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北师大版八年级下数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》PPT课件_图文


第一章

八年级数学下(BS) 教学课件
三角形的证明

1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定

导入新课

讲授新课

当堂练习

课堂小结

学习目标
1.复习直角三角形的相关知识,归纳并掌握直角三 角形的性质和判定.
2.学习并掌握勾股定理及其逆定理,能够运用其解 决问题.(重点、难点)

导入新课
复习引入 问题1 直角三角形的定义是什么?
有一个是直角的三角形叫直角三角形. 问题2 三角形内角和的性质是什么?
三角形内角和等于180°. 问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质?
直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的 一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.

讲授新课
一 直角三角形的性质与判定
问题引入 问题:直角三角形的两锐角互余,为什么?

根据三角形的 内角和定理, 即可得到“直 角三角形的两 锐角互余”.

如果一个三角形中 有两个锐角互余, 那么这个三角形是 直角三角形吗?

如图,在△ABC中, ∠A +∠B=90°,那么△ABC是直 角三角形吗?
在△ABC中,因为 ∠A +∠B +∠C=180°, 又∠A +∠B=90°,所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.

二 勾股定理与逆定理
知识回顾
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕 达哥拉斯定理.

c a
b

弦 勾


证明欣赏

1.美国第二十任总统的证法:

c
b a

s1

?

1 2

(a

?

b)(a

?

b)

?

1 2

(a2

?

2ab

?

b2

)

a

?

1 2

a2

?

1 2

b2

?

ab,

s2

?

1 2

ab

?

1 2

ab

?

1 2

c2

?

ab

?

1 2

c2

b s1 ? s2,

1 2

a2

?

1 2

b2

?

ab

?

ab

?

1 2

c2,

a2 ? b2 ? c2.

2.利用正方形面积拼图证明:

a
c
c a
b

大正方形的面积可以表示

b

为 (a+b)2 ;

c

也可以表示为

c2+

4

?

1 2

ab





(a+b)2

=

c2+4 ?

1 ab 2



c

b a2+2ab+b2 = c2+2ab,

a

∴a2+b2=c2.

3.赵爽弦图

大正方形的面积可以表示为 c2 ;

也可以表示为

4

?

1 2

ab

+(b-a)2.

c a
b

b

b

b

c

c

∵ c2= 4? 1 ab +(b-a)2,
2
c2 =2ab+b2-2ab+a2, c2 =a2+b2, ∴ a2+b2=c2.

勾股定理反过来,怎么叙述呢?
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这个命题是真命 题吗?为什么?

例1 证明此命题: A

C

B

已知:如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形. 分析:构造一个直角三角形与△ABC全等,你能自 己写出证明过程吗?

A

证明:作Rt△DEF,使∠E=90°,

DE=AC,FE=BC,

C

B

则DE2+EF2=DF2(勾股定理).

∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),

∴AB2=DF2,

∴AB=DF,

D

∴△ABC≌△DFE.



∴∠C=∠E=90°,

∴△ABC是直角三角形.

E

F

归纳总结
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方.

三 互逆命题与互逆定理
议一议
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系?
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方.
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形.
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件.

说出下列命题的条件和结论: 1.两直线平行,内错角相等; 2.内错角相等,两直线平行; 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧; 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 5.一个三角形中相等的边所对的角相等; 6.一个三角形中相等的角说对的边相等;
观察上面三组命题,你发现了什么?

归纳总结
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置. 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个 命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条 件,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个 命题就叫做它的逆命题.
命题“两直线平行,内错角相等”的条件和 结论为: 条件为两直线平行; 结论为内错角相等. 因此它的逆命题为 内错角相等,两直线平行.

典例精析
例2 指出下列命题的条件和结论,并说出它们 的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个 锐角互余.
条件:一个三角形是直角三角形. 结论:它的两个锐角互余.
逆命题:如果一个三角形的两个锐角互余,那
么这个三角形是直角三角形.

(2)等边三角形的每个角都等于60°.
条件:一个三角形是等边三角形; 结论:它的每个角都等于60°. 逆命题:如果一个三角形的每个角都等于60°,
那么这个三角形是等边三角形. (3)全等三角形的对应角相等.
条件:两个三角形是全等三角形. 结论:它们的对应角相等. 逆命题:如果两个三角形的对应角相等,那
么这两个三角形全等.

知识归纳 每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改
成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命 题.但是原命题正确,它的逆命题未必正确.
例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角 是对顶角”,此命题就是假命题.

例3 举例说明下列命题的逆命题是假命题. (1)如果一个整数的个位数字是5 ,那么这个整数
能被5整除. 逆命题:如果一个整数能被5整除,那么这个整数 的个位数字是5. 例如10能被5整除,但它的个位数是0. (2)如果两个角都是直角,那么这两个角相等. 逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是直角. 例如60°= 60°,但这两个角不是直角.

知识归纳
如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两 个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一 个定理的逆定理.
注意1:逆命题、互逆命题不一定是真命题, 但逆定理、互逆定理,一定是真命题.
注意2:不是所有的定理都有逆定理.

当堂练习
1.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6 cm, BC=8 cm,现将△ABC折叠,使点B与点A 重合,折痕为DE,则BE的长为( B )

A.4 cm C.6 cm

B.5 cm D.10 cm

【解析】Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=100,

∴AB=10cm.BE=

1
2AB=5cm.

2.在你学过的定理中,有哪些定理的逆命题是 真命题?试举出几个例子说明.

(1)同旁内角互补,两直线平行.

逆命题:两直线平行,同旁内角



互补.

(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.

逆命题:如果一个三角形是等腰三角形,那

么它有两个角相等.



课堂小结
角的性质 直角三角形
边的性质

定理1:直角三角形的两个锐 角互余; 定理2:有两个角互余的三角 形是直角三角形.
勾股定理:直角三角形两条直 角边的平方和等于斜边的平方; 逆定理:如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方,那么 这个三角形是直角三角形

互逆命题与 互逆定理

互逆命题

概念

第一个命题的条件是第二个命 题的结论;

第一个命题的结论是第二个命

题的条件.

互逆定理

概念 一个定理的逆命题也是定理, 这两个定理叫做互逆定理



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