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辽宁省铁岭市六校协作体2013届高三上学期第三次联合考试 数学文


铁岭市六校协作体 2013 届高三上学期第三次联合考试 数学文
数学(文科)试卷 命题学校:西丰高中 考试时间:120 分钟 考试说明: (1)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间为 120 分钟; (2)第Ⅰ卷和第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设集合 A. ?

A ? ?x y ? log2 ( x ? 2)? B ? x x 2 ? 5x ? 4 ? 0
, B.(2,4) C.(-2,1) D. (1,??)

?

?,则 A ? B =(



1 ?1 2.已知条件 p: x ? 1 ,条件 q: x ,则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

3.已知 l , m 表示直线, ? , ? 表示平面,则下列命题中不正确的是 A 若 l ∥ m, m ? ? ,则 l ? ? C.若 m ? ? , l ? ? ,则 l ∥ m B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ∥ ? D.若 l ? ? , ? ∥ ? ,则 l ? ?

4.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 的零点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0

y ? 2 cos( 2 x ?
5. 将 函 数

?

? 3 的图像向左平移 6 个单位后得到的图像对应的解析式为
)

y ? 2 cos(2 x ? ? ) ,则 ? 的值可以是
?
A.

4? 3

?
B.

?
2
C.

?

?
3

? D. 2

x2 y2 ? ?1 2 2 m 6.已知双曲线 9 的一个焦点在圆 x ? y ? 4x ? 5 ? 0 上,则双曲线的渐近线方程为

·1·

3 y?? x 4 A.

4 y?? x 3 B.

y??
C.

2 2 x 3

y??
D.

3 2 x 4

7.在△ABC 中,点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若 AB ? AC ? m AM ? 0 ,则实数 m 的值是

(A) 3

3 (B) 2 3 2
2 (D) ? 3 1 主视图 1 侧视图 2

?
(C)

8.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形,俯 视图为正方形,则这个几何体的体积为

1 A. 3

2 B. 3

15 C. 6

62 D. 24

1 俯视图

1 2 1 x?b? y?a? a ? 0, b ? 0 , a 、 b 的等差中项为 2 ,设 a, 2b , 9. 已知

x? y

的最小值为 (

) B. 5

9 A. 2

11 C. 2

D. 6

10.已知偶函数 f(x)在区间 ( ) D. (1, 3)

上满足

,则满足

的 x 的取值范围是

A. (-3, 1) B. C. (-3,3)

2 2 11.已知函数 f (t ) 是奇函数且是 R 上的增函数,若 x, y 满足不等式 f ( x ? 2x) ? ? f ( y ? 2 y) ,则

x 2 ? y 2 的最大值是(
A. 3 12.已知函数 围是

) C. 8 D. 12

B. 2 2

f ( x) ? x x ? 2

,若存在互不相等的实数 a,b,c,使 f(a)=f(b)=f(c) 成立,则 a+b+c 的取值范 (
·2·

)

A. [4,3 ? 2 ] C. (4,3 ? 2 ]

B. [4,3 ? 2 ) D. (4,3 ? 2 )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.公差为 1 的等差数列

{an } 满足 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 a5 ? a7 ? a9 的值等于
?0 ? x ? 3 ? ?y ? 3 3 ? ?x ? 3y ? 0

14.点 M ( x, y ) 是不等式组

表示的平面区域内一动点,定点 A(3, 3), O 是坐标原点,

???? ??? ? ? OM ? OA 的取值范围 则
是 ;
2

1 4 ? 15.设二次函数 f ( x ) ? ax ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ?? ) ,则 a c 的最小值为
2 16.点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 70 分)。 17. (本小题满分 10 分) (1)已知直线 一般式) (2) 若直线 l : mx ? 2 y ? 1 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 所截得的线段长为 2 3 , 求直线 l 的
2 2

l1 : mx ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : 2x ? 4m2 y ? 3 ? 0 垂直,求直线 l1 的方程;(结果要求用

方程.(结果要求用一般式)

a b ? 3 cos B . 18 (12 分). 设 ? ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin A
(1)求角 B; (2)若 A 是 ? ABC 的最大内角,求 cos(B ? C) ? 3 sin A 的取值范围。 19. (本小题共 12 分)

G:
已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 3 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I 的直线 l 与

椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程;
·3·

(II)求 ?PAB 的面积.

20 (本小题满分 12 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 平面 ABC . ?BCA ? 90

0

PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点
点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM // 平面 BEF ; (3)求三棱锥 F ? ABE 的体积. E F P

C M A

B

21、 (本小题满分 14 分)已知数列 (1)求数列 (2)设

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2n ?1 ? n ? N *? .

?an ? 的通项公式;

bn ? Sn ? an ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 6an ? Tn 的最大值及此时 n 的值.

22. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x , g ( x) ? a ln x ? bx(a ? 0) .
2

·4·

? ? (1)若 f (1) ? g(1) , f (1) ? g (1) ,求 F(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(2)在(1)的结论下,是否存在实常数 k 和 m,使得 f ( x) ? kx ? m 和 g ( x) ? kx ? m 成立?若存在,求 出 k 和 m,若不存在,说明理由。

参考答案 题 号 答 案 13.18 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 B 7 D 8 A 9 C 10 D 11 C 12 D

14. [0,18] ,

15. 2,

16

2
1 4 ,所以直线 l1 的方程为:

17 解: (1)∵

l1 ? l2 ? m ? 2 ? 2 ? (?4m 2 ) ? 0 ? m ? 0或m ?

l1 : 2 y ? 1 ? 0或l1 : x ? 8 y ? 4 ? 0 ;
2 2

_______

5分

(2)由圆的方程得: ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 4 ,所以圆心为 C (1, ?1), r ? 2 由题:
2 d o?l ? 3 ? r 2 ? ( 2

m ? 2 ?1 m ?4
2

)2 ? 3 ? 4 ? (m ? 1)2 ? m2 ? 4 ? m ? ?

3 2

3 l : ? x ? 2 y ?1 ? 0 l : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 2 ∴ l 的方程为 即为 1
18. (本题满分 12 分)

___10 分

a b ? 解: (1)在△ABC 中,由正弦定理得: sin A sin B ,?sin B ? 3 cosB ,------3 分

? tanB ? 3, ∵0<B<π

?B ?

? 3

---------6 分

(2)在△ABC 中,B+C=π-A

? ∴cos(B+C)+ 3 sinA= 3 sinA-cosA=2sin(A- 6 )
·5·

---------8 分

? 2? ? ? ? ? ?A? ? , 6 2 由题意得: 3 ≤ A< 3 , 6 1 ? ? ? sin( A ? ) ? 1 6 ∴2 ,2sin(A- 6 )∈[1,2) ,
即 cos(B+C)+ 3 sinA 的取值范围是[1,2)

--------10 分

--------12 分

19

c ? 2 2,
解: (Ⅰ)由已知得 解得 a ? 2 3. 又

c 6 ? . a 3

b2 ? a2 ? c2 ? 4.

x2 y 2 ? ? 1. 4 所以椭圆 G 的方程为 12
(Ⅱ)设直线 l 的方程为

y ? x ? m.

?y ? x ? m ? 2 y2 ?x ?1 ? ? 4 由 ? 12 得

4x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0.
(x , y ) 设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E 0 0 ,
x0 ? x1 ? x 2 3m ?? , 2 4
m 4



y 0 ? x0 ? m ?

因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB.

·6·

m 4 ? ?1. k? 3m ?3? 4 所以 PE 的斜率 2?
解得 m=2。 此时方程①为

4x 2 ? 12x ? 0.

解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以|AB|= 3 2 .

此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离

d?

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

1 9 | AB | ?d ? . 2 所以△PAB 的面积 S= 2
20 解: (1)

? PB ? 面ABC ? PB ? AC ? ? ? AC ? 面PBC ? AC ? BE ? BC ? AC ? ? ? BE ? 面PAC ? PB ? BC , E为中点 ? BE ? PC ?
(2)取 AF 的中点 G,连接 CG,MG ,在 ?PCG 中,EF 为中位线,所以 EF ? CG ,在 ?AFB 中,MG 为中位线, 所以 BF ? MG ,所以面 CMG // 平面 BEF ;故 CM // 平面 BEF .

32 1 VF ? ABE ? VB ? AEF ? S ?AEF ? BE ? v ? 9 3 (3)
21、 解: (1)当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 1 ,

…………………………………2 分

n n ?1 n n ?1 n ?1 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 , 当

? a1 ? 1 适合上式,
n ?1 ? ?an ? 的通项公式是 an ? 2 .

…………………………………4 分
·7·

(2)

bn ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ? 22 n ?1 ? 2n ?1



………………………6 分

?Tn ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? ? ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2 n ?1 ?

2 ?1 ? 4n ? 1 ? 2n 2 ? 4n ? 2 n 2 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? 4n ? 2 n ? 1? 4 1? 2 3 3 3
2 2 1 2 17 6an ? Tn ? ? ? 4n ? 4 ? 2n ? ? ? ? 2n ? 3? ? 3 3 3 3 , 故

…9分

所以当 n ? 1 或 2 时

?6an ? Tn ?max ? 5

……………………12 分

22. (本题满分 15 分)

f ' (x ) ? 2x, g' ( x ) ?
( 1 )

a ?b x , 代 入 可 得 : a=1,b=1

— —

2 分

F( x ) ? x 2 ? ln x ? x, F' ( x ) ? 2x ?
(1,??) 递增,———————4 分

1 2x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2x ? 1) ?1 ? ? ? F( x ) 在 ( 0,1 ) 递 减 , x x x
? F( x ) 的极小值为 F(1)=0 ————
(2)由(1)得, (1,1)是 f(x)和 g(x)的公共

——6 分 点, f(x)在点(1,1)处的切线方程是 y=2x-1

?









f(x)

?

2x-1



g(x)

?

2x-1









? f (x) ? 2x ? 1 ? x 2 ? 2x ? 1 ? (x ? 1) 2 ? 0 ,

? f(x) ? 2x-1

-------9 分

令 h(x)=g(x)-2x+1 ? ln x ? x ? 1 ,

h' (x) ?

1 1? x ?1 ? x x ,? h(x) 在(0,1)递增, (1,??) 递减,
·8·

? h(x) max ? 存在

? h(1) ? 0 ,? h(x) ? 0,即 g(x) ? 2x-1 成立
m= ? 1 —12 分

k=2,

·9·



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