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7-3三重积分及其计算1共25页PPT资料_图文


微积分

7.3 三重积分的计算

第三节 三重积分的计算方法

n

? ????

f (x,

y, z)dv ?

lim
??0 i?1

f (?i ,?i ,? i )?vi.

三 重 积 分 也 记 为

n
??? ? ? f(x,y,z)dxd?yl?? id0m i? z1f(?i,?i,?i)?vi.

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7.3 三重积分的计算

三重积分的计算:

直角坐标、柱面坐标、球面坐标

思路:化三重积分为三次积分 先一后二 先二后一
关键:三个变量的范围如何确定

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7.3 三重积分的计算

一、直角坐标下三重积分的计算

1、xy型、yz型、xz型区域

部 的 x直 y型线 区与 闭 域区 :域 平 行 ? 于 的 边 z轴 界 且 曲 穿 面 过 S 闭 相 区 交 域 不 ? 多 内 于
两 点 情 形 .

z z?z2(x,y)

S2
?
S1
z?z1(x,y)

类似可得yz型、 xz型区域定义

o y
D
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7.3 三重积分的计算

2、三重积分的计算

(1)坐标面投影法 (以xy型z 为例)

z?z2(x,y)

如图,闭区域? 在 xoy

z2 S2

面上的投影为闭区D域,

?

S1: z?z1(x,y),

z1 S1
z?z1(x,y)
o

S2 : z?z2(x,y),

a b

D
(x, y) y?y2(x)

过(点 x,y)?D作直 x, 线 y?y1(x)

从z1穿入z, 2穿从 出. 返回

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7.3 三重积分的计算

先x 将 ,y看作定f(值 x,y,z), 只将 看 z的 作 函


? F (x,y)?z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)

计 算 F ( x , y ) 在 闭 区 域 D 上 的 二 重 积 分

?? ???? ? F (x ,y )d?[z2 (x ,y )f(x ,y ,z)d]d z.

D

Dz 1 (x ,y )

则有: 返回

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7.3 三重积分的计算

??? ??? f ( x , y , z )d v ? [ z2(x,y)f(x,y,z)dz]d?.

?

D z1(x,y)

?? ? ? dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz(叠积分)

D

z1(x,y)

化 为 若 三 D : 次 y 1 积 ( x 分 ) ? y ? y 2 ( x ) , a ? x ? b ,则 叠 积 分

? ? ? ?bd xy2(x)d yz2(x,y)f(x ,y,z)d z. a y 1(x) z1(x ,y) 返回

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7.3 三重积分的计算

??? ?? ? f ( x , y , z )d v ? dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz

?

D

z1(x,y)

物理解释:

坐 标 面 投 影 法 求 三 重 积 分 相 当 于 把 体 密 度 为

f(x,y,z) 的 空 间 物 体 的 质 量 压 缩 成 面 密 度 为

?z2(x,y) f(x, z1(x,y)

y,

z)dz的 平 面 薄 片 来 求 .

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7.3 三重积分的计算

计算步骤:
(1)画出图( ? 或区域D);
(2)定限(投影穿刺法:投影找区域, 穿刺找高度);
(3)表为三次积分并计算.

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7.3 三重积分的计算

例 1 、 设 ? 由 x?0 ,y?0 ,z?0,z?x y和 x?y?1 围 成 ,
将 ???f(x,y,z)d v表 为 三 次 积 分 。 ?

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7.3 三重积分的计算

例 2、化三重积分 I ? ??? f ( x, y, z)dxdydz
?
为三次积分,其中积分区域? 为由曲面
z ? x2 ? 2 y2及z ? 2 ? x2所围成的闭区域.

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7.3 三重积分的计算

?

?1? x?1

? : ??? 1 ? x2 ? y ? 1 ? x2 ,

?? x2 ? 2 y2 ? z ? 2 ? x2

1

1 ? x 2

2 ? x 2

? ? ? ? I?dx dy f(x ,y,z)d.z ? 1 ?1 ? x 2 x 2? 2y2

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7.3 三重积分的计算

练习、计算三重积分??? xdxdydz,其中? 为三个 ?
坐标面及平面 x ? y ? z ? 1所围成的闭区域.

z
1

o

y
1

1
x

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7.3 三重积分的计算

(2)坐标轴投影法 (截面法)

截面法的一般步骤:
(1) 把积分区域? 向某轴(例如 z 轴)投影,得
投影区间[c1,c2 ];
(2) 对z ?[c1,c2 ]用过z轴且平行 xoy平面的平面去 截? ,得截面Dz;
(3) 计算二重积分??f(x,y,z)dxdy
Dz
其结果为z 的函数F(z);
? (4) 最后计算单积分c2F(z)dz即得三重积分值. c1 返回

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7.3 三重积分的计算

故有

??? f ( x, y, z)dv

?

? ?? ? [ c2 f(x,y,z)dxdy]dz c1 Dz

? ?? ? c2dz f(x,y,z)dxdy

c1

Dz

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7.3 三重积分的计算

??? ? ?? f ( x , y , z )d v ? c2dz f(x,y,z)dxdy

?

c1

Dz

物理解释:
坐标轴投影法求三重积分 相当于 把体密度为
f ( x, y, z) 的空间物体的质量压缩成线密度为
?? f ( x, y, z)dxdy 的直线段来求.
Dz

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7.3 三重积分的计算

例 3、计算三重积分??? z2dxdydz,其中 ? 是由椭球

?

面 x2 a2

?

y2 b2

?

z2 c2

? 1所围成的空间闭区域.

解:

z
Dz

?: {(x,y,z)|?c?z?c,

ax22?by22?1?cz22} x

o

y

? ?? 原式? cz2dz dx,dy ?c

Dz

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7.3 三重积分的计算

? D z?{x (,y)|a x2 2?b y2 2?1?c z2 2}

?? ? D zdx?d ?ya2(z12?c z2 2)? b2(1?c z2 2)
??ab(1?c2),

原式

? ? ?cc?ab(1?cz22)z2d?z

4 ?abc3. 15

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7.3 三重积分的计算

练 习 、 计 算 三 重 积 分 ??z?dx, d 其 中 y ? d 为 三 z个 坐
?
标 面 及 平 面 x?y?z?1所 围 成 的 闭 区 域 .

???zdxdyd?z
?

1
?0

zdz??dxdy, Dz

z
1

Dz ?{(x,y)|x?y?1?z,

o

y
1

x?0, y?0}

1
x

1

?Dz?dxd?y2(1?z)(1?z)

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7.3 三重积分的计算

二、利用对称性化简三重积分

积分区域?关于xoy面对称时,

?0, f(x, y,z)关于z奇

??? ?

f

(x,

y,

z)dxdydz

?????2???1?

fdxdydz,

f关于z偶

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7.3 三重积分的计算

例 4、计算三重积分

z ln( x2 ? y2 ? z2 ? 1)

????

x2 ? y2 ? z2 ? 1

dxdydz


其中

?

是由椭球面

x2 a2

?

y2 b2

?

z2 c2

? 1所围成

的空间闭区域.

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7.3 三重积分的计算

例 5、计算三重积分

??? ( x ? z)dxdydz

?



其中 ? 是由锥面 z ? x2 ? y2 和 z ? 1 所围成
的空间闭区域.

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7.3 三重积分的计算

三、小结

三重积分的定义和计算:

??? ??? f ( x , y , z )d v ? [ z2(x,y)f(x,y,z)dz]d?.

?

D z1(x,y)

(坐标面投影法)
? ?? ? [ c2 f(x,y,z)dxdy]dz c1 Dz
(坐标轴投影法或截面法)返回

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7.3 三重积分的计算

注:

(1) 画图. 需熟悉第五章所学常见平面、柱面及 二次曲面,对难画的曲面,借助空间想象和 投影区域的图形,确定积分限。

(2) 积分限. 确定积分次序后,积分上下限 由积分区域的边界而定。内层积分上下限 至多包含两个变量,中层积分上下限至多一 个变量,外层的积分上下限必须是常数。

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7.3 三重积分的计算

思考题:
?为 六 个 平 面 x?0, x?2, y?1, x?2y?4,

z?x, z?2围 成 的 区 域 , f(x,y,z)在 ?上 连 续 ,

则 累 次 积 分 ____???f?(x,y,z)d.v

?

21

x

? ? ? (A ) 0dx 2?xd2 yf(x,y,z)d;z

2 2? 2 x x

? ? ? (B ) dx2dyf(x,y,z)d;z

01

2

21

2

? ? ? (C ) 0dx 2?xdy xf(x,y,z)d;z

2

2?2 x

2

? ? ? (D ) dx2dyf(x,y,z)d.z

01

x

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