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Egjsrya_a甘肃天水一中2011高三高考第一次模拟考试数学理试题


、| !_ 一个人总要走陌生的路,看陌生的风景,听陌生的歌,然后在某个不经意的瞬间,你会 发现,原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..

天水一中 2011 届高考第一次模拟考试试题



学(理科)

命题、审核:蔡恒录 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知集合 M={x|y+ x ? 1 =0 x,y∈R},N={y|x2+y2=1 x,y∈R}则 M∩N = A. ? B. R C.M D..N ( D.( -b, -a) ( ) ) ( )

2. 已知向量 m=(a,b),向量 m⊥n 且|m|=|n|,则 n 的坐标为 A.(a, -b) B.( -a,b) C.(b, -a) 3.已知函数 f(x)= ?
? log ? 3
1 9
2 x

x

( x ? 0) x ? 0

则 f[f(

1 4

)]的值是
1 9

A.9

B.

C.-9

D.-

4. 已知 ? , ? ? R ,则“ ? ? ? ”是“ tan ? ? tan ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

”的





C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 AB=BC=CD,且线段 BC 是 AB 与 CD 的公垂线段,若 AB 与 CD 成 60°角,则异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ( ) A.45° B.60° C.90° D.45°或 60° 6.函数 y=
e ?e
x ?x

的反函数



) 。

2

A.是奇函数,它在(0, +∞)上是减函数 B.是偶函数,它在(0, +∞)上是减函数 C.是奇函数,它在(0, +∞)上是增函数 D.是偶函数,它在(0, +∞)上是增函数 7.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12 的值为 ( A.20 B.22 C.24 D.28 8. 若极限 lim (a2-2a)n 存在,则实数 a 的取值范围是
n? ?

) )



A.(1- 2 , 1+ 2 ) C.[1- 2 , 1]∪(1, 1+ 2 )

B.(1- 2 , 1)∪(1, 1+ 2 ) D.[1- 2 , 1+ 2 ]

9.若 F(c, 0)是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为 M,最小值为 m,则椭圆上与 F

点的距离等于
b
2

M ?m 2

的点的坐标是
b
2





A.(c, ±

)

B.(-c, ±

)

C.(0, ±b)

D.不存在

a

a

? x? 0 ? 10.P 是 圆 x ? y ? 1 上 一 点 , Q 是 满 足 ? y ? 0 的 平 面 区 域 内 的 点 , 则 |PQ| 的 最 小 值 为 ?x ? y ? 2 ?
2 2

( A.2 B. 2 ? 1 C. 2 ? 1 D. 2 2 ( B.(log2x)′=
(1 ? 2 i ) 1? i
2



11.下列求导正确的是 A.(x+
1 x

)

)′=1+

1 x
2

1 x ln2
2

C.(3x)′=3xlog3x

D.(x2cosx)′=-2xsinx

12. 若 i 为虚数单位,则

?

(2 ? i) 1? i

等于





A. 3 ? 4 i B. ? 3 ? 4 i C. 3 ? 4 i D.- 3 ? 4 i 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+?+anxn,且 a1+a2+?+an-1=29-n,则 n=_____________. 14. 用 6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛” (即图中 A、B 所示区域) 用相同颜色,则不同的涂法共有_________种。 (用数字作答) 15.已知 f ( x ), g ( x ) 奇函数 , f ( x ) ? 0的解集为 ( a , b ), g ( x ) ? 0 的解集为
2

(

a

2

,

b 2

), 其中 b>2a,则不等式 f ( x ) g ( x ) ? 0的解集是



2

16. 地球北纬 45 圈上有两点 A 、 B , A 在东经 130 处, B 在西经 140 处, 点 点 若地球半径为 R , A , B 则 两点的球面距离为 ______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? (sin x ? cos x ) ? 2 cos
2 2

?

?

?

x ? 2.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T; (2)当 x ? [

?
4

,

3? 4

] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值。

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥平面 且 PA=AB=2,E、F 分别为 AB、PC 的中点。 (1)求异面直线 PA 与 BF 所成角的正切值。

P

ABCD ,

F A E B

O D C

(2)求证:EF⊥平面 PCD。 19.(本小题满分 12 分) 一项"过关游戏"规则规定: 在第 n 关要抛掷骰子 n 次, 若这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 N*), 则算过关. (1)求在这项游戏中第三关过关的概率是多少? (2) 若规定 n≤3, 求某人的过关数ξ 的期望. 20. (本小题满分 12 分) 数列 { a n }, { b n } 满足: a 1 ? 2 , 2 a n ? 1 ? a n ? n , b n ? a n ? n ? 2 ( n ? N *) (1)求数列 { b n } 的通项公式; (2)设数列 { a n }, { b n } 的前 n 项和分别为 An、Bn,问是否存在实数 ? ,使
An ? ?B n n } 为等差数列?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。
n ?1

+1 (n∈

得{

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2
2 (2)已知 a ? 1 ,求证:在区间 (1, ? ? ) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) ? ax 的图象的下方.

x

2

? ln x . (1)求函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最大值、最小值;

22. (本小题满分 12 分) 已知点 F(1,0) ,直线 l : x ? 2 ,设动点 P 到直线 l 的距离为 d ,已知
PF ? 2 2 d ,且

2 3

? d ?

3 2



(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 PF ? OF ?
1 3

,求向量 OP 与 OF 的夹角; 段MG

(3)如图所示,若点 G 满足 GF ? 2 FC ,点M满足 MP ? 3 PF ,且线 的垂直 平分线经过点 P,求 ? PGF 的面积.

天水一中 2008 级高三第二学期第一次模拟考试试题答案


一、选择题 1——5 DCBDD 二、填空题 13、4 6——10 CCBCC
b b 2

学(理科)

11——12 BA
?
3

2 14、216 15、 ( a , ) ? ( ?

,? a )
2

16、

R

2

三、解答题 17、 (10 分)解: (1) f ( x ) ? 1 ? 2 sin x cos ? ( 2 cos
? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
2

x ? 1) ? 1

?
4

) ????????3 分

∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T= ? ????????4 分 (2)∵ ∴
3? 4

?
4

? x ?

3? 4

.

? 2x ?

?
4

?

7? 4

????????6 分
2 2

∴ ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)?

????????8 分

∴?

2 ? f ( x) ? 1.

故 f ( x ) 的最大值为,最小值为- 2 ????????10 分 18、 (12 分)解: (1)如图,连结 AC 过点 F 作 FO⊥AC, ∴面 PAC⊥面 ABCD ∵PA⊥平面 ABCD, ∴平面 PAC⊥AC,垂足为 O, 连结 BO,则 FO⊥平面 ABCD,且 FO//PA。 ∴∠BFO 为异面直线 PA 与 BF 所成的角??????4 分 在 Rt△BOF 中,OF ? OB= 2 ,则 tanBFO=
1 2 OB OF ? 2 ??????6 分

P

F A E B

PA=1,

O D C

(2)连结 OE、CE、PE。 ∵E 是 AB 的中点, ∴OE⊥AB 又 FO⊥平面 ABCD, ∴EF⊥AB。 ∵AB//CD ∴EF⊥CD 在 Rt△PAE 和 Rt△CBE 中,PA=CB,AE=BE, ∴Rt△PAE≌Rt△CBE, ∴PE=CE??????????10 分 ∴又 F 为 PC 的中点, ∴EF⊥PC。 故 EF⊥平面 PCD。????????12 分 19、 (12 分).解(1)设第三关不过关事件为 A, 则第三关过关事件为 .由题设可知: 事件 A 是指第三关出现 点数之和没有大于 5.因为第三关出现点数之和为 3,4, 5 的次数分别为 1,3,6 知:

P(A)=

1+3+6 5 5 103 = , ∴P()=1- = . 216 108 108 108

1+2 2 1 2 (2)设第一关不过关的事件为 B, 第二关不过关的事件为 C.依题意, 得 P(B)= = , P()= P( C) = = 6 3 3 36 1 1 11 , P()=1- = 12 12 12 ∴P(ξ =0)=P(B)= . ∵n≤3, ∴ξ 的取值分别为 0,1,2,3

1 2 1 1 , P(ξ =1)=P(?C )= ? = 3 3 12 18

2 11 5 55 P(ξ =2)= P(? ?A) = ? ? = 3 12 108 1944 2 11 103 1133 P(ξ =3)= P(? = ? ? = ?) 3 12 108 1944 故ξ 的分布列: ξ P 0 1 3 1 1 18 2 55 1944 3 1133 1944

1 1 55 1133 3617 Eξ =0? +1? +2? +3? = 3 18 1944 1944 1944 20、 (12 分)解: (1)由 b n ? a n ? n ? 2 , 得 a n ? b n ? n ? 2 ????????1 分 ∵ 2 a n ?1 ? a n ? n , ∴ 2 [ b n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ] ? b n ? 2 n ? 2 , 即 b n ? 1 ? ∴ { b n } 是首项为 b1 ? a 1 ? 1 ? 3 , 公比为
n ?1 故 b n ? 3 ( ) ????????6 分

1 2

b n ??????4 分

1 2

是等比数列。

1

2

(2)∵ a n ? b n ? n ? 2 , ∴ An ? B n ?
3 (1 ?
n ( n ? 3) 2

????????8 分

1 2 1 2
n

) ? 6 (1 ?

又 Bn ?
1?

1 2
n

),



An ? ?B n n
n?3 2

(1 ? ? ) B n ? ? n
1 2 n
n

n ( n ? 3) 2

6 (1 ? ? )( 1 ? ?

)

?

??????10 分

故当且仅当 ? ? ? 1时 , {

An ? ?B n n

} 为等差数列????????12 分

21、 (12 分)解: (1)∵ f ? ( x ) ? x ? 当 x ? [1, e ] 时, f ? ( x ) ? 0 . ∴ f max ( x ) ? f ( e ) ? 1 ?
e
2

1

?

x ?1
2

?????????????????2 分 ????4 分

x x ∴ f ( x ) 在区间 [1, e ] 上为增函数.
1 2
2

2

, f min ( x ) ? f (1) ?

. ,

?????????????6 分

(2)令 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? 则 F ?( x ) ? x ?
?a ?1
1 x ? 2 ax ?

1 2

x

2

? ln x ? ax
2

(1 ? 2 a ) x x

?1

. ???????????????8 分

? 1 ? 2a ? ?1
1 2

所以, x ? 1 时,F ? ( x ) ? 0 . F ( x ) 在区间 (1, ? ? ) 上为减函数. 当 ∴ ???10 分又函数 F ( x ) 在 x ? 1 处连续,且 F (1) ?
? 0 ? a ? 0 .----------------------11 分 1 2 x
2

∴ F ( x ) ? F (1) ,即

? ln x ? ax

2

? 0 ,即

1 2

x

2

? ln x ? ax

2

所以在区间 (1, ? ? ) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) 的图象的下方.???12 分 22、 (12 分) 解: (1)设动点 P 的坐标为(x,y),则

PF ? ?

( x ? 1) ? y , d ? 2 ? x ,
2 2 2 2

( x ? 1) ? y 2? x x
2

?

2 2

.

――2分 ――3 分

化简得 又 2 3

? y

2

?1 3 2 ,? 1 2 x
2

2 ? d ? 2? x ? ? x ? ? y
2

4 3

. 1 2 ? x ? 4 3

――4 分

即动点 P 的轨迹方程为

? 1(

). ―――5 分

2

( 2 ) ? PF ? (1 ? x , ? y ), OF ? (1, 0 ), OP ? ( x , y ), ? PF ? OF ? (1 ? x ) ? 1 ? ( ? y ) ? 0 ? 1 ? x ? ? x ? 2 3 ? OP ? ( 2 3 , 7 3 x
2

―――6 分

1 3

,

, 代入

? y 2 3

2

? 1,得 y ? ? 7 3 ? 2 11 11 ),

7 3

,

2 )或 ( ,?

―――7 分

? cos ? OP , OF ??

OP ? OF OP ? OF

,

? OP 与 OF 的夹角为 ( 3 )由已知,得

arccos

2 11 11

.

―――9 分 ―――10 分

GF ? 2 FC ? 2, G 为左焦点, ?

? 2 ? PG ? PM ? 3 PF ? PF ? ? ? 2 又?? ?? 3 2 ? PG ? PF ? 2 ? 2 ? PG ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 又 ? GF ? 2 ,? 有 P F ? GF ? PG , ? ? PGF 为直角三角形。 ? S ? PGF ? 1 2 GF ? PF ? 2 2 。

―――13 分 ―――14 分



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