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2.1.1直线的方程-【百强校】安徽省淮北市第一中学高中数学必修二习题课学案设计


直线的方程习题课
一、学习目标
1、知识与技能: (1)掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,并能根据条件熟
练地求出直线的方程.(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系,能在整体上把握直线的方程.(3)掌握直线方程各种形式之间的互 化.
2、过程与方法:在应用旧 知识的探究过程中获得新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情感态度与价值观; (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;(2)培养用联系的观点看问题。 二、学习重点、难点:
(1)重点:直线方程的点斜式、两点式、一般式,以及根据具体条件求出直线的方程. (2)难点:直线 方程特殊形式的限制条件,直线方程的整体结构,直线与二元一次方程的关系证明. 三、 使用说明及学法指导:
1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和 疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。3、要求小班、重点班学生全部完成,平行班学生完成 A、B 类问题。4、 A 类是自主探究,B 类是合作交流。
四、知识链接: 1、求直线斜率的方法
①定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率 k=tanα. ②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),且 x1≠x2,则斜率 k= y2 ? y1 .
x2 ? x1 2. 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式及适用范围。
3、两条直线的位置关系

注:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的 方程是 Ax+By+m=0 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程是 Bx-Ay+n=0
五、学习过程:
A 例 1.(点斜式) 直线 l 在 y 轴上的截距为 3,且倾斜角? 的正弦值为 4 ,求直线 l 的方程。 5
注:1.求解本例时不要混淆概念,倾斜角应在[0 ,? ) 内,从而 cos? 有两个解。
2.在求直线方程时,不论选取何种方法,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式. A 例 2(截距式. 斜截式. 两点式)已知△ABC 的三个顶点是 A(3,-4)、B(0,3)、C(-6,0),求它的三条边所 在的直线方程.
A 例 3. (注意直线方程的设法) 求经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 l2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点,且分别与直线 2x ? y ?1 ? 0 (1)平行,(2)垂直的直线方程。
C 例 4.(对称问题)已知点 A 的坐标为(-4,4),直线 l 的方程为 3 x + y -2=0,求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 l 关于点 A 的对称直线 l? 的方程.
练习:一条光线从点 P(6,4)射出,与 X 轴相交于点 Q(2,0),经 X 轴反射,求入射光线和反射光线所在的直线方程.(书 101 页 11) 六、达标测试 A1.下面命题中正确的是………………( ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示.

B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程 x ? y ? 1 表示 ab
D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示

A2.直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是(

A.

B.

C.

) D.-2,-3

A3.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( )

(A)2x-3y=0;

(B)x+y+5=0;

(C)2x-3y=0 或 x+y+5=0

(D)x+y+5 或 x-y+5=0

A4.与直线 l:3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为(

)

(A)3x+4y-5=0

(B)3x+4y+5=0

(C)-3x+4y-5=0

(D)-3x+4y+5=0

(D)

A5.点 (a, b) 关于直线 x+y=0 对称的点是(



A、 (?a, ?b)

B 、 (a, ?b)

C、 (b, a)

D、 (?b, ?a)

A6.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 1 个单位后,又回到原来位置,那么 l 的斜率为( )

(A)- 1 ; 3

(B)-3;

(C) 1 ; 3

(D)3

B7.方程( a -1)x-y+2 a +1=0( a ∈R)所表示的直线

A.恒过定点(-2,3)

B.恒过定点(2,3)

C.恒过点(-2,3)和点(2,3)

D.都是平行直线

()

A8.以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(



A 3x-y-8=0

B 3x+y+4=0

C 3x-y+6=0

D 3x+y+2=0

[来源:学+科+网]

A9.已知 P(3,m )在过 M(2,-1)和 N(-3,4)的直线上,则 m 的值是



A10. ???C 的三个顶点分别为 ???3, 0? , ??2,1? , C ?1, 6? .求 ?C 边上中线 ?D 所在的直线方程
总结评价 学后反思、自查自纠: 【励志良言】当你感到悲哀痛苦时,最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。

【答案 21】直线的倾斜角与斜率

问题 3

定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的

倾斜角.[0。,180。)

规定 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 它的倾斜角为 00 .当直线 L 与 x 轴垂直时, . 倾斜角为 900

问题 4

坡度(比)?

升高量 前进量

一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. k ? tan a ? y2 ? y1

问题 5

x2 ? x1



1:解:直线

AB

的斜率 kAB

?

1? 2 ?4 ? 3

?

1 7

直线

BC

的斜率 kBC

?

?1?1 4

?

?

1 2

直线

CA

的斜率

kCA

?

?1? 2 0?3

?1

由 kAB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角;由 kBC ? 0 知,直线 BC 的倾斜角为钝角.

例 2 解:取直线上某一点为 A1 的坐标是 (x1, y1) ,根据斜率公式有: x1 ? y1

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1 的坐标是(1,1).过原点及 A1(1,1) 的直线即为 l1

l2 是过原点及 A2 (x2 , y2 ) 的直线, l3 是过原点及 A3 (x3, y3 ) 的直线, l4 过原点及 A4 (x4 , y4 )

的直线.
达标训练:1,D 2, A 3, B 4, B 5,KAB= 3 3
【答案 22】直线的倾斜角与斜率习题课

KAC= ? 3 3

6, (-2,1)

题型一

(1)k ? 3 2
(2)k ? ? 5 3
(3)不存在

题型二 (D)
变式:当? ?(0,?),? ? ? ??, 当? ? 0,? ? 0
题型三
(1)? ?[0, ? ) ?[3? ,? ) 24
(2)? ?[0, ? ] ? (? ,? ) 42
(3)? ?[0, ? ] ? ( 2? ,? ) 33

题型四 a ? 2或a ? 7 2

题型五 解:设D点坐标为(x, y)

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

k AB

? 3, kCD

?

x

y ?

3

,

k

AB

? kCD

?

?1

k AD

?

y ?1 x ?1 , kBC

?

?2, kAD

?

kBC

得???2x x??3 yy

? ?

3 1

D(0,1)

题型六 k ? ?1或k ? 3 变式 k ?1
达标训练:
5
1.C 2.D 3.B 4.B 5. 12 6.2
7. A(86 , 25), A(18 , 29) 13 13 5 5
【答案 23】直线的点斜式方程
问题 1、

学生回顾,并回答。然后教师指出,直线的方程,就是直线上任意一点的坐标 (x, y) 满足的关系式。

问题 2、学生根据斜率公式,可以得到,当 x

?

x0 时, k

?

y x

? ?

y0 x0

,即 y

?

y0

? k(x ?

x0 )

问题 3、学生验证,教师引导。然后教师指出方程(1)由直线上一定点及其

叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form).[来源:学_科_网]

y

问题 4、 学生分组互相讨论,然后说明理由。

P0

问题 5、(1) x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程是什么?

(1) 斜率确定,所以

(2)经过点 P0 (x0 , y0 ) 且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是什么? O

(3)经过点 P0 (x0 , y0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是什 y

教师学生引导通过画图分析,求得问题的解决。

P0

x 么?

O

x

A例1.直线l经过点P(-3,2),且倾斜角为?=45?,求直线l的点斜式方程,并画出直线l 学会运用点斜式方程
解决问题,清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件:(1)一个定点;(2)有斜率。同时掌握已知直线方 程画直线的方法。 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件?题目那些条件已经直接给予,那些条件还有待已去求。 在坐标平面内,要画一条直线可以怎样去画。 问题 7、 引入斜截式方程,让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程,是点斜式方程的一种特 殊情形。学生独立
求出直线 l 的方程: y ? kx ? b (2)

再此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程(2)由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内 涵。 问题 8、深入理解和掌握斜截式方程的特点 问题 9、使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。 问题 10、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.学生思考、讨论,教师评价、归纳概括。
B例2.直线l1: y ? k1x ? b1,l2 : y ? k2x ? b2, 试讨论:(1)l1 Pl2的条件是什么? (2)l1 ? l2的条件是什么?
掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行,或相互垂直;进一步理解斜截式方程中 k ,b 的几何意义。

教师引导学生分析:用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考(1)l1 // l2 时, k1 , k2 ;b1 ,b2 有何关系?(2)l1 ? l2

时, k1 , k2 ;b1 ,b2 有何关系?在此由学生得出结论:

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且 b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

达标测试
1.(1)y+1= 2(x ? 3)(2) y ? 2 ? 3 (x ? 2) 3

(3)y-3=0

(4)y+2=- 3(x ? 4)

2. (1)1, 45?(2) 3, 60? 3.(1) y ? 3 x ? 2(2) y ? ?2x ? 4
2 4.(1)l1 / /l2 (2)l1 ? l2

5. 2x-5y=0 或 y-2=-(x-5)

6.y

?

9 13

?

?2(x

?

19 13

)

【答案 24】直线的两点式方程

问题 1:(1)

y

?

2

?

3 (x 2

? 1) (2)

y

?

y1

?

y2 x2

? ?

y1 x1

(x

?

x1 )

问题 2:当 x1 ? x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为: x ? x1 ;当 y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方程

为: y ? y1

例 1 x ? y ? 1例 2 5x ? 3y ? 6 ? 0, x ?13y ? 5 ? 0 ab
达标检测:

1 (1) y ?1 ? x ? 2 ,(2) y ? 5 ? x ? 0 2 (1) x ? y ? 1,(2) x ? y ? 1

?3?1 0? 2 0?5 5?0

23

?5 6

3(1) x ? y ? 1,(2) x ? y ? 1或 x ? y ? 1

?3 5

53

57

4.. x ? y ? 1或 x ? y ? 1

?1 ? 2

21

5.x ? y ? 1或2x ? 3y ? 0

【答案 25】直线的一般式方程
问题1任何一条直线都可以用一个关于 x, y 的二元一次方程表示;同时,任何一个关于 x, y 的二元一次方程都表

示一条直线。

问题 2:直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表示与 x 轴垂直

的直线。

问题 3(1)A=0 且 B≠0 且 C≠0(2)B=0 且 A≠0 且 C≠0

(3)A=0 且 B≠0 且 C=0(4)B=0 且 A≠0 且 C=0

例 1 y ? 4 ? ? 4 (x ? 6),4x ? 3y ?12 ? 0 3

例 2 y ? 1 x ? 3;k ? 1 ;a ? ?6;b ? 3

2

2

检测:

1.(1) y ? 2 ? ? 1 (x ? 8),化成一般式x ? 2 y ? 4 ? 0 2
(2) y ? 2 ? 0

(3)x ? y ?1 ? 0

(4)2x ? y ? 3 ? 0

2.(1)-3,5;(2) 5 ,?5;(3) ? 1 ,0;(4) 7 , 2

4

2

63

3(1)当 B≠0 时,直线 l 的斜率是 ? A ;当 B=0 时,直线 l 的斜率不存在。 B
(2)当 C=0 进,A,B 不全是零时,方程 Ax+By+C=0 表示通过原点的直线。

习题 3。2

1.(1) 3x ? 3y ? 6 ? 8 3 ? 0 (2)x ? 2 ? 0 (3)4x ? y ? 7 ? 0 (4)2x ? y ? 6 ? 0 (5) y ? 2 ? 0 (6)3x ? 4 y ?12 ? 0

10(1)4x+y-14=0 (2)7x-2y-20=0 (3)x-2y-3=0

【答案 26】两条直线的交点坐标

知识链接:

1. 点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式;

2. 相交和平行,相交,平行和异面

学习过程:

问题 1:如果两条直线 A1x+B1y+C1=0,和 A2x+B2y+C2=0 相交,由于交点同时在两条直线上,交点坐标一定

是它们的方程组成的方程组

A1x+B1y+C1=0

A2x+B2y+C2= 0 的解;

反之,如果方程组 A1x+B1y+C1=0

A x+B y+C = 0 2

2

2

[来源:Z|xx|k.Com]

只有一个解,那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点
例 1 解:解方程组:

?3x ??2x

? ?

4y ?2 ? 0 y?2?0

,解得:

?x

? ?

y

? ?

?2 2

所以两条直线的交点是 M(-2,2)。

例2解:解方程组

?x ? 2y ? 2 ? 0 ??2x ? y ? 2 ? 0



?x

? ?

y

? ?

2 2

∴l1与l2的交点是(2,2)设经过原点的直线方程为y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为y= x

例3证明:联立方程

???2xx??23yy??15??00得???xy

? 1 即M(1,? ?1

1)

代入:x+2y-1+λ(2x-3y-5)= 0得 0+λ·0=0 ∴M点在直线上[来源:学。科。网] 问题2(1)×B2-(2)×B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1 讨论:⒈当A1B2-A2B≠0时,方程组有唯一解 ⒉当A1B2-A2B=0,B1C2-B2C1≠0 时,方程组无解 ⒊当A1B2-A2B=0,B1C2-B2C1=0时,方程组有无穷多解。
例4

解:(1)相交交点坐标 ?? 5 , 5 ?? ;(2)平行,无交点(3)同一条直线,无穷多解 ?3 3?

达标检测
1习题3。3 1(1)直线l1与l2相交,交点坐标为(-2,3)
(2)两条直线平行 (3)两方程表示同一条直线
2(1)A=3,C≠-2;(2)A≠3;(3)A= ? 4 3
3(1) m ? ?7,且m ? ?1;(2)m ? ?7;(3)m ? ? 13 3
2 x+y-1=0

3

解法一:解方程组

?2x ? ??x ? 2

y y

? ?

7 1

? ?

00得???xy

? ?

3 ?1

∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)又∵直线 x+2y-5=0 的斜率是-1/3

∴所求直线的斜率是 3,所求直线方程为 y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0 解法二:所求直线在直线系 2x-y-7+λ(x+2y-1)=0 中

经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0

? ? 2 ? ? ? 3解得 2? ?1

λ= 1/7 因此,所求直线方程为 3x-y-10=0

【答案 27】点到直线的距离
学习过程:

A

问题

1

x0

?

(?

C) A

问题2

y0

? (? C ) B

问题 3

d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

2???1??1? 2 ?10

例 1 解: ①根据点到直线的距离公式,得 d ?

22 ?12

?2 5

②直线 3x=2 平行于 y 轴,

? d ? 2 ? (?1) ? 5

3

3

③直线 2y+3=0 平行于 x 轴,

?

d ? 2 ? (? 3) ? 7 22

问题 4 夹在两条平行直线间公垂线段的长。

问题 5 可转化为点到直线的距离。

例 2 解:将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率 :

l1 的斜率 k1= 2 ,l2 的斜率 k2= 2 ,

7

7

因为 k1=k2,所以 l1∥l2

先求 l1 与轴的交点 A 的坐标,容易知道点 A 的坐标为(4,0)

6 ? 4 ? 21? 0 ?1

点 A 到直线 l2 的距离为:d=



23

? 23

53

62 ? 212

3 53 159

所以,ll 与 l2 间的距离为 23 53 。 159
问题 6 任意两条平行直线都可以写成如下形式

l1 :Ax+By+C1= 0
l2 :Ax+By+C2=0 (C1 ? C2 )
则两平行线 l1 与 l2 间的距离为:

d ? PQ ? C2 ? C1 A2 ? B2

例 3 解:设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC ? AB h

AB ? (3 ?1)2 ? (1 ? 3)2 ? 2 2, AB边上的高h就是C到AB的距离。 AB边所在直线的方程为y ? 3 ? x ?1
1?3 3?1
达标训练

1. 24 2. 5 13 5 26
3 解:在直线 2x-7y-6=0 上任取点 P(x0,y0),则 2 x0-7 y0-6=0,点 P(x0,y0)到直线 2x-7y+8=0 的距离是

4.3x±4y=0 5.x+y-3=0 或 3x+y-5=0 6.A 点关于 x=0 的对称点为(-3,-1), A 点关于 y=x 的对称点为(-1,3)都在 BC 上 BC 的方程为 x-2y+1=0 所以 B(0,0.5)C(1,1)

【答案 28】直线的交点坐标与距离公式 习题课 例 1 解:BC 的中点 D(1,3)AD=2 2

例 2 解:分两种当与 AB 平行时, x ? 3y ? 5 ? 0 当过 AB 中点时,x=-1

例 3 解:4x+y-11=0

例 4 解:交点(-1,2)方程为 5x ? 3y ?1 ? 0

达标训练 A(-1,5)

1D,2B,3D,4A,5 (3,? 1) 或 (? 3,1) ,

55

55

6 解:由题得: AB ? ?3 ? (?1)?2 ? (2 ? 5)2 ? 5 .

∵ S△ ABC

?

1 2

AB gh ? 10 ,∴h ? 4 ( h 为点 C 到直线 AB 的距离).

设点

C

坐标为

(

x0,y0

)



AB

的方程为

y

?

2

?

?

3 4

(

x

?

3)

,即

3x

?

4

y

?17

?

0





??3x0 ? y0 ?

? 3x0 ? 4 y0

??

5

3 ?

?0 17

?

4



解得

? x0

? ?

y0

? ?

?1

2

? ? ?

x0

?? y0

? ?

5 3 8



∴ C 点坐标为 (?1,0) 或 (5,8) . 3
7 解:由题,若截距为 0 ,则设所求 l 的直线方程为 y ? kx .

∵ 4k ? 3 ? 3 2 , k ? ?12 ? 3 14 .

k2 ?1

2

若截距不为 0 ,则设所求直线方程为 x ? y ? a ? 0 .

∵ 4 ? 3 ? a ? 3 2 ,∴a ?1或 a ?13, 2

∴所求直线为 y ? ?12 ? 3 14 x , x ? y ?1 ? 0 或 x ? y ?13 ? 0 . 2
8 解:当过 P 点的直线垂直于 x 轴时, Q 点到直线的距离等于 4 ,此时直线的倾斜角为 ? , 2
当过 P 点的直线不垂直于 x 轴时,直线斜率存在,
设过 P 点的直线为 y ? k(x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 .

?2k ? 4 3 ? 2k

由d ?

3

? 4 ,解得 k ? 3 .

k2 ?1

3

∴直线倾斜角为 ? . 6
综上,该直线的倾斜面角为 ? 或 ? 62

9. 求经过两直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 和 l2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且与直线 l3 : 3x ? 4y ? 5 ? 0 垂直的直线 l 的

方程.

解法一:解方程组

?x ??x

? ?

2y?4 ? 0 y?2?0

的交点

P

(0,2).

∵直线 l3

的斜率为

3 4

,∴直线

l

的斜率为

?

4 3



∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? 4 (x ? 0) ,即 4x ? 3y ? 6 ? 0 . 3

解法二:设所求直线 l 的方程为 x ? 2y ? 4 ? ?(x ? y ? 2) ? 0 .

由该直线的斜率为 ? 4 ,求得 ? 的值 11,即可以得到 l 的方程为 4x ? 3y ? 6 ? 0 .
3 10 试求直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 ,关于直线 l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程.

答案:解法一:由方程组

?x ? y ?2 ? 0 ??3x ? y ? 3 ? 0



? ?? ? ? ??

x y

? ?

? ?

5 2 9 2

∴直线

l1



l2

的交点为

A

(

?

5 2



?

9 2

).

设所求直线 l 的方程为 y ? 9 ? k(x ? 5) ,即 2kx ? 2y ? 5k ? 9 ? 0 .

2

2

由题意知:

l1



l2



l2



l

的角相等,则

1

3 ?

?1 3?1

? k ?3 1? 3k

,∴k

?

?7 .

即所求直线 l 的方程为 7x ? y ? 22 ? 0 .

解法二:在 l1 上任取点 P ( x1 , y1 )( P ? l2 ),

设点 P 关于 l2 的对称点为 Q ( x' , y' ).



???3gx1

? ?

y'

?

?? x' ?

?
2 y1 x1

x' ? g3 ?

y1 ? 2
?1

y'

?

3

?

0

解得

? ??

x1

?

? ??

y1

? ?

?4x' ? 3y' ? 9 5
3x' ? 4y' ? 9 5

又点 P 在 l1 上运动,∴ x1 ? y1 ? 2 ? 0 .

∴ ?4x' ? 3y' ? 9 ? 3x' ? 4 y' ? 3 ? 2 ? 0 .

5

5

即 7x' ? y' ? 22 ? 0 ,也就是 7x ? y ? 22 ? 0 .

11. 直线 l 与直线 x ? 3y ?10 ? 0 , 2x ? y ? 8 ? 0 分别交于点 M , N ,若 MN 的中点是 (0,1) ,求直线 l 的方程.

答案:解:设直线 l 的方程为 y ?1 ? kx 或 x ? 0 ,

?y ??x

? kx ?3y

?1 ?10

?

0

?

x

?

7 3k ?1



?y ? kx ??2x ? y

?1 ?8

?

0

?

x

?

k

7 ?

2



由 7 ? 7 ? 0 ,得 k ? ? 1 ,又直线 x ? 0 不合题意.

3k ?1 k ? 2

4

∴所求直线方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 .

12.已知 A(?3,4) , B(2,3) ,在 x 轴上找一点 P ,使 PA ? PB ,并求 PA 的值;

答案:设点 P 为 (x,0) ,则有

PA ? (x ? 3)2 ? (0 ? 4)2 ? x2 ? 6x ? 25 ,

PB ? (x ? 2)2 ? (0 ? 3)2 ? x2 ? 4x ? 7 . 由 PA ? PB 得 x2 ? 6x ? 25 ? x2 ? 4x ? 7 ,解 得 x ? ? 9 .
5

即所求点 P 为 (? 9,0) 且 PA ? (? 9 ? 3)2 ? (0 ? 4)2 ? 2 109

5

5

5

【答案 29】直线的方程习题课

例 1 解: Q sin? ? 4 ,Q cos? ? ? 3

5

5

∴直线的斜率 k ??4 故所求直线 3

的方程为 y ??4 x?3 即 3

4x ?3y ?9 ? 0 或 4x ?3y ?9 ? 0

A 例 2. 解:如下图,因△ABC 的顶点 B 与 C 的坐标分别为(0,3)和(-6,0),故 B 点在 y 轴上,C 点在 x 轴上,即
直线 BC 在 x 轴上的截距为-6,在 y 轴上的截距为 3,利用截距式,直线 BC 的方程为 x + y =1, ?6 3
y
B (0,3)

C

O

(-6,0)

x A(3,-4)

化为一般式为 x-2y+6=0.

由于 B 点的坐标为(0,3),故直线 AB 在 y 轴上的截距为 3,利用斜截式,得直线 AB 的方程为 y=kx+3.

又由顶点 A(3,-4)在其上,所以-4= 3k+3.故 k=- 7 . 3

于是直线 AB 的方程为 y=- 7 x+3,化为一般式为 7x+3y-9=0. 3
由 A(3,-4)、C(-6,0),

得直线 AC 的斜率 kAC= ? 4 ? 0 =- 4 . 3 ? (?6) 9

利用点斜式得直线 AC 的方程为
y-0=- 4 (x+6), 9
化为一般式为 4x+9y+24=0. 也可用两点式,得直线 AC 的方程为

y ? 0 = x ? (?6) , ? 4 ? 0 3 ? (?6)

再化简即可.

A



3.解:由

?x ??x

? ?

y y

? ?

4 2

? ?

0 0

,得

?x

? ?

y

?1 ?3

;…………………………………………….….2′

∴ l1 与 l2 的交点为(1,3)。…………………………………………………….3′

(1) 设与直线 2x ? y ?1 ? 0 平行的直线为 2x ? y ? c ? 0 ………………4′ 则 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=1。…………………………………………………..6′ ∴所求直线方程为 2x ? y ?1 ? 0 。…………………………………………7′ 方法 2:∵所求直线的斜率 k ? 2 ,且经过点(1,3),…………………..5′ ∴求直线的方程为 y ? 3 ? 2(x ?1) ,……………………….. …………..…6′

即 2x ? y ?1 ? 0 。………………………………………….….. ……………7′

(2) 设与直线 2x ? y ?1 ? 0 垂直的直线为 x ? 2y ? c ? 0 ………………8′

则1? 2? 3 ? c ? 0 ,∴c=-7。…… ……………………………………….9′ ∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 。……………………………………..…10′

方法 2:∵所求直线的斜率 k ? ? 1 ,且经过点(1,3),………………..8′ 2
∴求直线的方程为 y ? 3 ? ? 1 (x ?1) ,……………………….. ………….9′ 2

即 x ? 2 y ? 7 ? 0 。………………………………………….….. ……….10′

例 4.解:(1)设点 A′的坐标为( x ′, y ′).

因为点

A



A′关于直线

l

对称,所以

AA′⊥

l

,且

AA′中点在

l

上,直线

l

斜率是-3,所以

k

AA?



1 3

.

又因为

k AA?



y? ? 4 ,所以 y? ? 4

x? ? 4

x? ? 4

?1 3

l 再 因 为 直 线 的 方 程 为
新疆 王新敞

3 x + y - 2 = 0 , AA ′ 的 中 点 坐 标 是

学案

(

x? ? 4 ,

y? ? 4 ),所以 3·

x? ? 4

?

y? ? 4 -2=0

新疆 王新敞

学案

22

2

2

由①和②,解得 x ′=2, y ′=6.所以 A′点的坐标为(2,6)

新疆 王新敞

学案

(2)关于点 A 对称的两直线 l 与 l? 互相平行,于是可设 l? 的方程为 3 x + y +c=0.在直线 l 上任取一点 M(0,2),其

关于点 A 对称的点为 M′( x ′,y ′),于是 M′点在 l? 上,且 MM′的中点为点 A,由此得 x? ? 0 ? ?4, y? ? 2 ? 4 ,

2

2

即: x ′=-8, y ′=6.

于是有 M′(-8,6).因为 M′点在 l? 上,所以 3? (-8)+6+ c =0,∴ c =18

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学案

故直线 l? 的方程为 3 x + y +18=0

新疆 王新敞

学案

练习:入射光线和反射光线所在直线方程分别是:x-y-2=0,x+y-2=0 达标训练 1D,2B,3C,4B,5D,6A,7A,8B

9 -2 10 7x-9y+21=0



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