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江西省吉安市遂川中学2019—2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含答案


遂川中学 2021 届高二上学期第一次月考

理数

一、选择题(每小题 5 分) 1.已知点 A(-3,1,-4),点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为

()

A.(-3,-1,4) B.(-3,-1,-4) C.(3,1,4) D.(3,-1,-4)

2.已知直线 3ax ? y ?1 ? 0 与直线 (a ? 2)x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值为( ) 3

A. ?1, 1 3

B. 1 ,1 3

C. ? 1 , ?1 3

D. ? 1 ,1 3

3.若 P(2, ?1) 为圆 (x ?1)2 ? y2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( )

A. x ? y ? 3 ? 0

B. 2x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ?1 ? 0

D. 2x ? y ? 5 ? 0

4.直线 l 过点 P(-1,2)且与以点 M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相交,则 l 的斜率取值范围
是( )

A.[- ,5]

B.[- ,0)∪(0,2]

C.(-∞,- )∪[5,+∞) D.(-∞,- ]∪[2,+∞)

5.一辆卡车宽 1.6 m,要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶

距地面高度不得超过( )

A.1.4 m

B.3.5 m

C.3.6 m

D.2.0 m

6.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的
方程为( )

A. x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0 B. x2 ? y2 ? 4x ? 0 C. x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0 D. x2 ? y2 -4x ? 0

7.两条平行线 l1,l2 分别过点 P(-1,2),Q(2,-3),它们分别绕 P,Q 旋转,但始终保持平 行,则 l1,l2 之间距离的取值范围是( )

A.(5,+∞) B.(0,5]

C.( 34,+∞)

D.(0, 34]

??x+y≤5, 2x-y≤4,

8.设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=3x+5y 的最大值为(

?-x+y≤1,

??y≥0,

)

A.6 B.19 C.21

D.45

9.若直线 l : mx ? ny ? m ? n ? 0?n ? 0? 将圆 C : ? x ? 3?2 ? ? y ? 2?2 ? 4 的周长分为 2 :1 两部分,则

直线 l 的斜率为( )

A. 0 或 3 2

B. 0 或 4 3

C. ? 4 3

D. 4 3

1

10.设直线 l 的方程为 x ? y cos? ? 3 ? 0(? ? R) ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( )

A.[0, ?]

B.

? ??

? 4

,

? 2

? ??

C.

? ??

? 4

,

3? 4

? ??

D.

? ??

π 4

,

π 2

? ??

? ??

π 2

,

3π 4

? ??

11、方程 1-x2=x+k 有唯一解,则实数 k 的范围是( )

A.k=- 2

B.k∈(- 2, 2)

C.k∈[-1,1)

D.k= 2或-1≤k<1

12、已知圆的方程为 x2+y2-4x-6y+11=0,直线 l:x+y-t=0,若圆上有且只有两个不

同的点到直线 l 的距离等于 22,则参数 t 的取值范围为(

)

A.(2,4]∪[6,8) B.(2,4)∪(6,8) C.(2,4) D.(6,8)

二、填空题(每小题 5 分)

13.已知 A(2,1,1),B(-2,2,3),在 z 轴上有点 P 到 A、B 两点的距离相等,则 P 点的坐标是_____

14.过点 P(2,3)的直线 l 与 x 轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点,

则 S△AOB 的最小值为________
??x+3y-3≥0, 15.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0,且 x+y 的最大值为 9,则实数 m=____
??x-my+1≥0

16、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1 : kx ? y ? 2 ? 0 与直线 l2 : x ? ky ? 2 ? 0 相交于点 P ,

则当实数 k 变化时,点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离的最大值为________.
三、解答题
17.(10 分)△ABC 的顶点 A(3,?1) ,AB 边上的中线所在的直线方程为 6x ? 10 y ? 59 ? 0 ,

?B 的平分线所在的直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在的直线方程.

2

? ? 18.(12 分)已知圆 C 经过点 A 2, ?1 和直线 x ? y ?1 ? 0 相切,且圆心在直线 y ? ?2x 上.
(1)求圆 C 的方程; (2)若直线 y ? 2x ? 2 与圆 C 交于 A , B 两点,求弦 AB 的长.

19.(12 分)已知圆



(1)若

,过点

作圆 的切线,求该切线方程;

(2)若 为圆 的任意一条直径,且

(其中 为坐标原点),求圆 的半径.

20.(12 分)某旅游景区的一家庭作坊计划每天制作高档、中档、低档 3 种旅游纪念品共 50 个,制作一个高档纪念品需要 14 分钟,利润为 12 元;制作一个中档纪念品需要 12 分钟, 利润为 11 元;制作一个低档纪念品需要 9 分钟,利润为 7 元.若已知每天制作时间不超 过 11 小时,则这个家庭作坊每天制作旅游纪念品的最大利润为多少元.

3

21.(12 分)已知定点 A?0, ?4? ,点 P 圆 x2 ? y2 ? 4 上的动点.

(1)求 AP 的中点 C 的轨迹方程;

(2)若过定点

B

? ??

?

1 2

,

?1???

的直线

l



C

的轨迹交于 M , N

两点,且

MN

?

3 ,求直线 l

的方程.

22.(12 分)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1 过定点 A(1,0). (1)若 l1与圆相切,求 l1的方程; (2)若 l1与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2 :x+2y+2=0 的交点为 N, 判断 AM·AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.

2021 届高二上学期第一次月考 理数

选择题(每小题 5 分)

1.已知直线 3ax ? y ? 1 ? 0 与直线 (a ? 2)x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值为( D )
3

A. ?1, 1 3

B. 1 ,1 3

C. ? 1 , ?1 3

D. ? 1 ,1 3

2、若 P(2, ?1) 为圆 (x ?1)2 ? y2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A )

A. x ? y ? 3 ? 0

B. 2x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ?1 ? 0

D. 2x ? y ? 5 ? 0

3、直线 l 过点 P(-1,2)且与以点 M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相

交,则 l 的斜率取值范围是( D )

(A)[- ,5]

(B)[- ,0)∪(0,2]

4

(C)(-∞,- )∪[5,+∞) (D)(-∞,- ]∪[2,+∞)

4、已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的
方程为( D )

A. x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0 B. x2 ? y2 ? 4x ? 0 C. x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0 D. x2 ? y2 -4x ? 0

5、设直线 l 的方程为 x ? y cos? ? 3 ? 0(? ? R) ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( C )

A.[0, ?]

B.

? ??

? 4

,

? 2

? ??

C.

? ??

? 4

,

3? 4

? ??

D.

? ??

π 4

,

π 2

? ??

? ??

π 2

,

3π 4

? ??

6、两条平行线 l1,l2 分别过点 P(-1,2),Q(2,-3),它们分别绕 P,Q 旋转,但始终保持平

行,则 l1,l2 之间距离的取值范围是( D )

A.(5,+∞) B.(0,5]

C.( 34,+∞) D.(0, 34]

x+y≤5,

??2x-y≤4,

? 7、设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 -x+y≤1,

z=3x+5y



??y≥0,

最大值为( )

A.6 B.19 C.21 D.45

8、若直线 l : mx ? ny ? m ? n ? 0?n ? 0? 将圆 C : ? x ? 3?2 ? ? y ? 2?2 ? 4 的周长分为 2 :1 两部分,

则直线 l 的斜率为( B )

A. 0 或 3 2

B. 0 或 4 3

C. ? 4 3

D. 4 3

9、一辆卡车宽 1.6 m,要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距

地面高度不得超过( B )

A.1.4 m

B.3.5 m

C.3.6 m

D.2.0 m

10、方程 1-x2=x+k 有惟一解,则实数 k 的范围是( D )

A.k=- 2 B.k∈(- 2, 2) C.k∈[-1,1) D.k= 2或-1≤k<1
11、已知圆的方程为 x2+y2-4x-6y+11=0,直线 l:x+y-t=0,若圆上有且只有两个不

同的点到直线 l 的距离等于 22,则参数 t 的取值范围为( A )

A.(2,4)∪(6,8)

B.(2.4]∪[6,8) C.(2,4) D.(6,8)

12、已知圆 C : x2 ? y2 ? 1,点 P 为直线 x ? y ? 1上一动点,过点 P 向圆 C 引两条
42
切线 PA, PB, A, B 为切点,则直线 AB 经过定点( B )

A.

? ??

1 2

,

1 4

? ??

B.

? ??

1 4

,

1 2

? ??

一、填空题(每小题 5 分)

? C. ???

3 4

,

0

? ???

? D. ??? 0,

3? 4 ???

5

13、过点 P(2,3)的直线 l 与 x 轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 S△AOB
的最小值为__12______
14、已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0, 5)在圆 C 上,且圆心到
直线 2x-y=0 的距离为4 5 5,则圆 C 的方程为__(x-2)2+y2=9
??y≥1, 15、已知实数 x,y 满足?y≤2x-1,如果目标函数 z=x-
??x+y≤m.
y 的最小值为-1,则实数 m=__5______.

16、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1 : kx ? y ? 2 ? 0 与直线 l2 : x ? ky ? 2 ? 0 相交于点 P , 则当实数 k 变化时,点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离的最大值为__ 3 2 ______.
二、解答题
17. △ABC 的顶点 A(3,?1) , AB 边上的中线所在的直线方程为 6x ? 10 y ? 59 ? 0 ,?B 的 平分线所在的直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在的直线方程.

设 A 关于 ?B 的平分线的对称点 A'(x0, y0 ) ,



? ?? ? ?

x0 ? 2
y0 ?

3 1

? ?

4 y0 ? 2
?4

1

?

10

?

0

,解得

? ? ?

x0 y0

?1 ?7

,即

A'

(1,7)



?? x0 ? 3

设 B(4a ?10, a) ,则 AB 中点的坐标为 ?? 4a ? 7 , a ?1?? . ? 2 2?

且满足 6x ? 10 y ? 59 ? 0 ,即 6 ? 4a ? 7 ? 10 ? a ?1 ? 59 ? 0 ,∴ a ? 5 .∴ B(1,0,5) .

2

2

∵ A' 也在直线 BC 上, ∴ BC 所在直线的方程为 2x ? 9 y ? 65 ? 0 .

? ? 18 已知圆 C 经过点 A 2, ?1 和直线 x ? y ?1 ? 0 相切,且圆心在直线 y ? ?2x 上.

(1)求圆 C 的方程; (2)若直线 y ? 2x ? 2 与圆 C 交于 A , B 两点,求弦 AB 的长.

? ? 【解析】(1)因为圆心在直线 y ? ?2x 上,设圆心为 C a, ?2a ,则圆 C 的方程为

? x ? a?2 ? ? y ? 2a?2 ? r2 ?r ? 0? ,

又圆 C 与 x ? y ? 1 ? 0 相切,所以 r ? a ? 2a ?1 ? 1 ? a ,

2

2

因为圆 C 过点 A?2,?1? ,所以 ?2 ? a?2 ? ??1? 2a?2 ? ?1? a?2 ,解得 a ? 1,
2

所以圆 C 的方程为 ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 2 .

(2)设 AB 的中点为 D ,圆心为 C ,连 CD , AD , CD ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 , AC ? 2 ,

5

5

6

由平面几何知识知 AB ? 2 AD ? 2 AC 2 ? CD 2 ? 2 30 ,即弦 AB 的长为 2 30 .

5

5

19.已知圆



(1)若

,过点

作圆 的切线,求该切线方程;

(2)若 为圆 的任意一条直径,且

(其中 为坐标原点),求圆 的半径.

解析:(1)若

,圆 :

,圆心

,半径为 3.

若切线斜率不存在,圆心 到直线 的距离为 3,∴直线 为圆 的一条切线;

若切线斜率存在,设切线方程为:

,化简为:

,则圆心到直

线的距离

,解得:

. ∴切线方程为 或



(2)圆 的方程可化为

,圆心

,则

,设圆的半径



∵ 为圆 的任意一条直径,∴

,且







又∵

,解得:

,∴圆的半径为 .

20.某旅游景区的一家庭作坊计划每天制作高档、中档、低档 3 种旅游

纪念品共 50 个,制作一个高档纪念品需要 14 分钟,利润为 12 元;

制作一个中档纪念品需要 12 分钟,利润为 11 元;制作一个低档纪念

品需要 9 分钟,利润为 7 元.若已知每天制作时间不超过 11 小时,则

这个家庭作坊每天制作旅游纪念品的最大利润为多少元.

解析:设每天制作高档纪念品 x 个,中档纪念品 y 个,则制作低

档纪念品(50-x-y)个,每天的利润为 z 元,z=12x+11y+7(50-x-

?x∈N*, ?y∈N*, ? y)=5x+4y+350,约束条件为 ?14x+12y+9(50-x-y)≤660, ?50-x-y≥0,

?x∈N*,

?y∈N*,

即?

可行解为图中阴影部分中的整点.

?5x+3y≤210,

?x+y≤50,

?5x+3y=210, ?x=30,

由?

解得?

?x+y=50,

?y=20,

7

即 A(30,20).易知 z=5x+4y+350 在 A(30,20)处取最大值, 所以 zmax=5×30+4×20+350=580,即最大利润为 580 元.

21.已知定点 A?0, ?4? ,点 P 圆 x2 ? y2 ? 4 上的动点.

(1)求 AP 的中点 C 的轨迹方程;

(2)若过定点

B

? ??

?

1 2

,

?1???

的直线

l



C

的轨迹交于 M , N

两点,且

MN

?

方程.

3 ,求直线 l 的

? ?

x

?

?

x0 ? 2

0

【解析】(1)设 C ? x,

y?, P ? x0,

y0 ?

,由题意知:

? ?

y

?

?

y0 ? 4 2

,化简得 x2 ? ? y ? 2?2 ? 1,

? ??

x02

?

y02

?

4

故 C 的轨迹方程为 x2 ? ? y ? 2?2 ? 1。

(2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,此时 MN ?
2

当直线

l

的斜率存在时,设直线

l

的方程为

y

?

1

?

k

? ??

x

?

1 2

? ??



因为半径 r ? 1, MN ? 3 ,故圆心到直线 l 的距离 d ? 1 ,
2

k ?1

由点到直线的距离公式得 d ? 1 ? 2

,解得 k ? ? 3 ,

2 1? k2

4

3 ,满足条件;

直线

l

的方程为

y

?1

?

?

3 4

? ??

x

?

1 2

? ??

,故直线

l

的方程为

x

?

?

1 2



6

x

?

8

y

?

11

?

0



22.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线 l1 过定点 A(1,0).
(1)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2:x+2y+2=0 的交点为 N, 判断 AM·AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.
解 (1)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x=1,符合题意,
②若直线 l1 的斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x-1),

即 kx-y-k=0.

|3k-4-k|

由题意知,圆心(3,4)到直线 l1 的距离等于半径 2,即

=2, k2+1

8

解得 k=34,所求直线方程是 x=1,3x-4y-3=0. (2)直线与圆相交,斜率必定存在,且斜率为正数,可设直线方程为 kx-y-k=0,

??x+2y+2=0, 由?
??kx-y-k=0,



?2k-2 N? ,-

3k

? ?.又直线

?2k+1 2k+1?

CM



l1

??y=kx-k, 垂直,由???y-4=-1k?x-3?,



?k2+4k+3 4k2+2k?

M? ?

1+k2



1+k2

?, ?

∴AM·AN=

?k2+4k+3 ? ?4k2+2k?

? ?

1+k2

-1?2+? ??

1+k2

?2· ?

???22kk- +21-1???2+???-2k3+k 1???2

2|2k+1|

3 1+k2

= 1+k2

1+k2·

=6 为定值.

|2k+1|

故 AM·AN 是定值,且定值为 6.

9



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