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高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计课时提能训练 新人教A版必修3


2.2.2 用样本的数字特征估计
(30 分钟 50 分)
一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2012·上海模拟)已知数据 x1,x2,x3,…,xn 是上海普通职工 n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这 n 个数据的中位数为 x,平均数为 y,方差为 z,如果再加上世界首富的年收入 xn+1,则这 n+1 个数据中,下 列说法正确的是( ) (A)年收入平均数大大增大,中位数一 定变大,方差可能不变 (B)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 (C)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变 (D)年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变 2.(2011·江西高考)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随 机抽取 30 名学生参加环保知识测试,
得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mO,平均值为 x ,则( )

(A)me=mO= x

(B)me=mO< x

(C)me<mO< x

(D)mO<me< x

3.(2012·山东高考)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82, 84,84,86, 86,86,88,88,88,88.若 B 样本

数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )

(A)众数

(B)平均数

(C)中 位数

(D)标准差

4.(易错题)若样本 a1,a2,a3,a4,a5 的方差是 3,则样本 2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3 的方差是

()

(A)3

(B)6

(C)9

(D)12

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)

5.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是_______,_______.

6.已知样本 9,10, 11,x,y 的平均数是 10,标准差是 2 ,则 xy=______.
三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽 5 门功课,得到的观测值如下:
-1-

问:甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课发展较平衡? 8.(2012·广东高考)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间 是:[50,60),[60,70),[7 0,80),[80,90),[90,100]
. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分. (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所 示,求数学成绩在[50,90)之 外的人数.
【挑战能力】 (10 分)在每年的春节后,某市政府都会发动公务员参与到植树绿化活动中去.林业管理部门在植树前, 为了保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗,量出它 们的高度如下(单位:厘米),甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33;乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46. (1)画出两组数据的茎叶图,并根据 茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出两个统计结论;
(2)设抽测的 10 株甲种树苗高 度平均值为 x ,将这 10 株树苗的高度依次输入,按程序框(如图)进行
运算,问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义.
-2-

答案解析

1.【解析】选 B.插入大的极端值,平均数增加,中位数可能不变,方差也因为数据更加分散而变大.

2.【解题指南】首先将这 30 个数据按照大小顺序排列,易得中位数,众数,最后计算平均值.

【解析】选 D.由题目所给的统计图可知,30 个数据按大小顺序排列好后,中间两个数为 5,6,故中位数为

me= 5 ? 6 =5.5.又众数为 mO=5,平均值 x = 2

3? 2 ? 4?3 ? 5?10 ? 6? 6 ? 7?3 ? 8? 2 ? 9? 2 ?10? 2 ? 179 ,

30

30

∴mO<me< x .

3. 【解析】选 D.B 中数字特征中的次数、平均数、中位数都是 A 中对应数字特征加 2,只有标准差不变.

4.【解析】选 D.若 a 表示样本 a1,a2,a3,a4,a5 的均值,则样本 2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3 的

均值为 2 a +3.

? ? 又

1 5

i

5
(a
?1

i-a)2=3,?

1 5

5
[(2ai+3)-(2a+3)]2
i?1

? ?

1 5

5
(2ai-2a)2=12.
i?1

【变式训练】(2012·上饶模拟)一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都 加上 60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是_________,_________.
【解析】平均数增加 60 为 62.8,方差不变,仍为 3.6. 答案:62.8 3.6 【方法技巧】关于方差与平均数的公式 数据 a1,a2,a3,…,an 的方差为σ2,平均数为μ,则数据 ka1+b,ka2+b,ka3+b,…,kan+b,(kb≠0)的标准差

-3-

为 kσ,平均数为 kμ+b.

5.【解析】甲的中位数是 39,把乙的数据排序后,中位数是 35 ? 42 =38.5. 2

答案:39

38.5

6.【解析】由平均数是 10 得 x+y=20,由标准差是 2 得

1[(9 ?10)2 ?(10 ?10)2 ?(11?10)2 ?(x ?10)2 ?(y ?10)2]? 2 , 5

∴(x-10)2+(y-10)2=8,∴xy=96.

答案:96

7.【解析】 x 甲= 1 (60+80+70+90+70)=74, 5

x乙 ? 1 (80+60+70+80+75)=73, 5

s甲2

?

1 5

(142+62+42+162+42)=104,

s乙2

?

1 5

(72+132+32+72+22)=56,

∵ x 甲> x 乙, s甲2 ? s乙2 ,

∴甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡. 8.【解题指南】(1)本题根据每个区间上的矩形的面积和为 1,可建立关于 a 的方程,解出 a 的值. (2)由频率分布直方图求平均分:每个区间的中点值乘以区间上矩形面积之和. (3)本题关键 是先把语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数求出来,根据每段的频 率求出每段的频数. 【解析】(1)由频率分布直方图知(0.04+0.03+0.02+2a)×10=1,∴a=0.005. (2)55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73. 所以平均分 为 73 分. (3)分别求出语文成绩分数段在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为 0.05×100=5,0.4 ×100=40,0.3×100=30,0.2×100=20. 所以数学成绩分数段在[50,60),[60, 70),[70,80),[80,90)的人数依次为:5,20,40,25.所以数学成 绩在[50,90)之外的人数有 100-(5+20+40+25)= 10(人). 【挑战能力】 【解析】(1)茎叶图:

统计结论:(任意两个即可) ①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高 度;
-4-

②甲种树苗比乙种树苗长得整齐; ③甲种树苗的中位数为 27,乙种树苗的中位数为 28.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布比较分散.
(2) x =27,S=35,S 表示 10 株甲种树苗高度的方差.
-5-



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