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东南大学电子信息工程之信号与系统第18讲_图文


八、初值、终值定理: 初值定理: 已知F(s),求f(0+)

f (0 ) ? lim sF ( s)
s ??

?

条件:
1)如果f(t)和 f(t) 的导数也存在,并有拉普拉斯变换, 2)F(s)是真分式,否则去掉多余的项

1 s2 F ( s) ? 2 ? 1? 2 s ?1 s ?1
得到:f (0?) ? 0

s lim sF ( s) ? lim 2 ?0 s ?? s ?? s ? 1

s2 F ( s) ? 2 ? ? ?t ? ? sin t? (t ) s ?1

终值定理:

已知F ( s),求f (?)

f (? ) ? lim sF ( s )
s ?0

条件:F(s)的极点在坐标轴左边或原点的单阶极点。

例:f (t ) ? eat ? (t ) ?
a?0 ?0 1 s ? F ( s) ? ? f (? ) ? li m ? ?1 a?0 s ? 0 s?a s?a ? ?不满足条件 a ? 0

a?0 ?0 ? at f ( t ) ? e ? ( t ) ? f (? ) ? ?1 a?0 ?不存在a ? 0 ?

九、对偶特性:

f (t ) ? F ( s) L( F (t )) ? 2?jf (?s)
十、尺度特性

f (t ) ? F ( s)

1 s f (at ) ? F ( ), a ? 0 a a

f (t ) ? F ( s) f (t ? t0 ) ? e ? s0t F ( s)

单边

f ( t ) ? F ( j? )

f ( t ? t 0 ) ? F ( j? )e ? j?t
f (t )e j?0t ? F ( j? ? j?0 )
f (at) ? 1 j? F( ) a a
F ( j? ) ? ?F (0)? (? ) j?

0

e f (t ) ? F ( s ? s0 )
s0t

1 s f (at ) ? F ( ), a ? 0 a a

?

t

??

f (? )d? ?

1 G (0 ? ) F(S) ? S s

???

t

f (? )d? ?

f ' (t ) ? sF ( s) ? f (0? )
d ? tf ( t ) ? F ( s ) ds

df ( t ) ? j? F ( j ? ) dt
d ? jtf ( t ) ? F ( j? ) d?

f1 (t ) * f 2 (t ) ? F1 ( s)F1 ( s)
1 f1 ( t ). f 2 ( t ) ? F1 ( s ) ? F1 ( s ) 2?j

f1 (t ) * f 2 (t ) ? F1 ( j? ).F2 ( j? )
f 1 ( t ). f 2 ( t ) ?

1 F1 ( j? ) ? F2 ( j? ) 2?

例:求下图所示有始信号f(t)的单边拉氏变换。

分析:

2(1 ? e ? s ? e ?2 s ? e ?3 s )
G(0? ) ? ? f ' ' (? )d? ? 0
?? 0?

2(1 ? e ? s ? e ?2 s ? e ?3 s ) F ( s) ? s2

例1 :已知一线性系统 d2 d d r ( t ) ? 3 r ( t ) ? 2 r ( t ) ? e( t ) ? 2e( t ) 2 dt dt dt 若r (0 ? ) ? 1; r ' (0 ? ) ? 2; e( t ) ? 2e ?3t ? ( t ), 求 系 统 函 数 、 冲 激 响及 应全 响 应 r (t )
分析: 解:(一)冲激响应

1 s?2 ? H ( s) ? 2 s?1 s ? 3s ? 2

h(t ) ? e ? (t )
?t

d2 d d 例1 : 已 知 一 线 性 系 统 2 r ( t ) ? 3 r ( t ) ? 2r ( t ) ? e( t ) ? 2e( t ) dt dt dt 若r (0? ) ? 1; r ' (0? ) ? 2; e( t ) ? 2e ?3t ? ( t ), 求r ( t )

(1)求零输入 第一步:设零输入拉氏变换 Rzi ( s ) 对微分方程做拉氏变换

L( rzi ( t )) ? Rzi ( s ) d rzi ( t )

dt d2 rzi ( t ) dt 2

sR zi ( s ) ? r (0 ? )
Rzi ( s)

s 2 Rzi ( s ) ? sr (0? ) ? r ' (0? )

( s 2 ? 3s ? 2)Rzi ( s) ? s ? 5

s?5 Rzi ( s ) ? 2 ( s ? 3 s ? 2)

4 ?3 ? ? s?1 s? 2

rzi ( t ) ? (4e ? t ? 3e ?2 t )? ( t )

d2 d d 例1 : 已 知 一 线 性 系 统 2 r ( t ) ? 3 r ( t ) ? 2r ( t ) ? e( t ) ? 2e( t ) dt dt dt 若r (0? ) ? 1; r ' (0? ) ? 2; e( t ) ? 2e ?3t ? ( t ), 求r ( t )

一、求零输入响应

rzi ( t ) ? (4e ? t ? 3e ?2 t )? ( t )

零输入响应,由初始储能引起,变化规律由系统微分 方程的特征根。这样的分量叫自然分量

二、求零状态响应
s ? 2 强迫分量:与激励变化规律一致 H ( s) ? 2 s ? 3s ? 2 2 1 1 ? ? ? Rzs ( s) ? E( s) H ( s) ( s ? 1)(s+3) s ? 1 s+3

rzs (t ) ? (e ? e

?t

?3t

)? (t )
强迫分量:与激励变化规律一致

零输入响应:
零状态响应: 全响应:

rzi ( t ) ? (4e ? t ? 3e ?2 t )? ( t )

rzs (t ) ? (e ?t ? e ?3t )? (t )
r (t ) ? (5e ?t ? 3e ?2t ? e ?3t )? (t )

自然分量:变化规律由系统微分方程的特征根 强迫分量:与激励变化规律一致

暂态分量:
稳态分量:

d2 d d 例1 : 已 知 一 线 性 系 统 2 r ( t ) ? 3 r ( t ) ? 2r ( t ) ? e( t ) ? 2e( t ) dt dt dt 若r (0? ) ? 1; r ' (0? ) ? 2; e( t ) ? 2e ?3t ? ( t ), 求r ( t )



直接求全响应,设 r ( t ) ? R( s )

d r (t ) dt
d2 r (t ) 2 dt
2

sR( s) ? r (0? )
s 2 R( s) ? sr (0? ) ? r ' (0? )

5 3 1 R( s ) ? ? ? s ?1 s ? 2 s ? 3

2( s ? 2) ( s ? 3s ? 2) R( s) ? ( s ? 5) ? s?3

r (t ) ? (5e ?t ? 3e ?2t ? e ?3t )? (t )

例2:LTI因果系统 H ( s) ? 若已知初始条件

s ( s ? 1)( s ? 2)

r (0) ? 0, r ' (0) ? 1 激励e(t)=?(t)

求零输入、零状态及全响应,并指出全响应中的自然与受迫响应。 解答: rzi(t)=C1e-t?(t)+C2e-2t?(t) =e-t?(t)-e-2t?(t)

1 s 1 1 Rzs (s) ? E (s) H (s) ? ? ? s (s ? 1)(s ? 2) s ? 1 s ? 2
rzs(t) =e-t?(t)-e-2t?(t) r (t) =2e-t?(t)-2e-2t?(t) 自由响应2e-t?(t)-2e-2t?(t) 没有受迫响应

连续LTI系统的分析: H(s) ,E(s) R(s)=E(s)H(s) r(t)

e(t)

r (t ) ? e(t ) ? h(t )

H(jw) ,E(jw)

R(jw)=E(jw)H(jw)

时域:优点:零输入;e(t)无表达式
缺点:卷积难求 频域:优点:物理概念强

缺点:H(jw),E(jw)存在
复频域:优点:直接全响应;稳定和不稳定系统 缺点:E(s)存在

作业: 5.3 (1)(2)(3);

5.4,5.5(2)



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