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2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理章末归纳总结课件 新人教A版选修2-3_图文


第一章 计数原理

第一章
章末归纳总结

1

自主预习学案

2

典例探究学案

自主预习学案

1.两个计数原理
? 有n类 分类加法 ?— 方案 → N=m1+m2+…+mn → 计数原理 完成 ? → 一件事 ? 需要n 分步乘法 ?— → N=m1m2…mn → 个步骤 计数原理 ?

运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与
“分步”.分类就是能“一步到位”??任何一类中任何一种方 法都能完成这件事情,而分步则只能“局部到位”??任何一步 中任何一种方法都不能完成这件事情,只能完成事件的某一部 分,只有当各步全部完成时,这件事情才完成.

2.排列与组合 (1)排列与组合的定义 从n个不同 ? 按一定的顺 ?→ → 排列 的元素中取 序排成一列 —? 出m?m≤n?个 ? ?→ 并成一组 → 组合 不同的元素
(2)排列数与组合数公式及关系
m An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

n! ; ?n-m?!

n?n-1??n-2?…?n-m+1? m Cn = = m!

n! . m!?n-m?!

-m m m m-1 m 组合数的性质:Cn =Cn , C + C = C n n n n+1.

(3)排列组合应用题的解题策略 ①特殊元素、特殊位置优先安排的策略; ②合理分类与准确分步的策略; ③正难则反,等价转化的策略; ④相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法的策略; ⑤元素定序,先排后除的策略; ⑥排列、组合混合题先选后排策略; ⑦复杂问题构造模型策略.

3.二项式定理 (1)二项式定理的内容
n 1 n -1 2 n -2 2 k n-k k n (a+b)n=C0 a + C a b + C a b +…+ C a b +…+ C n n n n n

bn(n∈N*).
n-k k (2)通项公式:Tk+1=Ck a b. n

(3)二项式系数 Ck n(k=0,1,…,n)的性质 ①对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ②增减性与最大值.
1 n n ③各二项式系数的和:C0 + C +…+ C = 2 . n n n

(4)解决二项式定理问题的注意事项
n-k k ①运用二项式定理一定要牢记通项 Tk+1=Ck a b ,注意(a n

+b)n 与(b+a)n 虽然相同, 但具体到它们展开式的某一项时是不 同的.另外,二项式系数与项的系数是两个不同概念,前者指
r Cn ,后者指字母外的部分.

②求二项式中项的系数和,用“赋值法”解决,通常令字 母变量的值为 1、-1、0 等. ③证明整除问题一般将被除式变为有关除式的二项式的形 式再展开,常采用“配凑法”、“消去法”结合整除的有关知 识解决.

1.正确区分“分类”与“分步”,恰当地进行分类,使分 类后不重、不漏. 2.正确区分是组合问题还是排列问题,要把“定序”和 “有序”区分开来. 3.正确区分分堆问题和分配问题
n-k k 4.二项式定理的通项公式 Tk+1=Ck a b 是第 k+1 项,而 n

不是第 k 项,注意其指数规律.

5.求二项式展开式中的特殊项(如:系数最大的项、二项 式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理 项…)时,要注意 n 与 k 的取值范围. 6. 注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”, 展 开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”,“奇(偶)数 项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”.

1 .将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 个学 校,要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等,则 不同的分配方法种数为( A.96 C.128 ) B.114 D.136

[答案] B
[解析] 若某一学校的最少人数是 1、2、3、4、5,则各有 7、5、4、2、1 种不同的分组方案.故不同的分配方法种数是 (7+5+4+2+1)A3 3=19×6=114.

2 .若从 1 、 2 、 3 、 ? 、 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的

数,其和为偶数,则不同的取法共有(
A.60种 C.65种 [答案] D B.63种 D.66种

)

[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识.取出的 4 个 数和为偶数,可分为三类.
4 2 2 四个奇数 C4 ,四个偶数 C ,二奇二偶, C 5 4 5C4. 4 2 2 共有 C4 + C + C 5 4 5C4=66 种不同取法.

[点评] 分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛.

2n 3.若二项式(x -x ) 的展开式中二项式系数的和是 64,则
2

展开式中的常数项为( A.-240 C.160

) B.-160 D.240

[答案] D

[解析] 由条件知 2n=64,∴n=6, 2r r 2 6-r ∴Tr+1=C6(x ) · (- ) x
12-3r =(-1)r· 2r· Cr x 6

令 12-3r=0 得 r=4, ∴常数项为 T5=24· C4 6=240.

4.(2015?衡水市枣强中学高二期中)将一个四棱锥的每个
顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有 4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有( A.48种 C.96种 [答案] B B.72种 D.108种 )

[解析] 设四棱锥为 P-ABCD. 下面分两种情况即 C 与 B 同色和 C 与 B 不同色来讨论,
1 P 的着色方法种数为 C1 4,A 的着色方法种数为 C3,B 的着

色方法种数为 C1 2, 当 C 与 B 同色时 C 的着色方法种数为 1,D 的着色方法种 数为 C1 2. 当 C 与 B 不同色时 C 的着色方法种数为 1,D 的着色方法 种数为 1.
1 1 综上两类共有 C1 C1 2· C1 C3· 2=48+24=72 种结果. 4· 3· 2+C4·

故选 B.

? 6 b? 5.(2015· 河北衡水中学三调)在?ax +x ?4 的二项展开式中, ? ?

如果 x3 的系数为 20,那么 ab3=( A.20 C.10 B.15 D.5

)

[答案] D
[解析]
4 r r 24 Tr+1=Cr bx 4a
- -7r

, 令 24-7r=3, 得 r=3, 则 4ab3

=20,∴ab3=5.

6.(2015· 河南六市联考)已知 a=
6

?π ? ? ?

0

? 1? (sint+cost)dt,则?x-ax? ? ?

的展开式中的常数项为________.

5 [答案] -2
π π [解析] a=? ? (sint+cost)dt=(-cost+sint)|0=2, ?
?0

? 1 ?6 ∴?x-2x? 的展开式的常数项为 ? ?

3 T4=C3 x 6 ?-

? ?

1 ?3 5 ? =- . 2x? 2

7.将4名大学生分配到 3个乡镇去当村官,每个乡镇至少
一名,则不同的分配方案有________种(用数字作答). [答案] 36
[解析] 考查排列组合知识. 必有 2 个大学生去同一个乡镇,故不同的分配方案共有
3 C2 · A 4 3=36 种.

8.某校开设了9门课程供学生选修,学校规定每位学生选

修4门,其中A、B、C 3门课程由于上课时间相同,所以每位
学生至多选修1门,则不同的选修方案共有________种. [答案] 75
[解析] 由题意知,满足题意的选修方案有两类:第一类 是所选的 4 门全来自于除 A,B,C 外的 6 门课程,相应的不同 选修方案有 C4 第二类是所选的 4 门中有且仅有 1 门来 6=15 种; 自于 A,B,C,另 3 门从除 A,B,C 外的 6 门课程中选择,相
1 应的不同选修方案有 C3 C 由分类加法计数原理可得满 6 3=60 种.

足题意的选修方案总数是 15+60=75.

典例探究学案

分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于:前 者 ?? 分类加法计数原理每次得到的是最后结果;后者 ?? 分步

乘法计数原理每次得到的是中间结果.

现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝 色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同 一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( A.232 C.472 [答案] C B.252 D.484 )

[分析] “所取 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片 至多 1 张”,则解题的突破口应是 3 张卡片中含红色卡片的张 数,故按红色卡片的张数分类:当含 1 张红色卡片时,需从其 余的 12 张卡片中取 2 张;当不含红色卡片时,需从其余的 12 张卡片中取 3 张,这时有可能 3 张卡片同色,故可用间接法求 解,3 张同色时,可以同为黄色,也可以同为蓝色或绿色.

[解析]

C C

0 4

3 12

- 3C + C C

3 4

1 4

2 12

12×11×10 = - 12 + 6

12×11 4× 2 =220+264-12=472.

[ 点评]

解题时要注意直接求解与间接求解相结合,做到

不漏不重

将3种作物种植在如图所示的 5块实验田里,每

块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的
种植方法共有________种(以数字作答). [答案] 42 [解析] 解法1:第一块田有3种种法,对于它的每一种种 法,第二块田都有2种种法,用a、b、c表示三种作物,若第一

块田种植a作物,第二块田种植b作物,则种植情况如下表:

第一块田

第二块田

第三块田 第四块田 第五块田
a b c

a

b c

c a b

a或b b或c a或b

由表可知,所有不同的种值方法共有3×2×7=42种.

解法2:三种作物种植在5块实验田里,按每种作物种植实
验田的块数分类,可分为两类:

第一类,其中一种作物种植 3 块实验田,另两种作物各种 植 1 块实验田,有不同种法 2C1 3=6 种; 第二类,有两种作物各种植 2 块实验田,另一种作物种植 1 块实验田,先从三种作物中选出 1 种,种植在其中的 1 块实 验田里,不妨设 3 种作物分别为 a、b、c,选出的作物为 c,则 将 c 种植在第 1 块和第 5 块的方法数相同,将 c 种植在第 2 块 与第 4 块的方法数相同. 将 c 种植在第 1 块时,如图, c a b a b c b a b a 只有 2 种情形.

将 c 种植在第 2 块时,如图 a c b a b b c a b a 也只有 2 种情形. 将 c 种植在第 3 块时如图 b a 有 4 种情形. ∴所有可能的不同种植方法有 6+C1 3×(2×2+2×2+4)= 42 种. a c b a b a b b a b a

排列、组合应用题 排列与组合的主要区别就是有序和无序,元素顺序不同结 果不同的为排列;元素顺序不同,结果相同的为组合.

3名医生和6名护士被分配到 3所学校为学生体
验,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有( A.90种 C.270种 [答案] D B.180种 D.540种 )

[解析] 解法 1:设计让 3 所学校依次挑选,先由学校甲挑
2 1 2 选,有 C1 3C6,再由学校乙挑选,有 C2C4种,余下的到学校丙只 2 1 2 有一种,于是不同的方法数共有 C1 C 3 6C2C4=540(种).

解法 2:第一步,将 3 名医生分配到 3 所学校,每校 1 名, 有 A3 第二步, 将 6 名护士分配到 3 所学校, 每校 2 名, 3种分法; 有 C2 C2 C2 6· 4· 2种分法.
2 2 2 由分步乘法计数原理知,不同分配方法共有 A3 · C 3 6 C4 C2 =

540 种.

几何问题 排列组合与几何问题结合命题,解答时要特别注意对相邻 的点、线、平面区域的限制条件如何化归为排列、组合的有关

模型,实现实际问题向数学问题的转化,注意避免重复计数和
遗漏的错误.

如图,用四种不同颜色给图中
的A、B、C、D、E、F六个点涂色,要求每个 点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂 不同颜色,则不同的涂色方法共有( A.288种 C.240种 [答案] B ) B.264种 D.168种

[解析] 当涂四色时,先涂 A、E、D 为 A3 4,再从 B、F、C 三点选一个涂第四种颜色,如 B,再 F,若 F 与 D 同色,则涂
1 C 有 2 种方法,若 F 与 D 异色则只有一种方法,故 A3 A 4 3(2+1)

=216 种.
3 当涂三色时,先排 A、E、D 为 C3 A 4 3,再排 B 有 2 种,F、 3 C 各为一种,故 C3 4A3×2=48,

故共有 216+48=264 种,故选 B.

二项式定理及其应用 与二项式定理有关的题目,重点抓好通项公式,二项式系

数的性质和赋值法的应用.

设 (3x - 1)6 = a6x6 + a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x +a0,求 a6+a4+a2+a0 的值.
[解析] 令 x=1,得 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26=64; 令 x=-1,得 a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)6=4 096. 两式相加,得 2(a6+a4+a2+a0)=4 160, ∴a6+a4+a2+a0=2 080.
[点评] 二项式定理是一个恒等式,对一切 x 的允许值都 能成立.当求展开式的系数或者证明有关组合数的恒等式时, 常常用此方法.



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