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2011年高中数学优质课比赛课件:平面向量基本定理_图文


平面向量基本定理
迟玉红

引入:

oe2.

b
e1



复习:

?a

.e2
o e1

?



1.向量求和的平行四边形法则? 2.实数与向量的积?

问题:1. a能用e1, e2表示吗? 2. e1,e2 确定了,a 表示形式
唯一吗?
a
e1

研究

e2

E

D

B

e2

A e1

C

F

AB ? 2e1 ? 2e2

CD ? ?2e1 ? 4e2

EF ? 3e1 ? 5e2

平面向量基本定理:
如果 e1 和 e2是一平面内的两个不平行
的向量,那么该平面内的任一向量 ,
a a 存在唯一的一对实数 1,a2使
a ? a1e1 ? a2e2
我面们内把所不有共向线量向的量一e组1,基e底2 ,叫记做为表示?e这1, e一2。?平
a a1e1 ? a2e2叫做向量 的关于?e1, e2?分解式。

证明:存在性
OC = OM + ON = a1e1 ? a2e2

e1 a e2

M

C

Aa

e1

O

N e2 B

理解:

1.一平面向量的基底有多少对?

(有无数对)

M

CF

M

C

Aa

a

O

N

BO

N

E

2向. 如量果的基实底数选a1取, a不2是同否,相那同么?表示同一

(可以不同,也可以相同)

F

M

C

OC = OF + OE

OC = 2OA + OE A B a

OC = 2OB + ON O

N

E

例1:
如图所示,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,

且AB ? a ,AD ? b,用a、b表示MA、MB、MC、MD?

D

C

M

A

B

解解:: 因为 AC ? AB ? AD ? a ? b ,

DB ? AB ? AD ? a ? b

所以 MA ? ? 1 AC 2

??1a?1b 22

MB

?

1 2

DB

?

1 2

a

?

1 2

b

MC ? 1 AC ? 1 a ? 1 b

2

22

MD ? ? 1 DB ? ? 1 a ? 1 b

2

22

D

d

C

Mc

A

B

变式: 如果CB=c,CD ? d.

用c和d表示MA, MB, MC, MD.

课堂练习:
(1)△ABC中,BC= a, CA= b, AB= c,三边BC,CA,AB 的中点依次为D,E,F,则AD+BE+CF= 0
(2)设AM是△ABC的中线,AB=a, AC=b,

则AM= (a+b)/2

A

A

F

E

B

D

C

第1题图

B

M

C

第2题图

(3)已知ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE为等腰三角 形,F为ED的中点,EA=e1,EF=e2,以e1,e2为基底表示向量

AF = e2-e1

AB= e2

AD = 2e2-e1

B

A

BD= e2-e1

e1

E

C

D

F e2

例2:已知 a ? e1 ? 2e2,b ? 2e1 ? e2
其中e1,e2不共线,则 a ? b与
c ? 6e1-2e2的关系为( B )
A 不平行 B 平行 C 相等 D 无法确定
复习:平行向量基本定理?

例3:已知A,B是直线L上任意两点,O是L外 一点,求证:对直线L上任一点P,存在实数
t,使OP 关于?OA,OB? 的解析式为:
OP ? (1? t)OA ? tOB.

并且,满足上式的点P一定在L上。

分析: 点P在L上

OP ? (1? t)OA ? tOB.

作课本105页 A组 5.

结论:
1. P在A,B确定的直线L上,基底向量 OA, OB
的系数和是1。 三点共线的方法 2.对L上一点P,一定存在唯一的实数t满足向量等式,

对每一个数值t,在直线L上都有唯一的一个点 P与之对应。

3.向量等式叫做直线L的向量参数方程式,t是参数。

特别地 t ? 1 , M是AB的中点,则 OM ? 1 (OA+OB)

2

2

小结: 1.平面向量基本定理。
(1)基底确定,能以唯一的表示平面内任意向量。 (2)基底选取不同,表示向量的实数对不唯一。
2.三点共线的方法。

谢谢同学们 再见



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