AD+BE+CF=0 → → → C.AD+CE-CF=0

题型三: 结合图型考查向量加、减法 例 3 在 ?ABC 所在的平面上有一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 ?PBC 与 ?ABC 的面 积之比是( )

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

1 A. 3

1 B. 2

2 C. 3

3 D. 4

例 4 重心、垂心、外心性质

→ 练习: 1.如图,在Δ ABC 中,D、E 为边 AB 的两个三等分点,CA =3a, → → → CB =2b,求CD ,CE . D E

A

2 已知

? ? ? ? a ? b = a ?b

? ? a 求证 ? b

B

C

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ( OB ? OC ) ? ( OB ? OC ? 2 OA ) ? 0 ,则 ?ABC 的形状为 O ? ABC 3 若 为 的内心,且满足
( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

→ → → 4.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC=( → → A.2OA-OB → → B.-OA+2OB 2→ 1→ C.3OA-3OB 1→ 2→ D.-3OA+3OB

)

→ |AB| → → → 5.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若OA-3OB+2OC=0,则 → 等于________. |BC|

→ → → → 6.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若PA+PB+PC=AB,则( A.点 P 在△ABC 外部 P 在线段 AC 上 B.点 P 在线段 AB 上

) D.点

C.点 P 在线段 BC 上

→ → → 1→ → 7.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD=3CA+λCB,则 λ 等于( 2 A.3 1 B.3 1 C.-3 2 D.-3

)

题型四: 三点共线问题 例 4 设 e1 , e2 是不共线的向量 , 已知向量 AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 , 若 A,B,D 三点共线,求 k 的值 → → → 例 5 已知 A、B、C、P 为平面内四点, A、B、C 三点在一条直线上 PC =mPA +nPB ,求证: m+n=1.

练习:1.已知: AB ? 3(e1 ? e 2 ), 的是( ) A、A,B,C 三点共线 C、C,A,D 三点共线

BC ? e1 ? e 2 , CD ? 2e1 ? e 2 ,则下列关系一定成立
B、A,B,D 三点共线 D、B,C,D 三点共线

→ → → 2.(原创题)设 a,b 是两个不共线的向量,若AB=2a+kb,CB=a+b,CD=2a-b,且 A,B, D 三点共线,则实数 k 的值等于________.

第 2 讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一. 【要点精讲】 1.平面向量的基本定理 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对 实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、

? ?

?

?

?

?

? ?

y 轴方向相同的_单

? ? ? y 位向量_ i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ,有且只有一对实数 x 、 ,
王新敞
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? ? ? ( x , y ) a ? xi ? yj a a 使得 ????○ 1, 把 叫做向量 的 (直角) 坐标, 记作 ? ( x, y) ????○ 2
? ? y a a x x 其中 叫做 在 轴上的坐标, 叫做 在 y 轴上的坐标,○ 2 式叫做向量的坐标表示
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? ? ? ? ( x , y ) i ? (1,0) j ? (0,1) 0 a 与 相等的向量的坐标也为 特别地, , , ? (0,0)
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新疆

特别提醒:设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐 标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标 因此, 在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都是可以用一对
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实数唯一表示 3.平面向量的坐标运算
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? ? ? ? ? ? a ? ( x , y ) b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 1 1 (1)若 ,
??? ? A ( x , y ) B ( x , y ) AB ? 1 1 2 2 (2) 若 , ,则 ? ? a ? (? x, ? y)
?

? a (3)若 ? ( x, y) 和实数 ? ,则

4.向量平行的充要条件的坐标表示:设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)

?

其中 b ? a

? ?

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1 y2 ? x2 y1 ? 0
二. 【典例解析】 题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量

A

1 1 OC ? OA, OD ? OB C 4 2 [例 1] 在△OAB 中, ,AD 与 BC 交于点 M,
设 OA = a , OB = b ,用 a , b 表示 OM .

M D B )

?

?

? ?

O

练习:1.若已知 e1 、e2 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( A. e1 与— e2 B.3 e1 与 2 e2 C. e1 + e2 与 e1 — e2 D. e1 与 2 e1

→ → → 2.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ、μ∈ R,则 λ+μ=________. 题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已 知 A ( — 2,4 ) 、 B ( 3, — 1 ) 、 C ( — 3, — 4 ) 且

CM ? 3CA , CN ? 2CB ,求点 M、N 的坐标及向量 MN 的坐标.

→ 练习:1. (2008 年高考辽宁卷)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2), B(-1, -2), C(3,1), 且BC → =2AD,则顶点 D 的坐标为( 7 A.(2,2) ) C.(3,2) D.(1,3)

1 B.(2,-2)

???? 1 MP ? 2 MN , 求 P 点的坐标; 2.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且

???? 1 ???? ? MP ? MN 2 3.若 M(3, -2) N(-5, -1),点 P 在 MN 的延长线上,且 ,
求 P 点的坐标;

(x,1 ) ,b= (-x, x ) 4.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= , 则向量 a ? b (
A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

2

)

→ → 5.在三角形 ABC 中,已知 A(2,3),B(8,-4),点 G(2,-1)在中线 AD 上,且AG=2GD, 则点 C 的坐标是( ) A.(-4,2) B.(-4,-2) C.(4,-2) D.(4,2)

6.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a、4b-2c、2(a-c)、d 的 有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 1 → → 7.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y=2ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2CB,则实数 a 等于( A.2 B.1 4 C.5 5 D.3 )

题型三: 平行、共线问题

1 b ? ( ,1 ? sin ? ) 2 例 4 已知向量 a ? (1 ? sin ? ,1) , ,若 a ∥ b ,则锐角 ? 等于( )

A. 30 ?

B. 45 ?

C. 60 ?

D. 75 ?

例 5. (2009 北京卷文)已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b , 如果 c // d 那么 ( ) B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向

? ? a b 练习:1.若向量 =(-1,x)与 =(-x, 2)共线且方向相同,求 x
2.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 OP ? OA ? t AB , 求(1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限。 (2)四边形 OABP 能否构成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由。

3.已知向量 a=(1,2),b=(0,1),设 u=a+kb,v=2a-b,若 u∥v,则实数 k 的值为( A.-1 1 B.-2 1 C.2 D.1

)

m 4.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则 n 等于( 1 A.-2 B.2 1 C.2 D.-2

)

→ → → 5.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2),若点 A、B、C 能构成三角形, 则实数 m 应满足的条件是( A.m≠-2 1 B.m≠2 ) C.m≠1 D.m≠-1

6.已知点 A(4,0), B(4,4),C (2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的 坐标。

题型四:平面向量综合问题

?? ? m ? ( a , b ) n 例 6.已知 ΔABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 设向量 , ? (sin B,sin A) , ? ? p ? (b ? 2, a ? 2) . ?? ? (1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形;

? ?? ?? (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 3 ,求 ΔABC 的面积 .

1→ → 1→ → → 练习已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC=3AB,DA=-3BA,求点 C、D 的坐标和CD的坐标.

第三讲 平面向量的数量积及应用 一. 【要点精讲】 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a,作 OA = a , OB = b ,则∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角; 说明:两向量的夹角必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

C (2)数量积的概念

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a ? a b b b b 0 非零向量 与 , · =︱ ︱· ︱ ︱cos 叫做 与 的数量积(或内积) 。规定 ? a ? 0 ; ? ? a ?b ? ? ? ? | a | ? b b 向量的投影: ︱ ︱cos = ∈R, 称为向量 在 a 方向上的投影。 投影的绝对值称为射影;
(3)数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积.

? ?

?

?

?

注意:⑴只要 a ⊥ b 就有 a ·b =0,而不必 a = 0 或 b = 0 . ⑵ 由 a ·b = a · c 及 a ≠ 0 却 不 能 推 出 b = c . 得 | a |· | b |cos θ
b c

a | c |cosθ 2 及| a |≠0,只能得到| b |cosθ 1=| c |cosθ 2,即 b 、 1=| |· c 在 a 方向上投影相等,而不能得出 b = c (见图).
⑶ ( a ·b ) c ≠ a ( b ·c ),向量的数量积是不满足结合律的. ⑷对于向量 a 、 b ,有| a ·b |≤| a |· | b |,等号当且仅当 a ∥ b 时成立. (4)向量数量积的性质

θ1 θ2 a

? ? ?2 ? 2 a ①向量的模与平方的关系: ? a ? a ?| a | 。
②乘法公式成立

? ? 2 ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 a ? b ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b ; ; ? ? ? ? a ?b x1 x 2 ? y1 y 2 cos ? a , b ?? ? ? 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ③向量的夹角:cos ? = = 。

?

? ? ? ? ? ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? a2 ? b 2 ? a ? b

??

?

?

?

(5)两个向量的数量积的坐标运算

? ? ? ? xx ?yy a ? ( x , y ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a 1 2。 1 1 已知两个向量 ·b = 1 2
(6)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

| a |? (7)平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y) ,则 | a | ? x ? y 或
2 2 2

x2 ? y2



| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

(平面内两点间的距离公式) .

二. 【典例解析】 题型一:数量积的概念 例 1.判断下列各命题正确与否:

? ? ? 0 ? a ? 0 0 (1) ; (2) ? a ? 0 ; ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? a ? 0, a ? b ? a ? c b (3)若 ,则 ? c ; ? ?

(4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) a (5) 对任意 , b , c 向量都成立;
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用 例2

? ? ? ? 已知 a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为120o,求

? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ? ? (4) a ?b () 1 a ? b;(2) a ? b ;( 3)(2a ? b ) ( ? a ? 3b ) ;

题型三:向量垂直、平行的判定 例 3.已知向量 a ? (2,3) , b ? ( x,6) ,且 a // b ,则 x ? 例 4.已知 。

? a ? ? 4,3?



? b ? ? ?1, 2?

? ? ? ? ? ? m ? a ? ? b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值。 ,

? ? ? ? (3) m ? ? ?n m ? n m // n (1) ; (2) ; 。

例 5.已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (1) 若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标;

5 , (2)若| b |= 2 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 练习 1 若非零向量 、 满足 ,证明: ? ?

2 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角, 求k值
王新敞
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3.已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , n) ,若 | a ? b |? a ? b ,则 n ? ( A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3



4.

? ? ? ? ? ? ? 已知 a ? 1, b ? 2,且a ? b与a垂直,求a与b的夹角。

b 5 . 知 a, ,

c △ ABC 为

的 三 个 内 角

A,B,C 的 对 边 , 向 量

m ? ( 3, ?1),n ? (cos A, sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ?bcos A ?csin C ,则角 A,B 的
大小分别为( A.
π π , 6 3

) B.
2π π , 3 6

C.

π π , 3 6

D.

π π , 3 3

题型四:向量的夹角 例 6 已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),且 a ? ? b ,求 a ? b 与 a ? b 的夹角

? ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 c a ?b d , ?3 b ? a , a b 120 练习 1 已知两单位向量 与 的夹角为 , 若 ?2 试求 c 与 d 的夹角。

2.| a |=1,| b |=2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150°





3.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( A.150° B.120° C.60° D.30°

)

5 4.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5,若(a+b)· c=2,则 a 与 c 的夹角为( A.30°或 150° B.60°或 120° C.120° D.150°

)

??? ? ???? ??? ? ??? ? 5.过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD ? xAB , AE ? y AC , xy ? 0 ,
1 1 ? x y



的值为(



(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

解析:取△ABC 为正三角形易得

1 1 ? x y

=3.选 B. .

? ? ? ? ? a ? ( 3 , 3 ) 2 b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ? ? a b 4. 设向量 与 的夹角为 , ,
→ → → → 5.在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC|2,则三角形 ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.直角三角形 . B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

)

6 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 (1)求 sin ? 和 cos ? 的值;

? ? ? (0, )

2 .

sin(? ? ? ) ?
(2)若

10 ? ,0 ? ? ? 10 2 ,求 cos ? 的值.

题型五:求夹角范围 例 7 已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范
2

?

?

?

? ?

?

?

围是

? A.[0, 6 ]

[ ,? ] B. 3

?

? 2? [ , ] C. 3 3

[ ,? ] D. 6

?

练习 1.设非零向量 a = ?x, 2 x ? , b = ?? 3x, 2? ,且 a , b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围 2.已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是
? ?
? ?

3.设两个向量 e1 、e 2 ,满足 | e1 |? 2 ,| e2 |? 1 ,e1 、e 2 的夹角为 60°,若向量 2te1 ? 7e2 与

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? e ? t e 1 2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 向量

与BC 4.如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ
的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值. (以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系) a 题型六:向量的模 C

? ? ? ? ? ? a ? 3, a ? b ? 13, b o 例 8.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , 则 等于(
A.5 B.4
0



A

C.3

D.1

B
) D.12

练习 1 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等于 ( A. 3 B.2 3 C.4

? ? ? a 2.已知平面上三个向量 、 b 、 c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120°,

? ? ? ? ? ? ( a ? b ) | k a ? b ? c |? 1 (k ? R) ,求 k 的取值范围. c (1)求证: ⊥ ; (2)若

? ? ? ? ? ? ? a , b a ? (4, ? 3),| b |? 1 ,且 a ? b ? 5 ,则向量 b ? ______. 3.平面向量 中,已知
4.已知| a |=| b |=2, a 与 b 的夹角为 600,则 a + b 在 a 上的投影为 。

? ? ? ? ? ? ? ? a , b | 3 a ? b |? | a | ? | b | ? 1,| 3 a ? 2 b | ? 3 5.设向量 满足 ,则 ? ? ? ? ? ? a , b | 2 a ? b |? ___ | a | ? 3,| b | ? 7 6.已知向量 的方向相同,且 ,则



___。

7 、已知 O , N , P 在 ?ABC 所在平面内,且

OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0
( )

,且

PA? PB ? PB? PC? PC? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心

题型七:向量的综合应用 → → → → 例 9.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上一点 P,使AP· BP有最小值,则 P 点的坐标是 ________.

|a| 练习 1.已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,若向量 c=a+b,且 a⊥c,则|b|的值为( 1 A.2 2 3 B. 3 C.2 D. 3

)

→ → 2.已知圆 O 的半径为 a,A,B 是其圆周上的两个三等分点,则OA· AB=( 3 A.2a2 3 B.-2a2 3 C. 2 a2 3 D.- 2 a2

)

→ → → → 4.(原创题)三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线,|AB|=3,AP· BC=-2,则|AC|=________. 3A 3A A A 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 m=(cos 2 ,sin 2 ),n=(cos2 ,sin 2 ), 且满足|m+n|= 3. (1)求角 A 的大小;

15 6 . 在 ?ABC 中 , AB ? AC ? 0 , ?ABC 的 面 积 是 4 , 若 | AB |? 3 , | AC |? 5 , 则
?BAC ? (
)

? ( A) 6

2? ( B) 3

3? (C ) 4

5? (D) 6

7. 已知 O 为原点, 点 A, B 的坐标分别为 A(a,0) ,B (0, a ) , 其中常数 a ? 0 , 点 P 在线段 AB 上,且有 AP ? t AB (0 ? t ? 1) ,则 OA? OP 的最大值为( )

( A) a

( B ) 2a

(C ) 3a

( D) a2

? ? 3 3 x x a ? (cos x,sin x) b ? (cos , ? sin ) 2 2 , 2 2 。 8.已知向量

? ? ? ? ? x ? [0, ] a 2 (1)当 ,求 ? b,| a ? b | ;
3 ? ? ? ? ? (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2m | a ? b | ≥ 2 对一切实数 x 都成立,求实数 m 的取值范围。

9. 若 正方 形 ABCD 边 长为 1 ,点 P 在 线 段 AC 上运 动, 则 AP ? ( PB ? PD) 的取 值范 围



1 .[-2, 4 ]

10. 已知 a , b 是两个互相垂直的单位向量 , 且 c ? a ? 1 , c ? b ? 1 , | c |? 2 , 则对任意的正实数

1 | c ? ta ? b | t 的最小值是 t,
各区期末试题

2 2

.

10. 在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 , E 是 CD 上一 点,且 AE ? AB ? 1 ,则 AE ? AC 的值为(

D

E

C

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



A

B

19.如图,点 P 是以 AB 为直径的圆 O 上动点, P ? 是点 P 关于

P

AB 的对称点, AB ? 2a(a ? 0) .

??? ? ??? ? ? (Ⅰ)当点 P 是弧 AB 上靠近 B 的三等分点时,求 AP ? AB 的
值;

A

O

B

??? ? ???? AP ? OP? 的最大值和最小值. (Ⅱ)求

P?

(6)如图所示,点 C 在线段 BD 上,且 BC = 3CD ,则 AD = (A) 3 AC ? 2 AB

????


D C



??? ?

??? ?

(B) 4 AC ? 3 AB

??? ?

??? ?

? 4 ???? 1 ??? AC ? AB 3 (C) 3

? 1 ???? 2 ??? AC ? AB 3 (D) 3

A

B

(16) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(3,3) , B(5,1) , P(2,1) ,点 M 是直线 OP 上的一 个动点. (Ⅰ)求

??? ? ??? ? PB - PA

的值;

(Ⅱ)若四边形 APBM 是平行四边形,求点 M 的坐标; (Ⅲ)求 MA ×MB 的最小值.

???? ????

3 已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 ⑵ 若

A?3 , 0?



B ?0 , 3?



C ? cos ? , sin ? ?

,且

? ?? ,

?π ?2

3π ? ? 2 ?.

???? ??? ? AC ? BC

,求角 ? 的值;

2sin 2 ? ? sin 2? ???? ??? ? 1 ? tan ? ⑵ 若 AC ? BC ? ?1 ,求 的值.

2 已知二次函数

f ? x?

对任意 x ? R ,都有

f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ?

成立,设向量

1? ? a ? ? sin x ,2 ? , b ? ? 2sin x , ? ,c ? ? cos 2 x , 1? ,d ? ?1 ,2 ? x ? ?0 , π? 2? ? ,当 时,求不等式

f ? a ? b? ? f ?c ? d ?

的解集.

???? ? 3 ??? ? 1 ???? AM ? AB ? AC S :S 4 3 2. 若点 M 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 ,则 ?ABM ? ABC等于
( )

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 5

6. 已 知 O 为 一 平 面 上 的 定 点 , A , B , C 为 此 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 若

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 , 则 ?ABC 的形状是
3 a ? (sin x, ) 2 , b ? (cos x, ?1) . 8.已知向量
(1)当 a ∥ b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值;
2

.

(2)设

x1 , x2 为函数

f ( x) ? ?

2 ? ( a ? b) ? b x ? x2 4 的两个零点,求 1 的最小值.

(5)如图,用向量 e1,e2 表示向量 a-b 为 (A)-2e 2-4e 1 (B)-4e 2-2e 1 (C)e 2-3e 1 (D)-e 2+3e1

(

)

???? ? 2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? ? (12)已知 OM = 3 OA + 3 OB ,设 AM =λ AB ,那么实数λ 的值是____________.
(16)已知向量 a=(1, 3 ),b=(-2,0). (Ⅰ)求向量 a-b 的坐标以及 a-b 与 a 的夹角;(Ⅱ)当 t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.



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