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广东省珠海一中等六校2013届高三5月高考模拟考试文科数学试题


广东省珠海一中等六校 2013 届高三 5 月高考模拟考试
文科数学试题
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | y ? log2 ( x ? 2)} ,则 B A ? A. (?2 , 1) B. (?2 , 1] C. [?2 , 1) D. [?2 , 1]

2.已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? (a ? 2i)i 在复平面内对应的点为 M , 则“ a ? ?2 ”是“点 M 在第四象限”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
D

3.已知等比数列 {an } 中,公比 q ? 0 ,若 a2 ? 4 , 则 a1 ? a2 ? a3 的最值情况为 A.有最小值 ? 4 C.有最小值 12 B.有最大值 ? 4
A

C

D.有最大值 12

4.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的 正(主)视图、侧(左)视图、俯视图相同,如右图所示, 其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,则该几何体 的表面积为 A. 4 3 C. 2 3 B. 3 3 D. 3
开始

B
第 4 题图

S ? 0 , n ?1

n ? 2013 ?




5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 是 A. 0 C. 1 6.下列四个命题中,正确的有 B.

1 2 D. ?1

n? S ? S ? cos 3
n ? n ?1

输出S

结束

第 5 题图

①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
2 ②命题 p : ?x0 ? R , x0 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定 ? p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “ “ ;

③用相关指数 R 来刻画回归效果,若 R 越大,则说明模型的拟合效果越好; ④若 a ? 0.3 , b ? 2 , c ? log0.3 2 ,则 c ? a ? b .
2 0.3

2

2

A.①③

B.①④

C.②③

D.③④

7.把正奇数数列按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括 号一个数,第五个括号两个数,第六个括号三个数,?.依次划分为 (1) , (3 , 5) ,

(7 , 9 , 11) , (13) , (15 , 17) , (19 , 21 , 23) , (25) ,?.则第 50 个括号内各数之和为
A. 396 B. 394 C. 392 D. 390

8. 已知函数 y ? f (x) 的定义域是 R , 若对于任意的正数 a , 函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a) 都 是其定义域上的减函数,则函数 y ? f (x) 的图象可能是
y y y y

O O

x
O

x

x

O

x

A.

B.

C.

D.

9.已知定点 A(?2 , 0) , B(2 , 0) , N 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 1上任意一点,点 A 关于点 N 的对 称点为 M ,线段 AM 的中垂线与直线 BM 相交于点 P ,则点 P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

10.设函数 f (x) 在区间 I 上可导,若 ?x0 , x ? I ,总有 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) , 则称 y ? f (x) 为区间 I 上的 U 函数.
2 在下列四个函数 y ? x , y ? x ?

1 x , y ? ?e , y ? cos 2 x 中,在区间 (?1 , 0) 上为 U 函 x
C. 3 D. 4

数的个数是 A. 1 B. 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:11、12、13 题为必做题. 11.如图,菱形 ABCD 的边长为 2 , ?A ? 60? ,
D

M

C

M 为 DC 的中点,则 AM ? AB 的值为


A B

?y ? x ?1 第 11 题图 ? 12.设 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1 ,若目标函数 z ? mx ? y ( m ? 0 )的最大值为 35 , ?x ? 0 , y ? 0 ?
则 m 的值为 .

13.设 a ? 1 ,则当 y ? a x 与 y ? loga x 两个函数图象有且只有一个公共点时, ln ln a ?
(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)



1 ? ?x ? ? 2 t ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),以原点 O ? y ? ?2 ? 3 t ? 2 ?
为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,则 l 上的 动点 P 与 C 上的动点 Q 间的最短距离为 15.(几何证明选讲选做题) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的圆 O 交于点 F ,连接 CF 并延长 CF 交 AB 于 E .则线段 BF 的长为 A . D .

E

F

B

?

O
第 15 题图

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度(肯定还是否定) ,进行 了如下的调查研究.全年级共有 630 名学生,男女生人数之比为 11 : 10 ,现按分层抽样方 法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为

1 . 6

(1)求抽取的男学生人数和女学生人数; (2)通过对被抽取的学生的问卷调查,得到如下 2 ? 2 列联表: 否定 男生 女生 总计 ①完成列联表; 30 肯定 10 总计

②能否有 97.5% 的把握认为态度与性别有关? (3)若一班有 5 名男生被抽到,其中 4 人持否定态度,1 人持肯定态度;二班有 4 名女生 被抽到,其中 2 人持否定态度, 2 人持肯定态度. 现从这 9 人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因, 求其中恰有一人持肯定态度 一人持否定态度的概率.
解答时可参考下面临界值表:

P(K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的三个内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c .已知 sin( A ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

?
6

) ? cos A .

18. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 面

ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 .
(1)求证: PC ? AE ; (2)求证: CE // 面 PAB ; (3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V .

P

E

A B
D

C
第 18 题图

19. (本小题满分 13 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2 , n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? , n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公式: (2)令 Tn ?

Sn , n ? N *. 2n

①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn ?1 ; ②若对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 如图,点 F 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点,点 A , B 分别是椭圆的左顶点 a b 1 和上顶点,椭圆的离心率为 ,点 C 在 x 轴上,且 BF ? BC ,过点 A 作斜率为 k (k ? 0) 的 2 1 2 直线 l 与由三点 B , F , C 确定的圆 M 相交于 D , E 两点,满足 MD ? ME ? ? a . 2
(1)若 ?BOF 的面积为 3 ,求椭圆的方程; (2)直线 l 的斜率是否为定值?证明你的结论.
y

B D
A

E

l

F

O

?

M

C

x

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) 2 ( a ? R , a ? 0 ) g ( x) ? x ? x . , x ?1

(1)求函数 h( x) ? a ln x ?

a ( x ? 1) ? g ( x) 的单调区间,并确定其零点个数; x ?1

(2)若 f (x) 在其定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (3)证明不等式

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln n ? 1 ( n ? N * ) . 3 5 7 2n ? 1

2013 年广东省六校高三年级第四次联考

数学(文科)参考答案
有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 B

2013.5

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 4 12. 16 13. ?1 14.

3 2

15.

2 5 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度(肯定还是否定) ,进行 了如下的调查研究.全年级共有 630 名学生,男女生人数之比为 11 : 10 ,现按分层抽样方 法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为

1 . 6

(1)求抽取的男学生人数和女学生人数; (2)通过对被抽取的学生的问卷调查,得到如下 2 ? 2 列联表: 否定 男生 女生 总计 ①完成列联表; ②能否有 97.5% 的把握认为态度与性别有关? (3)若一班有 5 名男生被抽到,其中 4 人持否定态度, 1 人持肯定态度;二班有 4 名女 生被抽到,其中 2 人持否定态度, 2 人持肯定态度. 现从这 9 人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因, 求其中恰有一人持肯定态度 一人持否定态度的概率. 30 肯定 10 总计

解答时可参考下面临界值表:

P(K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

解: (1)共抽取 630 ? 6 ? 105 人,??????????????????????1 分 男生 105 ? (2)① 否定 男生 女生 总计 ② 45 30 75 肯定 10 20 30 总计 55 50 105 ????4 分 假设 H 0 : 学生对体育课改上自习课的态度与性别无关

11 10 ? 55 人, 女生 105 ? ? 50 人,???????????3 分 21 21

k0 ?
因为

n(ad ? bc)2 105(45 ? 20 ? 10 ? 30) 2 ? ? 6.110 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d ) 75 ? 30 ? 55 ? 50
6 . 1 1? 0 5 . 0 2 4P( K 2 ? 5.024) ? 0.025 ,

所以 有 97.5% 的把握认为态度与性别有关.????????????8 分 (3)记一班被抽到的男生为 A , A2 , A3 , A4 , a , A1 , A2 , A3 , A4 持否定态度, a 持肯定态度; 1 二班被抽到的女生为 B1 , B2 , b1 , b2 , B1 , B2 持否定态度, b1 , b2 持肯定态度. 则所有抽取可能共有 20 种: ( A1 , B1 ) , ( A , B2 ) , ( A1 , b1 ) , ( A1 , b2 ) ; ( A2 , B1 ) , 1

( A2 , B2 ) , ( A2 , b1 ) , ( A2 , b2 ) ; ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , b1 ) , ( A3 , b2 ) ; ( A4 , B1 ) , ( A4 , B2 ) , ( A4 , b1 ) , ( A4 , b2 ) ; (a, B1 ) , (a, B2 ) , (a, b1 ) , (a, b2 ) .???10 分
其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有 10 种: ( A1 , b1 ) , ( A1 , b2 ) , ( A2 , b1 ) ,

( A2 , b2 ) , ( A3 , b1 ) , ( A3 , b2 ) , ( A4 , b1 ) , ( A4 , b2 ) , (a, B1 ) , (a, B2 ) .??11 分
记“从这 9 人中随机抽取一男一女,其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件 为 M ,则 P ( M ) ?

10 1 ? . ????????????????????12 分 20 2

答: (1)抽取男生 55 人,女生 50 人; (2)有有 97.5% 的把握认为态度与性别有关; (3)恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为

1 .???????????13 分 2

17. (本小题满分 12 分)

设 ?ABC 的三个内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c .已知 sin( A ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值. 解: (1)由已知有 sin A ? cos 得

?
6

) ? cos A .

?
6

? cos A ? sin

?
6

? cos A ,????????????1 分

3 1 sin A ? cos A ? cos A ,则 sin A ? 3 cos A ,??????3 分 2 2 tan A ? 3 .????????????????????????4 分 ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ? .????????????????????5 分 3
(2) (法一)由正弦定理得

a ? sin B 2 ? sin B 4 ? ? sin B , , ? sin A 3 sin 3 4 (sin B ? sin C ) .?????????????????7 分 则 b?c ? 3 2? 3 1 而 sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? sin B ? ( cos B ? sin B) 3 2 2 3 3 3 1 ? ? sin B ? cos B ? 3( sin B ? cos B) ? 3 sin( B ? ) .?9 分 2 2 2 2 6 ? 则 b ? c ? 4sin( B ? ) . 6 2? ? ? 5? 又 0? B? , 所以 ? B ? ? .???????????10 分 3 6 6 6 ? ? ? ? 所以 当且仅当 B ? ? ,即 B ? 时, sin( B ? ) 取得最大值1 ,11 分 3 6 2 6 故 (b ? c)max ? 4 . ??????????????????????12 分 ? 2 2 2 2 2 (法二)由余弦定理得 2 ? b ? c ? 2bc cos ,即 4 ? b ? c ? bc , ????7 分 3 则 4 ? (b ? c)2 ? 3bc , b?
又 得

bc ? (

b?c 2 ) 2

则 10 分 (b ? c) ? 4 ? 3 ?
2

(b ? c)2 ???????10 分 4

(b ? c)2 ? 16 , 故 b ? c ? 4 ,

当且仅当 b ? c 时, (b ? c)max ? 4 .?? ???????????????12 分 18. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 面

ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 .
(1)求证: PC ? AE ; (2)求证: CE // 面 PAB ;

P

E

A

(3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V . 解: (1)证明 取 PC 中点 F ,连接 AF , EF . ??1 分
? 在 Rt ?ABC 中, AB ? 2 , ?BAC ? 60 ,

则 而 则

BC ? 2 3 , AC ? 4 .
PA ? 4
在等腰三角形 APC 中 PC ? AF . ① ??????2 分

又 在 ?PCD 中, PE ? ED, PF ? FC , 则 因 则 又 则

EF ∥ CD ??????????????????????????3 分 PA ? 面 ABCD , CD ? 面 ABCD , PA ? CD ,

P

?ACD ? 90? ,即 CD ? AC ,
CD ? 面 PAC ,????????4 分

CD ? PC ,
所以 EF ? PC . 由①②知 故 ② ??????5 分

F
A

E

PC ? 面 AEF .

M
B

D

PC ? AE .??????????6 分

(2) (法一)取 AD 中点 M ,连接 EM , CM . 则 在 ?PAD 中, EM ∥ PA . 又 EM ? 面 PAB , PA ? 面 PAB

C

则 EM ∥面 PAB , ?????????????????????????7 分 在 Rt ?ACD 中, ?CAD ? 60 所以 ?ACM 为正三角形, 则 ?ACM ? 60 又 ?BAC ? 60
? ?

??????????????????????????8 分

?

则 MC ∥ AB . 又 MC ? 面 PAB , AB ? 面 PAB 则 MC ∥面 PAB , ?????????????????????????9 分 而 EM ? MC ? M , 所以 面 EMC ∥面 PAB . ??????????????????????10 分 又 则

EC ? 面 EMC EC ∥面 PAB . ????????????????????????11 分

(法二)延长 DC , AB 交于 N ,连接 PN . ????????????????7 分
? 在 ?AND 中, ?NAC ? ?DAC ? 60 , AC ? CD ,



C 为 ND 的中点?????????????????????????9 分



PE ? ED

所以 EC ∥ PN ??????????????????????????10 分 又 EC ? 面 PAB , PN ? 面 PAB 则 EC ∥面 PAB .?????????????????????????11 分 (3)由(1) (2)知 AC ? 4 , CD ? 4 3

1 EF ? CD ? 2 3 2
因 CD ? 面 PAC , EF ∥ CD 则 EF ? 面 PAC ,???????????????????????12 分 而 ???????????????13 分 故

1 1 16 3 ??????14 分 VP ? AEC ? VE ? PAC ? S Rt?PAC ? EF ? ? 8 ? 2 3 ? 3 3 3

19. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2 , n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? , n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公式: (2)令 Tn ?

Sn , n? N *. 2n

①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn ?1 ; 解: (1)在 n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? 中令 n ? 1 ,得 1? a2 ? S1 ? 1? (1 ? 1) 又 a1 ? 2 ,则 a2 ? 4 ,所以 a2 ? a1 ? 2 . ???????????????1 分 当 n ? 2 时, n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ②若对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的取值范围.

(n ? 1)an ? S n ?1 ? (n ? 1)n
相减得 即 结合到

nan?1 ? (n ?1)an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ??????????????3 分
nan?1 ? (n ?1)an ? an ? 2n ,整理得 an?1 ? an ? 2(n ? 2) ???4 分

所以 数列 ?an ? 是以 2 为首项, 2 为公差的等差数列,?????????5 分

a2 ? a1 ? 2 ,

an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ,即 an ? 2n .????????????????6 分 (2 ? 2n) n ? n(n ? 1) ????????????????7 分 (2)①(法一) S n ? 2 S n n( n ? 1) 则 Tn ? n ? ?????????????????????8 分 2 2n (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) n ? 1 (n ? 1)(2 ? n) Tn ?1 ? Tn ? ? ? n ?1 (n ? 2 ? 2n) ? n ?1 n 2 2 2 2n ?1
则 由 得

Tn?1 ? Tn ? 0 ???????????????????????9 分
n ? 2 ,即 n 取不小于 3 的正整数. ?????????????10 分

(法二) 把 得

an?1 ? 2(n ?1) 代入 n ? an ?1 ? S n ? n?n ? 1?

n ? 2(n ? 1) ? S n ? n ? n ? 1?

所以

Sn ? n(n ? 1) .?????????????????7 分

以下同法一. ② 由①知 数列 ?Tn ? 各项的大小情况为 T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? T5 ??? .11 分 则

?Tn ? 的各项中数值最大的项为 T3 ? T2 ?

因为对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,则

2(2 ? 1) 3 ? ,???12 分 22 2 3 m ? ????????13 分 2

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点,点 A , B 分别是椭圆的左顶点 a 2 b2 1 和上顶点,椭圆的离心率为 ,点 C 在 x 轴上,且 BF ? BC ,过点 A 作斜率为 k (k ? 0) 的 2 1 2 直线 l 与由三点 B , F , C 确定的圆 M 相交于 D , E 两点,满足 MD ? ME ? ? a . 2
如图,点 F 是椭圆 (1)若 ?BOF 的面积为 3 ,求椭圆的方程; (2)直线 l 的斜率是否为定值?证明你的结论. 解: (1)由已知可得
y

B D

E

l

c 1 1 ? , cb ? 3 ,?2 分 a 2 2 2 2 2 又a ?b ?c , 解得 c2 ? 2, b2 ? 6, a2 ? 8 . ????3 分
所求椭圆方程为

A

F

O

?

M

C

x

x2 y 2 ? ? 1 .????4 分 8 6
第 20 题图

(2)由

c 1 ? a 2

得 b ? 3c ,则 F (?c,0), B(0, 3c) ??5 分

因 BF ? BC 而 kFB ?

则 kBC ? kBF ? ?1 (斜率显然存在且不为零)?????6 分

3c ? 0 ? 3 0 ? (?c)

设 C (t , 0) , 则 k BC ? 得

3c ? 0 3 ?? 0?t 3

t ? 3c ,所以

C (3c,0) ????????????????????7 分

则圆心 M 的坐标为 M (c,0) ,半径为 r ? 2c ???????????????8 分 据题意 直线 l 的方程可设为 y ? k ( x ? 2c) ,即 kx ? y ? 2ck ? 0 ??????9 分

1 2 1 a 得 2c ? 2c ? cos ?DME ? ? a 2 ?????????10 分 2 2 1 1 2 即 2c ? 2c ? cos ?DME ? ? (2c) ,得 cos ?DME ? ? ,而 0 ? ?DME ? ? 2 2 2? 所以 ?DME ? ?????????????????????????11 分 3 在等腰三角形 MED 中 由垂径定理可得点 M 到直线 l 的距离为 c .??????12 分 ck ? 0 ? 2ck 则 ? c ?????????????????????????13 分 k 2 ?1 2 2 解得 k ? ? 而k ? 0 故 k ? (定值)???????????14 分 4 4
由 MD ? ME ? ? 21. (本小题满分 14 分)

a ( x ? 1) 2 ( a ? R , a ? 0 ) g ( x) ? x ? x . , x ?1 a ( x ? 1) ? g ( x) 的单调区间,并确定其零点个数; (1)求函数 h( x) ? a ln x ? x ?1
已知函数 f ( x) ? ln x ? (2)若 f (x) 在其定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (3)证明不等式

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln n ? 1 ( n ? N * ) . 3 5 7 2n ? 1

解: (1) h( x) ? a ln x ? ax2 ? ax ( x ? 0) ????????????????1 分 则 h?( x ) ? a ( ? 2 x ? 1) ( x ? 0) ? ?

1 x

a(2 x 2 ? x ? 1) x

1 2a( x ? 1)( x ? ) 2 ?????????????????2 分 ?? x (i)若 a ? 0 ,则当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0
所以 (0,1) 为 h( x) 的增区间, (1, ??) 为 h( x) 的减区间. ??????3 分 极大值为 h(1) ? a ln1 ? a ?1 ? a ?1 ? 0
2

所以 h(x) 只有一个零点 x ? 1 . (ii)若 a ? 0 ,则当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 所以 (0,1) 为 h( x) 的减区间, (1, ??) 为 h( x) 的增区间. 极小值为 h(1) ? a ln1 ? a ?1 ? a ?1 ? 0 ??????????????4 分
2

所以 h(x) 只有一个零点 x ? 1 .

综上所述, 当 a ? 0 时, (0,1) 为 h( x) 的减区间, (1, ??) 为 h( x) 的增区间, h(x) 有且只有一个零点; 当 a ? 0 时, (0,1) 为 h( x) 的增区间, (1, ??) 为 h( x) 的减区间, h(x) 有且只有一个零点. ??????????????????????????5 分 (2) f ?( x) ?

1 a[ x ? 1 ? ( x ? 1)] 1 2a ? ? ? 2 x ( x ? 1) x ( x ? 1) 2

?

x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ( x ? 0) ??????????????6 分 x( x ? 1)2

由 f (x) 在其定义域内单调递增,可知 ?x ? (0, ??) , f ?( x) ? 0 恒成立. 则 x2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 ?x ? (0, ??) 恒成立.??????????7 分 (法一)由二次函数的图象(开口向上,过定点 (0,1) )可得 a ? 1 ? 0 或 ?

?a ? 1 ? 0 ?? ? 0

?????????????????????8 分 则 a ?1或?

?a ? 1 ? 0

2 ?(2 ? 2a) ? 4 ? 0 ?a ? 1 则 a ?1或? ?0 ? a ? 2

得 a ? 2. 可以验证 当 a ? 2 时 f (x) 在其定义域 (0, ??) 内单调递增 故 a ? 2 .??????????????????????????9 分 (法二)分离变量 2a ? x ? 因 x? 所以

1 ? 2 ( x ? 0) x

1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (当且仅当 x ? ,即 x ? 1 时取到等号)?8 分 x x
2a ? 4 , 则 a ? 2 .

可以验证 当 a ? 2 时 f (x) 在其定义域 (0, ??) 内单调递增 故 a ? 2 ??????????????????????????9 分 (3)由(2)可知 当 a ? 2 时, f ( x ) ? ln x ? 而 f (1) ? ln1 ?

2(1 ? 1) ?0 1?1

2( x ? 1) 在 (0, ??) 内单调递增, x ?1

所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0

2( x ? 1) ( x ? 1) ????????????????????10 分 x ?1 1 * 令 x ? 1 ? (n ? N ) , n 1 2(1 ? ? 1) 1 n 则 ln(1 ? ) ? ???????????????????11 分 1 n 1? ?1 n
即 ln x ?

则 ln 所以

n ?1 2 ? n 2n ? 1 n 2 n?2 2 3 2 2 2 ln ? ? , ln ,?? , ln ? , ln ? , n ? 1 2n ? 1 n ? 3 2n ? 3 2 5 1 3

以上 n 个式子累加可得

ln

n ?1 n 3 2 2 2 2 ? ln ? ?? ? ln ? ln 2 ? ? ? ?? ? ? n n ?1 2 2n ? 1 2n ? 1 5 3
?????????????12 分

n ?1 n 3 1 1 1 1 ? ??? ? 2) ? 2( ? ? ?? ? ? ) n n ?1 2 2n ? 1 2n ? 1 5 3 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ) ??????????13 分 则 ln(n ? 1) ? 2( 2n ? 1 2n ? 1 5 3 1 1 1 1 1 ln(n ? 1) ? ? ? ?? ? ? 则 2 2n ? 1 2n ? 1 5 3 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ln n ? 1 ( n ? N * ) 故 .??????14 分 3 5 7 2n ? 1
则 ln(



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