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2020版高中数学第二章数列2.5.2数列求和习题课课件新人教A版必修5


课标要求 掌握常用的数列求和方法:公式法、分组法、裂项相消法、倒 序相加法、错位相减法. 知识导图 学法指导 1.把握准各种求和方法适用的数列类型,准确选择适合的方法. 2.裂项法应注意消项后剩余哪些项. 3.错位相减后要注意等比数列的项数. 知识点 数列求和的常用方法 1.公式求和法 (1)如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等 差、等比数列的前 n 项和公式,注意等比数列公比 q 的取值情况要 分 q=1 和 q≠1. (2)正整数和及正整数平方和公式有: n?n+1? ①1+2+…+n=____2____. ②12+22+…+n2=n?n+1?6?2n+1?. ③1+3+5+…+(2n-1)=n2. 2.分组转化求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数 列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列.即先分别求和, 然后再合并,形如: (1){an+bn},其中{an}是等差数列,{bn}是等比数列; (2)an=?????fg??nn??,,nn==22kk-1, (k∈N*). 3.裂项相消求和法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互 抵消,从而求得其和. 常见的裂项公式: (1)n?n1+1?=_1n_-__n_+_1_1_; (2)?2n-1?1?2n+1?=12????2n1-1-2n1+1????; (3)n?n+11??n+2?=12????n?n1+1?-?n+1?1?n+2?????; (4) 1 a+ b=a-1 b(__a_-___b__). 4.倒序相加求和法 如果在一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相 等,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等__差__数列的 前 n 项和即是用此法推导的. 5.错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等__比__ 数列的前 n 项和就是用此法推导的. 状元随笔 在运用错位相减法求数列前 n 项和时要注意四点:①乘数(式) 的选择;②对 q 的讨论;③两式相减后(1-q)Sn 的构成;④两式相 减后成等比数列的项数. [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sn=a11--aqn+1.( √ ) (2)当 n≥2 时,n2-1 1=12????n-1 1-n+1 1????.( √ ) (3)求 Sn=a+2a2+3a3+…+nan 时只要把上式等号两边同时乘 以 a 即可根据错位相减法求得.( × ) (4)若数列 a1,a2-a1,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 3 的等 比数列,则数列{an}的通项公式是 an=3n-2 1.( √ ) 2.1+1×1 2+2×1 3+…+99×1100等于( ) 99 199 98 A.100 B.100 C.99 197 D. 99 解析:因为n?n1+1?=1n-n+1 1, 所以所求和= 1+??????1-12???+???12-31???+…+???919-1100 ?????? =1+???1-1010???=110909. 答案:B 3.已知数列{an}的通项公式 an=2n2-n 1,其前 n 项和 Sn=36241, 则项数 n 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:an=2n2-n 1=1-21n, ∴Sn=n-12???11--1221n???=n-1+21n=36241=5+614, ∴n=6. 答案:C 4.数列{n·2n}的前 n 项和等于( ) A.n·2n-2n+2 B.n·2n+1-2n+1+2 C.n·2n+1-2n D.n·2n+1-2n+1 解析:设{n·2n}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,① 所以 2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,② ①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1 =2?11--22n?-n·2n+1, 所以 Sn=n·2n+1-2n+1+2, 故选 B. 答案:B 类型一 分组转化法求和 例 1 [北京卷]已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2 =3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和. 【解析】 (1)设等比数列{bn}的公比为 q,则 q=bb32=93=3, 所以 b1=bq2=1,b4=b3q=27,所以 bn=3n-1(n=1,2,3,…). 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27,所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知 an=2n-1,bn=3n-1, 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =n?1+22n-1?+11--33n=n2+3n-2 1. 求{cn}的前 n 项和,只要先分别用公式求出{an}和{bn}的前 n 项和 再相加. 方法归纳 数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对 通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数 列求和. 跟踪训练 1 求数列 214,418,6116,…,2n+2n1+1,…的前 n 项 和 Sn. 解析:Sn=214+418+6116+…+????2n+2n1+1???? =(2+4+6+…+2n)+????14+18+…+2n1+1 ???? =n?2n2+2?+14???11--???1212??


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