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高考数学一轮复习必备:第35课时:第四章 三角函数-三角函数的最值


第 35 课时:第四章

三角函数——三角函数的最值

一.课题:三角函数的最值 二.教学目标:掌握三角函数最值的常见求法,能运用三角函数最值解决一些实 际问题. 三.教学重点:求三角函数的最值. 四.教学过程: (一)主要知识:求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通 过三角变换化为下列基本类型处理: ① y ? a sin x ? b ,设 t ? sin x 化为一次函数 y ? at ? b 在闭区间 t ? [?1,1] 上的最值求 之; ② y ? a sin x ? b cos x ? c ,引入辅助角 ? (cos ? ?
a a ?b
2 2

,sin ? ?

b a ? b2
2

) ,化为

y ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ? c 求解方法同类型①;
i ③ y ? a sin 2 x ? b sin x ? c , t ? sn x , 设 化为二次函数 y ? at 2 ? bt ? c 在 t ? [?1,1] 上的

最值求之;
x ? ④ y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c , 设 t ? s i n c x s为 二 次 函 数 o 化

y?

a(t 2 ? 1 ) ? bt ? c 在闭区间 t ?[? 2, 2] 上的最值求之; ?2

⑤ y ? a tan x ? b cot x ,设 t ? tan x 化为 y ?

at 2 ? b 用 ? 法求值;当 ab ? 0 时,还可用 t

平均值定理求最值; a sin x ? b ⑥y? 根据正弦函数的有界性,即可分析法求最值,还可“不等式”法或 c sin x ? d “数形结合” . (二)主要方法:①配方法;②化为一个角的三角函数;③数形结合法;④换元 法;⑤基本不等式法. (三)例题分析:

? 例 1.求函数 y ? sin x ? cos( x ? ) 的最大值和最小值. 6
解: y ? sin x ? cos x cos

?
6

? sin x sin

?

3 3 ? ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) . 6 2 2 6

当 x ? 2 k? ?

?
3

, ymax ? 3 ,当 x ? 2k? ?

2? , ymin ? ? 3 (k ? Z ) . 3

例 2.求函数 y ? (sin x ? 2)(cos x ? 2) 的最大、最小值. 解:原函数可化为: y ? sin x cos x ? 2(sin x ? cos x) ? 4 , 令 sin x ? cos x ? t (| t |? 2) ,
t 2 ?1 t 2 ?1 1 3 ? 2t ? 4 ? (t ? 2)2 ? . 则 sin x cos x ? ,∴ y ? 2 2 2 2

∵ t ? 2 ?[? 2, 2] , 且 函 数 在 [? 2, 2] 上 为 减 函 数 , ∴ 当 t ? 2 时 , 即
x ? 2 k? ? ymax ?

?
4

(k ? Z ) 时, ymin ?

9 3? ? 2 2 ;当 t ? ? 2 时,即 x ? 2k? ? ( k ? Z ) 时, 2 4

9 ?2 2 . 2

例 3.求下列各式的最值: (1)已知 x ? (0, ? ) ,求函数 y ?
3 sin ? 的最大值; 1 ? 3sin 2 ?
2 的最小值. sin x

(2)已知 x ? (0, ? ) ,求函数 y ? sin x ? 解: (1) y ?
3 1 ? 3sin ? sin ? ?

3 1 3 ? ,当且仅当 sin ? ? 时等号成立. 3 2 3 2

故 ymax ?

1 . 2

i ( 0 (2) s x ?t 设n

?t 1 ) ?

2 , , 则原函数可化为 y ? t ? , (1 在 0) t

上为减函数, ∴当 t ? 1

时, ymin ? 3 .
a 型三角函数求最值,当 sin x ? 0 , a ? 1 时,不能用均值不等 sin x 式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解.

说明: y ? sin x ?

例 4.求函数 y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 的最小值. sin x

解:原式可化为 y sin x ? cos x ? 2 (0 ? x ? ? ) ,引入辅助角 ? , tan ? ?

1 ,得 y

1 ? y 2 sin( x ? ? ) ? 2 ,∴ sin( x ? ? ) ?

2 1? y
2

,由 |

2 1? y
2

|? 1 ,

得 y ? 3或 y ?? 3.
0 又∵ ?1 ? cos x ? 1 ,∴ 2 ? cos x ? 0 ,且 sin x ? ,故 y ? 0 .∴ y ? 3 ,故 ymx ? 3 . a

例 5 . 高 考 A 计 划 》 考 点 32 , 智 能 训 练 10 : 已 知 s i n? ? s i ? ? 《 n
y ? c o s ? c o? 的最大值是 ? s

3 ,则 2


3 ? y2 , 4

解:∵ (sin ? ? sin ? ) 2 ? (cos ? ? cos ? ) 2 ? 2 ? cos(? ? ? ) ? ∴ y2 ?

5 13 ? 2 cos(? ? ? ) ,故当 cos(? ? ? ) ? 1 时, ymax ? . 4 2

(四)巩固练习: 1. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 在同一周期内, x ? 当
1 时,取得最小值 ? ,则该函数的解析式是 2 1 ? 1 ? ( A) y ? 2sin( x ? ) ( B ) y ? sin(3 x ? ) 3 6 2 6 1 ? 1 ? (C ) y ? sin(3 x ? ) ( D) y ? sin(?3 x ? ) 2 6 2 6

?
9

时, 取得最大值 (
B

1 4? , x? 当 2 9



2.若方程 cos 2x ? 2 3 sin x cos x ? k ? 1 有解,则 k ? [?3,1] . 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 32,智能训练 6,8,9,12,13,14

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