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辽宁省铁岭市六校协作体2013届高三上学期第三次联合考试 数学文


辽宁省铁岭市六校协作体 2013 届高三上学期第三次联合考试 数学文
数学(文科)试卷 命题学校:西丰高中 考试时间:120 分钟 考试说明: (1)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间为 120 分钟; (2)第Ⅰ卷和第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? x y ? log2 ( x ? 2) , B ? x x ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A ? B =(
2

?

?

?

?



A. ?

B.(2,4)

C.(-2,1)

D. (1,??)

2.已知条件p: x ? 1 ,条件q: A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ? 1 ,则p是q的 x

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

3.已知 l , m 表示直线, ? , ? 表示平面,则下列命题中不正确的是 ... A 若 l ∥ m, m ? ? ,则 l ? ? C.若 m ? ? , l ? ? ,则 l ∥ m B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ∥ ? D.若 l ? ? , ? ∥ ? ,则 l ? ?

4.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 的零点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0

5. 将函 数 y ? 2 cos( 2 x ?

?
3

) 的 图像 向左 平 移

? 个 单位 后得 到的 图 像对 应的 解析 式 为 6 ? 2

y ? 2 cos(2 x ? ? ) ,则 ? 的值可以是
A. ?

4? 3
2

B. ?
2

?
2

C. ?

?
3

D.

6.已知双曲线 程为 A. y ? ?

x y ? ? 1 的一个焦点在圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 5 ? 0 上,则双曲线的渐近线方 9 m

3 x 4

B. y ? ?

4 x 3

C. y ? ?

2 2 x 3

D. y ? ?

3 2 x 4

7.在△ABC 中,点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若 AB ? AC ? m AM ? 0 ,则实数 m 的 值是

1

(A) 3 (C) ?

(B)

3 2
(D) ? 3 2 2

3 2

8.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形,俯 视图为正方形,则这个几何体的体积为 A. C.

1 3

B.

2 3

1 主视图

1 侧视图

15 6

D.

62 24
1 2 1 ,设 x ? b ? , y ? a ? , 2 a 2b
C.

9. 已知 a ? 0, b ? 0 , a 、 b 的等差中项为 则 x ? y 的最小值为 ( ) 9 A. B. 5 2 10.已知偶函数 f(x)在区间

11 2
,则满足 )

D. 6

1 俯视图

上满足 (

的 x 的取值范围是 A. (-3, 1) C. (-3,3) B.

D. (1, 3)

11. 已 知 函 数 f (t ) 是 奇 函 数 且 是 R 上 的 增 函 数 , 若 x, y 满 足 不 等 式

f ( x2 ? 2x) ? ? f ( y 2 ? 2 y) ,则 x 2 ? y 2 的最大值是(
A. 3 B. 2 2 C. 8

) D. 12

12.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,若存在互不相等的实数 a,b,c,使 f(a)=f(b)=f(c) 成立,则 a+b+c 的取值范围是 A. [4,3 ? 2 ] C. (4,3 ? 2 ] 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.公差为 1 的等差数列{an } 满足 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 a5 ? a7 ? a9 的值等于 B. [4,3 ? 2 ) D. (4,3 ? 2 ) ( )

?0 ? x ? 3 ? 14.点 M ( x, y ) 是不等式组 ? y ? 3 3 表示的平面区域内一动点,定点 A(3, 3), O 是坐 ? ?x ? 3y ? 0 ???? ??? ? ? 标原点,则 OM ? OA 的取值范围
2



; 的 , ?? ) 则 R 值域为 [0, )

2 15. 设 二 次 函 数 f ( x )? a x ? 4 x c x ? ( ?

1 4 ? 的最小值 a c



.

16.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 70 分)。

17. (本小题满分 10 分) (1) 已知直线 l1 : mx ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : 2x ? 4m2 y ? 3 ? 0 垂直, 求直线 l1 的方程; (结果要求用一般式) (2)若直线 l : mx ? 2 y ? 1 ? 0被圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 所截得的线段长为

2 3 ,求直线 l 的方程.(结果要求用一般式)
18 (12 分). 设 ? ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 B; (2)若 A 是 ? ABC 的最大内角,求 cos(B ? C) ? 3 sin A 的取值范围。 19. (本小题共 12 分) 已知椭圆 G :

a b . ? sin A 3 cos B

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I 2 a b 3

的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积.

20 (本小题满分 12 分) 如图, 三棱锥 P ? ABC 中,PB ? 平面 ABC .?BCA ? 900
PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点

点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM // 平面 BEF ; (3)求三棱锥 F ? ABE 的体积.
C
3

P

E

F

B M A

21、 (本小题满分 14 分)已知数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2n ? 1 ? n ? N *? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? Sn ? an ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 6an ? Tn 的最大值及此时 n 的值. 22. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? a ln x ? bx(a ? 0) . (1)若 f (1) ? g(1) , f ?(1) ? g ?(1) ,求 F(x)=f(x)-g(x)的极小值; (2)在(1)的结论下, 是否存在实常数 k 和 m, 使得 f ( x) ? kx ? m 和 g ( x) ? kx ? m 成立?若 存在,求出 k 和 m,若不存在,说明理由。

参考答案
题 号 答 案 13.18 14. [0,18] , 15. 2,
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1 1 D

1 2 C

1

D

A

B

B

A

B

D

A

C

D

16

2
1 ,所以直线 l1 的方程为: 4

17 解: (1)∵ l1 ? l2 ? m ? 2 ? 2 ? (?4m ) ? 0 ? m ? 0或m ?

l1 : 2 y ? 1 ? 0或l1 : x ? 8 y ? 4 ? 0 ;

_______

5分

(2)由圆的方程得: ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ,所以圆心为 C (1, ?1), r ? 2 由题:
2 d o?l ? 3 ? r 2 ? ( 2

m ? 2 ?1 m ?4
2

)2 ? 3 ? 4 ? (m ? 1)2 ? m2 ? 4 ? m ? ?

3 2

∴ l 的方程为 l : ?

3 x ? 2 y ? 1 ? 0 即为 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 2

___10 分

18. (本题满分 12 分) 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理得:

a b ? ,?sin B ? 3 cosB ,------3 分 sin A sin B

4

? tanB ? 3, ∵0<B<π ? B ?
(2)在△ABC 中,B+C=π -A

? 3 ? ) 6

---------6 分

∴cos(B+C)+ 3 sinA= 3 sinA-cosA=2sin(A-

---------8 分 --------10 分

? 2? ? ? ? ≤ A< ,? ? A ? ? , 3 3 6 6 2 1 ? ? ∴ ? sin( A ? ) ? 1 ,2sin(A- )∈[1,2) , 2 6 6
由题意得: 即 cos(B+C)+ 3 sinA 的取值范围是[1,2)

--------12 分

19 解: (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2, 解得 a ? 2 3. 又 b2 ? a2 ? c2 ? 4.

c 6 ? . a 3

所以椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m.

?y ? x ? m ? 由 ? x2 得 y2 ?1 ? ? ? 12 4

4x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0.
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x 2 3m ?? , 2 4
m 4

y 0 ? x0 ? m ?
所以 PE⊥AB.

因为 AB 是等腰△PAB 的底边,

5

m 4 ? ?1. 所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 2?
解得 m=2。 此时方程①为 4x ? 12x ? 0.
2

解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以|AB|= 3 2 . 此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

所以△PAB 的面积 S= 20 解: (1)

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

? PB ? 面ABC ? PB ? AC ? ? ? AC ? 面PBC ? AC ? BE ? BC ? AC ? ? ? BE ? 面PAC ? PB ? BC , E为中点 ? BE ? PC ?
(2)取 AF 的中点 G,连接 CG,MG ,在 ?PCG 中,EF 为中位线,所以 EF ? CG ,在 ?AFB 中,MG 为中位线,所以 BF ? MG ,所以面 CMG // 平面 BEF ;故 CM // 平面 BEF . (3) VF ? ABE ? VB ? AEF ?

32 1 S ?AEF ? BE ? v ? 9 3

21、 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,

…………………………………2 分
n

n ?1 n n ?1 n ?1 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ,

?

? ?

?

? a1 ? 1 适合上式,
(2)

? ?an ? 的通项公式是 an ? 2n?1 .
bn ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ? 22 n ?1 ? 2n ?1 ,

…………………………………4 分 ………………………6 分

?Tn ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? ? ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2 n ?1 ?

2 ?1 ? 4n ? 1 ? 2n 2 ? 4n ? 2 n 2 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? 4n ? 2 n ? 1? 4 1? 2 3 3 3 2 2 n 1 2 n 17 n 故 6an ? Tn ? ? ? 4 ? 4 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 3? ? , 3 3 3 3

…9 分

6

?6an ? Tn ?max ? 5

所以当 n ? 1 或 2 时 ……………………12 分

22. (本题满分 15 分) ( 1 ) f ' (x ) ? 2x, g' ( x ) ?

a ? b , 代 入 可 得 : a=1,b=1 x

——

2 分

F( x ) ? x 2 ? ln x ? x, F' ( x ) ? 2x ?

1 2x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2x ? 1) ?1 ? ? x x x

? F( x ) 在 ? F( x ) 的
(2)

(0,1)递减, (1,??) 递增,———————4 分 极小值为 F(1)=0 ——————6 分 由(1)得, (1,1)是 f(x)和 g(x)的公共点, f(x)在点(1,1)处的切线方程是 y=2x-1

? 即







f(x)

?

2x-1



g(x)

?

2x-1









? f (x) ? 2x ? 1 ? x 2 ? 2x ? 1 ? (x ? 1) 2 ? 0 ,
? f(x) ? 2x-1
-------9 分

令 h(x)=g(x)-2x+1 ? ln x ? x ? 1 ,

h' (x) ?

1 1? x ?1 ? ,? h(x) 在(0,1)递增, (1,??) 递减, x x

? h(x) max ? h(1) ? 0 ,? h(x) ? 0,即 g(x) ? 2x-1 成立 ?存在

k=2,

m= ? 1

—12 分

7



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