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湖北省宜昌市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)含答案


宜昌市第一中学 2017 年秋季学期高二年级期末考试

理科数学试题

考试时间:120 分钟 考试满分:150 分

命题人:李海峰 审题人:孙红波

★祝考试顺利★

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.

1.若 (x ? 2i)i ? y ? 1 (x, y ? R) ,则 x ? y ? i

A. ?1

B.1

C. ?3

D. 3

2.执行如图所示的程序框图,若输入 m ? 1, n ? 3 ,输出的 x ?1.75 ,则空白判断框内应填

的 条 件 为

A. m ? n ?1

B. m ? n ? 0.5

C. m ? n ? 0.2

D. m ? n ? 0.1

3.某种商品的广告费支出 x(单位:万元)与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据:

x

2

4

5

6

8

y

30

40

50

m

70

根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y? ? 6.5x ?17.5 ,

则表中 m 的值为 A. 45

B. 50

C. 55

D. 60

4.已知? 、? 是两个平面,直线 l ? ?,l ? ?.若以① l ? ? ,② l // ? ,③? ? ? 中两个为条

件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确命题的个数是

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

5.“ m ? ? 1 ”是“ ?x ? R ,使得 x ? 1 ? 3 ? m 是真命题”的

2

2 2x 2

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

6.已知 P 为抛物线 y2 ? 4x 上一个动点, P 到其准线的距离为 d ,Q 为圆 x2 ? ( y ? 4)2 ? 1

上一个动点, d ? PQ 的最小值是

A. 2 5 ?1

B. 2 5 ? 2

C. 17 ?1

D. 17 ? 2

7.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所

示,则该截面的面积为

A. 9

B. 4

2

C. 3

D. 3 3

2

8.下面给出的命题中:

? (1)已知函数 f (a) ? a cos xdx ,则 f (? ) ? 1;

0

2

(2)“ m ? ?2 ”是“直线 (m ? 2)x ? my ?1 ? 0 与直线 (m ? 2)x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 互相

垂直”的必要不充分条件;

(3)已知随机变量? 服从正态分布 N (0,? 2 ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) ? 0.2 ;

(4)已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y2 ?1 ? 0 ,则这两个圆恰有两条公切线.

其中真命题的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

9. 已 知 命 题

p: 函数

f (x) ?

2018x 2018x

?1 ?1

是奇函数,命题 q:函数

g(x) ?

x3 ? x2 在区 间

(0, ??) 上单调递增,则下列命题中为真命题的是

A. p ? q

B. p ? q

C. ?p ? q

D. ?p ? q

10.已知双曲线 x2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与 a2 b2

双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是

A. ?1,2?

B. ??1, 2?

C. ?2, ???

D.?2, ???

11.已知函数 f (x) ? x3 ? 2ax ? 3bx ? c 的两个极值点分别在 ??1, 0? 与 ?0, ?1? 内,则 2a ? b

的取值范围是
A. (? 3 , 3) 22

B. (? 3 ,1) 2

C. (? 1 , 3) 22

D. (1, 3) 2

12. 已 知 函 数 f (x) 在 R 上 可 导 , 其 导 函 数 为 f ' (x) , 若 f (x) 满 足 :

(x ?1) ?? f ' (x) ? f (x)?? ? 0 , f (2 ? x) ? f (x)e2?2x ,则下列判断一定正确的是

A.f (1) ? f (0)

B.f (2) ? ef (0)

C.f (3) ? e3 f (0) D.f (4) ? e4 f (0)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答.题.卡.对.应.题.号.的 位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。

13.

? ??

x

?

1 9

?9 ??

的二项展开式中的常数项的值为______.

14.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7,且射击结果 相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ .

15.关于曲线 C: x4 ? y2 ? 1,给出下列说法:

①关于坐标轴对称;

②关于点 ?0, 0? 对称;

③关于直线 y ? x 对称;

④是封闭图形,面积大于? .

则其中正确说法的序号是______ 注:把你认为正确的序号都填上

16. 已 知

1? m

2 n

? 1(m ? 0, n ? 0)



mn

取得最小值时,直线

y

??

2x ? 2 与 曲 线

x x ? y y ? 1 的交点个数为______. mn

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 10 分)已知 p :不等式 m ?1 ? a2 ? 4 对于 a ? ???2, 5?? 恒成立, q : 关于 x 的不等式 x2 ? mx ? m ? 0 有解,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随 机 抽 取 50 个 作 为 样 本 , 称 出 它 们 的 重 量 单 位 : 克 , 重 量 分 组 区 间 为
?5,15? , ?15, 25? , ?25,35? , ?35, 45? ,由此得到样本的重量频率分布直方图 如图 .
(1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
? ? (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量 5,15 内的小球个数为 X ,求 X 的分布列
和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 将 两 块 三 角 板 按 图 甲 方 式 拼 好 , 其 中 ?B ? ?D ? 90? ,

?ACD ? 30? , ?ACB ? 45?,

AC ? 2 ,现将三角板 ACD 沿 AC 折起,使 D 在平面 ABC 上的射影 O 恰好在 AB 上,
如图乙.

(1)求证: BC ? AD ;

(2)求证: O 为线段 AB 中点;

D

D

(3)求二面角 D ? AC ? B 的大小的正弦值.

A

CA

C

B 图甲

O
B 图乙

20.(本小题满分 12 分)宜昌市拟在 2020 年点军奥体中心落成后申办 2022 年湖北省省运 会,据了解,目前武汉,襄阳,黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退 出,某机构为调查宜昌市市民对申办省运会的态度,选了某小区的 100 位居民调查结果 统计如下:

支持

不支持

合计

年龄不大于 50 岁 ______

______

80

年龄大于 50 岁

10

______

______

合计

______

70

100

(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;

(2)能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关?

(3)已知在被调查的年龄大于 50 岁的支持者中有 5 名女性,其中 2 位是女教师,现从这

5 名女性中随机抽取

3 人,求至多有 1 位教师的概率.

附: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,n?a?b?c?d .

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 x2 ? y2 ? 1的左焦点为 F ,左顶点为 A . 43 uuur uuur
(1) P 是椭圆上的任意一点,求 PF ? PA 的取值范围;

(2)已知直线 l : y ? kx ? m 与椭圆相交于不同的两点 M , N (均不是长轴的端点),

AH ? MN ,垂足为

H



uuur AH

2

?

uuuur MH

uuur ? HN

,求证:直线 l

恒过定点.

22.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? ln x ? x2 . (1)若函数 g(x) ? f (x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若 a ?1,h(x) ? e3x ? 3aex , x ??0,ln 2? ,求 h(x) 的极小值;
(3)设 F (x) ? 2 f (x) ? 3x2 ? kx ,k ? R .若函数 F(x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) , 且满足 2x0 ? m ? n ,问:函数 F(x) 在 (x0 , F (x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能,
求出该切线方程,若不能,请说明理由.

宜昌市第一中学 2017 年秋季学期高二年级期末考试
理科数学试题参考答案

一、ABDCB,CABAD,AC

二、

14.0.58

15.

16.2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 10 分)已知 p :不等式 m ?1 ? a2 ? 4 对于 a ? ???2, 5?? 恒成立, q : 关于 x 的不等式 x2 ? mx ? m ? 0 有解,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范围.

17 解:



对于

,不等式

恒成立,可得







又命题 q: 分
为真,且

有解, 为假,

与 q 必有一真一假当 p 真 q 假时,有

…………3 分

,解得



,…………6







当 p 假 q 真时,有

,即





综上,实数 m 的取值范围是

.…………10 分

18.(本小题满分 12 分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随 机 抽 取 50 个 作 为 样 本 , 称 出 它 们 的 重 量 单 位 : 克 , 重 量 分 组 区 间 为

?5,15? , ?15, 25? , ?25,35? , ?35, 45? ,由此得到样本的重量频率分布直方图 如图 .
(1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
? ? (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量 5,15 内的小球个数为 X ,求 X 的分布
列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)

18 由题意得,
又由最高矩形中点的横坐标为 20, 可估计盒子中小球重量的众数约为 20, 而 50 个样本小球重量的平均值为:

,解得





故估计盒子中小球重量的平均值约为 克……………………………….4 分

利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在

内的 ;



,………………………………………6 分

; ;







的分布列为:

X

0

1

P



2

3

.………………………12 分

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 将 两 块 三 角 板 按 图 甲 方 式 拼 好 , 其 中 ?B ? ?D ? 90? ,

?ACD ? 30? , ?ACB ? 45?,

AC ? 2 ,现将三角板 ACD 沿 AC 折起,使 D 在平面 ABC 上的射影 O 恰好在 AB 上,

如图乙.

(1)求证: BC ? AD ;

(2)求证: O 为线段 AB 中点;

(3)求二面角 D ? AC ? B 的大小的正弦值.

D

D

A

CA

C

19 解:(I)证明:由已知 D 在平面 ABC 上的射影 O 恰好在 AB 上, ∴DO⊥平面 ABC,

B 图甲

O
B 图乙

∴AO 是 AD 在平面 ABC 上的射影. 又∵BC⊥AB,∴BC⊥AD. (II)解:由(1)得 AD⊥BC,又 AD⊥DC 又 BC∩DC=C,∴AD⊥平面 BDC 又∵BD 平面 ADB,∴AD⊥BD,

………………4 分

在 RT⊿ABD 中,由已知 AC = 2,得 AB ? 2 ,AD = 1,∴BD = 1, ∴BD = AD,

∴O 是 AB 的中点.

………………8 分

(III)解:过 D 作 DE⊥AC 于 E,连结 OE,

∵DO⊥平面 ABC,∴OE 是 DE 在平面 ABC 上的射影.∴OE⊥AC ∴∠DEO 是二面角 D-AC-B 的平面角,

DO ? 2 且 DE ? ADgDC ? 3 ,?sin ?DEO ? DO ? 6

2

AC 2

DE 3

即二面角 D-AC-B 的正弦值为 6 . 3

………………12 分

20.(本小题满分 12 分)宜昌市拟在 2020 年点军奥体中心落成后申办 2022 年湖北省省运 会,据了解,目前武汉,襄阳,黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退 出,某机构为调查宜昌市市民对申办省运会的态度,选了某小区的 100 位居民调查结果 统计如下:

支持

不支持

合计

年龄不大于 50 岁 ______

______

80

年龄大于 50 岁

10

______

______

合计

______

70

100

(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;

(2)能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关?

(3)已知在被调查的年龄大于 50 岁的支持者中有 5 名女性,其中 2 位是女教师,现从这

5 名女性中随机抽取

3 人,求至多有 1 位教师的概率.

附: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,n?a?b?c?d .

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k)

k
20 解:

年龄不大于 50 岁 年龄大于 50 岁 合计

支持 20 10 30

0.100 2.706

……3 分

0.050 3.841
不支持 60 10 70

0.025 5.024

0.010 6.635

合计 80 20 100


……

所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无
关;…………7 分 记 5 人为 abcde,其中 ab 表示教师,从 5 人任意抽 3 人的所有等可能事件是:

共 10 个,其中至多 1 位教师有 7

个基本事件:

,所以所求概率是 .…………12 分

21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 x2 ? y2 ? 1的左焦点为 F ,左顶点为 A . 4uuur 3uuur
(1) P 是椭圆上的任意一点,求 PF ? PA 的取值范围; (2)已知直线 l : y ? kx ? m 与椭圆相交于不同的两点 M , N (均不是长轴的端点),

AH ? MN ,垂足为

H



uuur AH

2

?

uuuur MH

uuur ? HN

,求证:直线 l

恒过定点.

21 解: 设

,又

所以



因为 P 点在椭圆

上,

所以

,即

,且

,所以



函数



单调递增,



时, 取最小值为 0;



时, 取最大值为 12.

所以

的取值范围是

.……………………….5 分

由题意:

联立

得,

由 设
所以 即

得 ,则

分 , ,……10 分

所以



均适合





时,直线 l 过点 A,舍去,



时,直线

过定点

.………………………12

22.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? ln x ? x2 . (1)若函数 g(x) ? f (x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,若 a ?1,h(x) ? e3x ? 3aex , x ??0,ln 2? ,求 h(x) 的极小值;

(3)设 F (x) ? 2 f (x) ? 3x2 ? kx ,k ? R .若函数 F(x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) ,

且满足 2x0 ? m ? n ,问:函数 F(x) 在 (x0 , F (x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能,
求出该切线方程,若不能,请说明理由.

22.解:(Ⅰ) g(x) ? f (x) ? ax ? ln x ? x2 ? ax, g?(x) ? 1 ? 2x ? a. x

由题意,知

g

?(

x)

?

0,

x

?

(0,

??)

恒成立,即

a

?

(2x

?

1 x

)min

……

2分

又 x ? 0, 2x ? 1 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 时等号成立.

x

2

故 (2x

?

1 x )min

?

2

2 ,所以 a ? 2

2 . ……3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1 ? a ? 2 2. 令 ex ? t ,则 t ?[1, 2] ,则 h(x) ? H (t) ? t3 ? 3at.

H ?(t) ? 3t2 ? 3a ? 3(t ? a )(t ? a ). ……5 分

3
由 H ?(t) ? 0 ,得 t ? a 或 t ? ? a (舍去),Q a ? (1, 2 2],? a ?[1, 24 ] ,

①若1 ? t ? a ,则 H?(t) ? 0, H (t) 单调递减; h(x) 在 (0, ln a ] 也单调递减;

②若 a ? t ? 2 ,则 H?(t) ? 0, H (t) 单调递增. h(x) 在[ln a, ln 2] 也单调递增;

故 h(x) 的极小值为 h(ln a ) ? ?2a a ……7 分

(Ⅲ)设 F(x) 在 (x0 , F (x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F (x) ? 2 ln x ? x2 ? kx.

?2 ln m ? m2 ? km ? 0,

结合题意,有

? ??2 ln ?m ?

n n

? n2 ? kn ? 2x0 ,

?

0,

? ? ??

2 x0

?

2 x0

?

k

?

0,


② ……9 分 ③


① —②得

2 ln

m n

?

(m

?

n)(m

?

n)

?

k(m

?

n).

,所以

k

?

2 ln m n
m?n

?

2 x0 . 由④得

k

?

2 x0

? 2x0.

所以 ln

m

?

2(m ? n)

?

2( m ?1) n .⑤

……10 分

n m?n

m ?1

n

设 u ? m ?(0,1) ,⑤式变为 ln u ? 2(u ?1) ? 0(u ? (0,1)).

n

u ?1

设 y ? ln u ? 2(u ?1) (u ? (0,1)), u ?1

y? ?

1 u

?

2(u ?1) ? 2(u ?1) (u ?1)2

?

(u ?1)2 ? 4u u(u ?1)2

?

(u ?1)2 u(u ?1)2

?

0,

所以函数

y ? ln u ? 2(u ?1) u ?1



(0,1)

上单调递增,因此,

y?

y |u?1 ? 0

,即

ln u ? 2(u ?1) ? 0. u ?1

也就是, ln

m n

?

2(m ?1) n m ?1

,此式与⑤矛盾.

n

所以 F(x) 在 (x0 , F (x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴. …………12 分



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