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江西省赣州市博雅文化学校2016届高考数学二轮专题 基础演练 导数


江西省赣州市博雅文化学校 2016 届高三数学二轮专题基础演练 导数
一、选择题。 1.函数错误!未找到引用源。的零点与错误!未找到引用源。的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则错误!未找到引用源。可以是 A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 【答案】C 【解析】本题考查函数的零点、导数在研究函数中的应用. ∵g'(x)=4 ln 4+2>0,∴g(x)
x

B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

在(-∞,+∞)上是递增函数。又 g(0)=1-2=-1<0,g(错误!未找到引用源。)=2+1-2=1>0,∴ g(x)只有一个零点 x0,且 x0∈(0,错误!未找到引用源。). 若.错误!未找到引用源。解得 错误!未找到引用源。的零点为 0,此时|错误!未找到引用源。-x0|与错误!未找到引用 源。的大小关系不确定,排除 A;错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。的零点 为 1,此时|错误!未找到引用源。-x0|>错误!未找到引用源。 ,排除 B;错误!未找到引用 源。,其零点为 x=错误!未找到引用源。 ,∴|错误!未找到引用源。-x0|错误!未找到引用 源。 ,选项 C 符合题意.选 C. 2.已知函数 f(x)的导函数的图象如图所示,a、b、c 分别是△ABC 的内角 A、B、C 所对的边, 且 3a +3b -c =4ab,则下列不等式一定成立的是
2 2 2

A.f(sin A)≤f(cos B) C.f(sin A)≥f(sin B) 【答案】A

B.f(sin A)≥f(cos B) D.f(cos A)≤f(cos B)

【解析】依题意得,c =3a +3b -4ab,cos C=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≤0,故错误!未找到引用源。≤C<π ,0<A+B≤错误!未找到引用
1

2

2

2

源。,0<A≤错误!未找到引用源。-B<错误!未找到引用源。,0<sin A≤sin(错误!未找到 引用源。 -B)=cos B<1.又当 x∈[0,1]时,f'(x)≥0,f(x)是增函数,于是有 f(sin A)≤f(cos B), 选 A. 3.若错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是减函数,则 m 的取值范围是 B.错误!未找到引用 C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 A.[1,+∞) 源。 【答案】C 【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。 上恒成立;即错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上恒成立,所以错误!未找 到引用源。.选 C. 4.设 f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≤0 在区间 I 上恒成 立,则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反.若函数 f(x)= x ﹣2ax 与 g(x)=x +2bx 在开区 间(a,b)上单调性相反(a>0),则 b﹣a 的最大值为 A.错误!未找到引用 B.1 源。 【答案】A 【解析】本题主要考查利用导数判断函数的单调性问题,也考查了不等式的解法. 错误!未找到引用源。,由题意得错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上恒成立, ∵错误!未找到引用源。恒成立,错误!未找到引用源。恒成立,即错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。,当错误! 未找到引用源。时,取“=”,错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。. 故选 A。 5.已知错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。是区间错误!未找到引用源。上任 意两个值,错误!未找到引用源。恒成立,则 M 的最小值是 A.-2 【答案】D 【解析】本试题主要考查导数在研究函数单调性中的运用.由题意,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。是区间错误!未找到引用源。上任意两个值,错误!未找到引用源。 恒成立,则只要求解错误!未找到引用源。 。由错误!未找到引用源。
2
3 2

源。

源。

C.错误!未找到引用 D.2 源。

B.0

C.2

D.4

, 错误!未找到引用源。

二、填空题。 6.已知定义域为 R 的函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 ,且错误!未 找到引用源。的导数错误!未找到引用源。 ,则不等式错误!未找到引用源。的解集 为 .

【答案】错误!未找到引用源。 【解析】本题主要考查函数的单调性以及导数在函数中的运用.由题意,错误!未找到引用 源。 ,且定义域为 R 的函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 构造函数 F(x)= 错误!未找到引用源。,则 F’(x)= 错误!未找到引用源。,故可知函数 F(x)在 R 上单调递减,且 F(1)=1,那么 F(2x)= 错误!未找到引用源。,可知当 2x>1 时,则 F(2x)<1,即错误!未找到引用源。,故可知不等式错误!未找到引用源。的解集为错误! 未找到引用源。 7.有一杠杆,在它的一端距支点 1m 处挂一个 49kg 的物体,同时加力于杆的此端使杆保持 水平平衡.若杠杆本身每米重 2kg,则所加的力最小时杠杆的长度是__________.

【答案】7m 【解析】本题考查生活中的优化问题.设杠杆长为 xm,则根据题意和力的平衡关系,得

xF(x)=49×1+2x×错误!未找到引用源。,即 F(x)=错误!未找到引用源。+x(x>0),令 F′
(x)=-错误!未找到引用源。+1=错误!未找到引用源。=0(x>0), 得惟一的极值点 x=7;因为最省力的杠杆长确实存在,所以当杠杆长 7m 时最省力 8. 从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x, y), 则点 M 取自阴影部分的概率为________.

3

【答案】错误!未找到引用源。 【解析】本题考查定积分的应用和几何概率.阴影部分的面积为 S 阴影=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=1,概率为 P=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

三、解答题:共 2 题 每题 12 分 共 24 分 9.函数错误!未找到引用源。 . (1)若错误!未找到引用源。,求曲线错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。的 切线方程; (2)若函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是增函数,求实数错误!未 找到引用源。的取值范围; (3)设点错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。满足错 误!未找到引用源。,判断是否存在实数错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用 源。为直角?说明理由. 【答案】(1)若错误!未找到引用源。 ,函数错误!未找到引用源。 ;可得切点为(1,-2); 错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。;

所以曲线错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。的切线方程为错误!未找到引用 源。, 即 x? y ?3? 0;
f ?( x) ? mx ln x ? 1 ?0 x 在 (0, ??) 恒成立,

(2)

?1 设 h( x) ? x ln x , h( x) 值域 [?e , ??) ,
?1 即 mt ? 1 ? 0 在 t ? [?e , ??) 恒成立,

4

?m ? 0 ? ?1 ? ?e m ? 1 ? 0 , 0 ? m ? e .

??? ? ??? ? (3) PA ? ( x1 ? m, f ( x1 )), PB ? ( x2 ? m, f ( x2 )) , ??? ? ??? ? PA ? PB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? f ( x1 ) f ( x2 )
? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? (mx1 ? 1)(mx2 ? 1)(ln x1 ? 1)(ln x2 ? 1) ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? (mx1 ? 1)(mx2 ? 1) ? (m 2 ? 1)( x1 x2 ? 1) ? 0
? 不存在实数 m ,使得 ?APB 为直角.

【解析】本题考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用,平面向量的数量积. 10.已知函数错误!未找到引用源。(其中错误!未找到引用源。) (1)若 k=-2,判断函数 f(x)在区间(0,+错误!未找到引用源。)上的单调性。 (2)若函数 f(x)有两个极值点错误!未找到引用源。求 k 的单调性。 (3)在(2)的条件下,试证明:0 错误!未找到引用源。. 【答案】(Ⅰ)若 k=﹣2,f(x)=﹣2e ﹣x ,则 f'(x)=﹣2e ﹣2x, 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)=﹣2e ﹣2x<0, 故函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (Ⅱ)函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,则 x1,x2 是 f′(x)=ke ﹣2x=0 的两个根, 即方程错误!未找到引用源。有两个根, 设φ (x)=错误!未找到引用源。,则 φ ′(x)= 错误!未找到引用源。, 当 x<0 时,φ ′(x)>0,函数φ (x)单调递增且φ (x)<0; 当 0<x<1 时,φ ′(x)>0,函数φ (x)单调递增且φ (x)>0; 当 x>1 时,φ ′(x)<0,函数φ (x)单调递减且φ (x)>0. 要使错误!未找到引用源。有两个根,只需 0<k<错误!未找到引用源。 故实数 k 的取值范围是 (0,错误!未找到引用源。). (Ⅲ)由(Ⅱ)的解法可知,函数 f(x)的两个极值点 x1,x2 满足 0<x1<1<x2, 由 f′(x)=k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=0,得错误!未找到引用源。, 所以 错误!未找到引用源。
5
x x x
2

x

错误!未找到引用源。+1 由于 x1∈(0,1),故 0<错误!未找到引用源。+1<1, 所以 0<f(x1)<1. 【解析】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值问题。

6



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