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湖南省长郡中学高三数学第四次月考试卷(文科)


湖南省长郡中学 2009 届高三第四次月考 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、 已知全集 U ? R , 集合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 ,B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? , 那么集合 A ? (CU B) 等于 ( A、 x | ?2 ≤ x ? 4

?

?



?

?

B、 x | x ≤ 3或x ≥ 4

?

?

C、 x | ?2 ≤ x ? ?1

?

?

D、 x | ?1 ≤ x ≤ 3

?

?

2、某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个 容量为 150 的样本, 则样本中松树苗的数量为 ( ) A、30 B、25 C、20 D、15 3、已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,? ? (0, ? ) , b ? (1, 3 ) ,若 a 与 b 共线,则 sin 2? ? A、 ( )

1 2

B、 ?

1 2

C、

3 2

D、 ?

3 2
( )

4、已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于 A、64 5、已知函数 f ( x) ? 2 值为 A、 ? 2 B、100
x ?3

C、110

D、120

,f

?1

?1 ?1 ,则 f (m) ? f (n) 的 ( x) 是 f ( x) 的反函数,若 mn ? 16 ( m,n ? R + )

( B、1 C、4 D、10



6、已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之 和的最小值为 A、 ( B、 3 C、 5 D、 )

9 2

17 2
D A

7、如图,已知球 O 点面上四点 A、B、C、D,DA ? 平面 ABC,AB ? BC, DA=AB=BC= 3 ,则球 O 点体积等于( A、 9? B、 ) C、 3? D、

9 ? 2

3 ? 2

C


B


x 8、若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有

A、 g (0) ? f (3) ? f (2) C、 g (0) ? f (2) ? f (3) 9、函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a 其中 m, n ? 0 ,则 A、16

B、 f (2) ? f (3) ? g (0) D、 f (2) ? g (0) ? f (3)

? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,
( C、9 D 、8 )

1 2 ? 的最小值等于 m n
B、12

1 10、方程 x2+ 2x-1=0 的解可视为函数 y=x+ 2的图像与函数 y= 的图像交点的横坐标,若 x4+ax-4=0 x 4 的各个实根 x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点(xi , )(i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a xi 的取值范围是 A、 (??,?2) ? (2,??) B、 (??,?4) ? (4,??) C、 (??,?6) ? (6,??) ( )

D、 (??,?8) ? (8,??)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分. 11、若 ( 3 x ? )n (n ? N * ) 的展开式中第 3 项为常数项,则 n =

1 x



12、曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线方程为_________________; 3 ? 3?

13、双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线 a 2 b2

离心率的取值范围为 ______________; 14、已知点 G 是 ?ABC 的重心, AG ? ? AB ? ? AC (?,? ? R) ,那么 ? ? ? ? _____; 若 ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ?2 ,则 AG 的最小值是__________

a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ” 记 作 15、观察下列等式: (说明: 和 式 “

?a
i ?1

n

i



?i ? 2 n
i ?1

n

1

2

1 ? n, 2

?i
i ?1
n

n

2

1 1 1 ? n3 ? n2 ? n, 3 2 6
1 1 1 ? n 4 ? n3 ? n 2 , 4 2 4

?i
i ?1

3

?i
i ?1
n

n

4

1 1 1 1 ? n5 ? n4 ? n3 ? n, 5 2 3 30
1 1 5 1 ? n 6 ? n5 ? n 4 ? n 2 , 6 2 12 12

?i
i ?1

5

?i
i ?1

n

6

1 1 1 1 1 ? n7 ? n6 ? n5 ? n3 ? n, 7 2 2 6 42

……………………………………

?i
i ?1

n

k

? ak ?1nk ? 2 ? ak n k ? ak ?1nk ?1 ? ak ?2 n k ?2 ? ??? ? a1n ? a0 ,
1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2
, ak ?2 ? 。

* 可以推测,当 k≥2( k ? N )时, ak ?1 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 1 2 某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是 ,答错每道题的概率都是 ,答对一道题积 1 分, 3 3 答错一道题积-1 分,答完 n 道题后的总积分记为 Sn (Ⅰ)答完 2 道题后,求同时满足 S1 =1 且 S2 =0 的概率; (Ⅱ)答完 4 道题后,求满足 S4 ? 1 的概率。

17(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 2 cos2 x, x ? R. (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)将函数 f ( x) 的图像按向量 a ? (

11 3 ? ,? )平移后得到函数 g ( x) 的图像,求 g ( x) 的解析式; 24 2

(III)画出函数 y ? g ( x)在区间 [0, ? ] 上的图像。

18(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

O

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

M

A B N C

D

19(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线

y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ)若 OA ? OB ,求 k 的值; (Ⅱ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |.

20(本小题满分 13 分)

[?2,0) ? (0,2] 上的偶函数,当 x ? [?2,0)时f ( x) ? 设函数 f ( x)是定义在
(Ⅰ)当 x ? (0,2]时, 求f ( x) 的解析式; (Ⅱ)是否存在 m,使得 x ? (0,2]时, f ( x)有最大值

1 3 x ? 2mx (m为实数 ). 3

4 ?并说明理由. 3

21(本小题满分 13 分)

?an+c,an<3 ? 已知以 a1 为首项的数列{an}满足:an+1=? an ? ? d , an≥3
(Ⅰ)当 a1=1,c=1,d=3 时,求数列{an}的通项公式 (Ⅱ)当 0<a1<1,c=1,d=3 时,数列{an}的前 100 项的和 S 100 ? 试求常数 k 的值; 1 1 1 1 1 (Ⅲ)当 0<a1< (m 是正整数) ,c= ,d=3m 时,证明:数列 a2- ,a3m+2- ,a6m+2- ,a9m+2 m m m m m
- 成等比数列 。

1 1 (11 ? 31 )a1 ? k , 2 3

1 m

长郡中学 2009 届高三第四次月考数学试卷(文科) 参考答案及评分细则
一、1-10 DCCBA DBCDC 二、11-15 8 ; 6 x ? 3 y ? 2 ? 0 ; (1,3];

2 2 k 、 ; 、0 3 3 12

三、16、 (Ⅰ)由题意“ S1 ? 1 且 S2 ? 0 ”表示“答完 2 题,第一题答对,第二题答错” 此时概率 P ?

1 2 2 ? ? 3 3 9

……… …4 分

(Ⅱ)在 4 题的答题过程中,记“答对 3 道(即答错 1 道) ”为事件 A, 记“答对 4 道(即答错 0 道) ”为 事件 B

?1? P( A) ? C ? ? ? 3?
3 4

3

8 ?2? ?? ? ? , ? 3 ? 81
0

1

…………… 7 分

8 1 ?1? ? 2? ? P( B) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 81 81
4 4

4

…………… 10 分

A, B 互斥, P = P( A) ? P ( B ) ?

8 1 1 ? ? …………… 12 分 81 81 9

17、解: (I) f ( x) ?

1 ? cos2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos2 x) 2 2
…………2 分

?

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin( 2 x ?

?

3 )? . 6 2 2? ? ?. 2

…………3 分

? f ( x)的最小正周期 T ?

…………4 分

(II)把 f ( x)图象上所有的按向量 a ? (

11 3 ? ,? ) 平移后,所得到的图象的解析式为 24 2
…………7 分

g ( x) ? sin[ 2( x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) 4

11 ? 3 3 ?) ? ]? ? 24 6 2 2

…………8 分

(III)由 y ? sin( 2 x ?

3? )知 4

x

0

? 8

3? 8

5? 8

7? 8

?

y

?

2 2

—1

0

1

0

?

2 2

…………10 分

…………12 分 18、 方法一(几何法) (Ⅰ)取 OB 中点 E,连接 ME,NE

O

ME‖ AB,AB‖ CD, ? ME‖ CD


NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD

M E Q A D P B N C

? MN‖ 平面OCD …………4 分
CD‖ AB,
∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
作 AP ? CD于P, 连接 MP

(Ⅱ)

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2
DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,∴ cos ?MDP ?
所以 AB 与 MD 所成角的大小为

? …………8 分 3

(Ⅲ)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作

AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD

又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 2 OA AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 …………12 分 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,
(Ⅰ) MN ? (1 ?

2 2 2 2 2 , 0), D(? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n OP ? 0, n OD ? 0

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2
取z ?

z O

M

2 ,解得 n ? (0,4, 2)
2 2 , , ?1) (0, 4, 2) ? 0 4 4

∵ MN n ? (1 ?

A x
2 2 , , ?1) 2 2

D N CP y

? MN‖ 平面OCD
(Ⅱ)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

B

∴c o ? s ?

AB MD AB ? MD

?

? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴ ,?? 3 2 3

(Ⅲ)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ?

OB ? n n

?

2 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 3

19、 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,

长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1.……………3 分 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? 由? ,消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 4 ? y ? kx ? 1. ?
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 k ?4 k ?4
2

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2
2 2

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

(Ⅱ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )
2 2

2

2

2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ?1? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
? 6k ( x1 ? x2 ) .…………………………………………… 10 分 k2 ? 4
3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ?
2 2

故 OA ? OB ? 0 ,即在题设条件下,恒有 OA ? OB .………………………13 分 20、解: (Ⅰ)设 x ? (0,2], 则 ? x ? [?2,0) , f (? x) ? ?

1 3 x ? 2mx , 3
…………4 分 y O -2m y -2m O
? 2m

1 ? f ( x) 为偶函数,? f ( x) ? f (? x) ? ? x 3 ? 2mx , x ? (0,2] 3
(Ⅱ) f ?( x) ? ? x ? 2m , x ? (0,2],
2

(1) 当 ? 2m ? 0 ,即 m ? 0 时,

f ?( x) ? ? x ? 2m ? 0, f ( x)在(0,2] 上单调递,
2

2

x

此时 f ( x)在(0,2] 上无最大值. …………6 分 (2) 当 ? 2m ? 0 ,即 m ? 0 时,

令f ?( x) ? 0, 得x ? ? 2m

2

x

i)当 0 ? x

? 2m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? 0 时

(0, ? 2m )
+ 增

? 2m
0 最大值

( ? 2m ,2)
— 减

f ?( x)
f ( x)

? f ( x)在x ? ? 2m 处取得最大值.
1 4 ? ( ? 2 m) 3 ? 2m ? 2m ? 3 3

? m ? ?2

?

1 3

? ?2

…………10 分 -2m

y

ii) 当 ? 2m ? 2 ,即 m<-2 时, f ?( x ) ? 0 , x ? (0,2]

f ( x)在(0,2] 上是增函数,
f ( x) max 8 4 ? f (2) ? ? ? 4m, ? 3 3
…………12 分
1

? 2m

O

2

x

? m ? ?1 ,不合题意舍去.

? 存在m ? ?2 3 , 使f ( x)在(0,2] 上的最大值

?

4 3

…………13 分

?1, n ? 3k ? 2 ? ? 21、解: (Ⅰ)由题意得 an ? ?2, n ? 3k ? 1, (k ? Z ) ?3, n ? 3k ?
(Ⅱ) 当 0 ? a1 ? 1时,

…………3 分

a2 ? a1 ? 1, a5 ?
a3 ? a1 ? 2 , a6 ? a4 ? a1 ? 3 , a7 ?

1 1 a1 ? 1 , a 8 ? 2 a1 ? 1 , a11 ? 3 a1 ? 1 , 3 3 3 1 1 a1 ? 2 , a 9 ? 2 a1 ? 2 , a12 ? 3 a1 ? 2 , 3 3 3 1 1 a1 ? 3 , a10 ? 2 a1 ? 3 , a13 ? 3 a1 ? 3 , 3 3 3

, a 3 k ?1 ? , a 3k ?

1 3
k ?1

a1 ? 1 a1 ? 2 a1 ? 3

1 3
k ?1

, a 3 k ?1 ?

1 3
k ?1

…………5 分

? S100 ? a1 ? (a2 ? a3 ? a4 ) ? (a5 ? a6 ? a7 ) ? ? ? (a98 ? a99 ? a100 )
? a1 ? (3a1 ? 6) ? (a1 ? 6) ? ( a1 ? 6) ? 3 ?( a1 ? 6) 331

1 ? a1 ? a1 (3 ? 1 ? ? 3 ? 1 1 (11 ? 31 )a1 ? 198 2 3

?

1 ) ? 6 ? 33 331

所以,常数 k 的值为 198;

…………8 分

(Ⅲ)当 d ? 3m 时, a2 ? a1 ?

1 m
m? 3

∵ a3m ? a 1?

3m ? 1 1 ?a 1 ? ? 3 ? 3? a ? ?a 1 3 m m

,1 ∴ a3m ? 2 ?

a1 1 ? ; 3m m

∵ a6 m ?
∵ a9 m ?

a1 1 a ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? a6 m?1 , 3m m 3m

∴ a6 m ? 2 ?

a1 1 ? ; 2 9m m

a1 a a 1 1 ? ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3 ? a9 m?1 ,∴ a9 m ? 2 ? 1 3 ? 2 9m m 9m 27m m

∴ a2 ?

a a a 1 1 1 1 ? a1 , a3m ? 2 ? ? 1 , a6 m ? 2 ? ? 1 2 ,∴ a9 m ? 2 ? ? 1 3 m m 3m m 9m m 27m
1 1 1 1 , a3m ? 2 ? , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? m m m m
…………13 分

综上所述,当 d ? 3m 时,数列 a2 ?

是公比为

1 的等比数列 3m



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