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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程讲义含解析新人教A版选修


2.2.1 双曲线及其标准方程
预习课本 P45~48,思考并完成以下问题 1.平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线?双曲线的焦点、焦距分别是什么?

2.什么是双曲线的标准方程?

[新知初探]

1.双曲线的定义

把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹

叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

[点睛] 平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值为非零常数,即||MF1|-|MF2||= 2a,关键词“平面内”.

当 2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是分别以 F1,F2 为端点的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,轨迹不存在.

2.双曲线的标准方程

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程

x2 y2 a2-b2=1 (a>0,b>0)

y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0)

图形

焦点坐标

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)
1

a,b,c 的关系

c2=a2+b2

[点睛] (1)标准方程的代数特征:方程右边是 1,左边是关于 x,y 的平方差,并且分 母大小关系不确定.
(2)a,b,c 三个量的关系: 标准方程中的两个参数 a 和 b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这 里 b2=c2-a2,与椭圆中 b2=a2-c2 相区别,且椭圆中 a>b>0,而双曲线中,a,b 大小不确 定.
[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线

()

x2 y2 (2)在双曲线标准方程a2-b2=1

中,a>0,b>0



a≠b(

)

(3)双曲线标准方程中,a,b 的大小关系是 a>b( ) 答案:(1)× (2)× (3)×
x2 y2 2.已知双曲线16- 9 =1,则双曲线的焦点坐标为( )

A.(- 7,0),( 7,0)

B.(-5,0),(5,0)

C.(0,-5),(0,5)

D.(0,- 7),(0, 7)

答案:B

3.平面内有两个定点 F1(-5,0)和 F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=6,则动点 P 的

轨迹方程是( )

A.1x62 -y92=1(x≤-4)

B.x92-1y62 =1(x≤-3)

C.1x62 -y92=1(x≥4)

D.x92-1y62 =1(x≥3)

答案:D 4.双曲线的两焦点坐标是 F1(0,3),F2(0,-3),b=2,则双曲线的标准方程是________.
y2 x2 答案: 5 - 4 =1

2

双曲线标准方程的认识

x2

y2

[典例] 已知方程k-5-|k|-2=1 对应的图形是双曲线,那么 k 的取值范围是( )

A.k>5 C.k>2 或 k<-2

B.k>5 或-2<k<2 D.-2<k<2

[解析] ∵方程对应的图形是双曲线, ∴(k-5)(|k|-2)>0.

即?????k|- k|5->02,>0, 或?????k|- k|5-<02,<0. 解得 k>5 或-2<k<2.

[答案] B

双曲线方程的辨识方法

x2 y2 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方程为 m + n =1,则当

mn<0

时,

方程表示双曲线.若?????mn><00,, 焦点在 y 轴上的双曲线.

则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线;若?????mn<>00, ,

则方程表示

[活学活用]

x2

y2

1.已知双曲线a-3+2-a=1,焦点在

y

轴上,若焦距为

4,则

a

等于(

)

3

A.2

B.5

C.7

D.12

解析:选 D

y2

x2

根据题意可知,双曲线的标准方程为2-a-3-a=1.由其焦距为

4,得

c

=2,则有 c2=2-a+3-a=4,解得 a=12.

2.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程所表示的曲线是( )

A.焦点在 x 轴上的椭圆

B.焦点在 x 轴上的双曲线

C.焦点在 y 轴上的双曲线

D.焦点在 y 轴上的椭圆

解析:选 C

方程

mx2-my2=n

x2 y2 可化为 n - n =1.由

mn<0

知nm<0,故方程所表示的曲线是

mm

焦点在 y 轴上的双曲线.

3

求双曲线的标准方程
[典例] 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=3,c=4,焦点在 x 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6);
x2 y2 (3)以椭圆 8 + 5 =1 长轴的端点为焦点,且经过点(3, 10). [解] (1)由题设知,a=3,c=4,由 c2=a2+b2, 得 b2=c2-a2=42-32=7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上,
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为 9 - 7 =1. (2)由已知得 c=6,且焦点在 y 轴上. 因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以 2a=| -5- 2+ + 2- -5- 2+ - 2| =|13-5|=8, 则 a=4,b2=c2-a2=62-42=20.
y2 x2 所以所求双曲线的标准方程是16-20=1. (3)由题意得,双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=2 2. 设双曲线的标准方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0), 则有 a2+b2=c2=8,a92-1b02 =1,解得 a2=3,b2=5.
x2 y2 故所求双曲线的标准方程为 3 - 5 =1.

1.求双曲线标准方程的步骤

(1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐

标轴上,以确定方程的形式. (2)定量:是指确定 a2,b2 的数值,常由条件列方程组求解.

2.双曲线标准方程的两种求法

(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的 a,b,c,再写出双曲线的标准方程.

x2 y2 (2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程a2-b2=1

或ya22-xb22=1(a,b

均为正数),然后

根据条件求出待定的系数代入方程即可.

4

[注意] 若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为 mx2+ny2=1 的形式,注意标明条件 mn<0.
[活学活用] 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
x2 y2 (1)与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2); (2)双曲线过两点 P???3,145???,Q???-136,5???. 解:(1)设双曲线的标准方程为 16x-2 k-4+y2 k=1(-4<k<16). 将点(3 2,2)代入,解得 k=4 或 k=-14(舍去),
x2 y2 ∴双曲线的标准方程为12- 8 =1. (2)设所求双曲线方程为 Ax2+By2=1(AB<0). ∵点???3,145???,???-136,5???在双曲线上,

??9A+21265B=1, ∴???2596A+25B=1,

??A=-116, 解得???B=19.

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 9 -16=1.

双曲线定义的应用

[典例]

已知

F1,F2

x2 y2 分别是双曲线 9 -16=1

的左、右焦点,若

P

是双曲线左支上的点,

且|PF1|·|PF2|=32.试求△F1PF2 的面积. [解] 因为 P 是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2
-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2 中,由余弦定理, 得 cos∠F1PF2=|PF1|22|+PF|1P|F·2||2-PF|2|F1F2|2

=2|1P0F01|-·1|0P0F2|=0,所以∠F1PF2=90°,

5

所以 S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16. [一题多变] 1.[变条件,变设问] 若本例中双曲线的标准方程不变,且其上一点 P 到焦点 F1 的距 离为 10.求点 P 到 F2 的距离.
x2 y2 解:由双曲线的标准方程 9 -16=1, 得 a=3,b=4,c=5. 由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=6, ∴|10-|PF2||=6, 解得|PF2|=4 或|PF2|=16. 2.[变条件] 若本例条件“|PF1|·|PF2|=32”改成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”其它条件 不变,求△F1PF2 的面积. 解:由|PF1|∶|PF2|=2∶5, |PF2|-|PF1|=6, 可知|PF2|=10,|PF1|=4, ∴S△F1PF2=12×4×4 6=8 6.
在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a 的应 用;与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形 技巧和整体代换思想的应用.

层级一 学业水平达标

1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,则 P 点的轨迹是( )

A.双曲线

B.双曲线的一支

C.直线

D.一条射线

解析:选 D F1,F2 是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10 的点 P 的轨 迹应为一条射线.

x2 y2 2.椭圆 4 +a2=1

x2 y2 与双曲线 a - 2 =1

有相同的焦点,则

a

的值是(

)

A.12

B.1 或-2

6

C.1 或12

D.1

解析:选 D

?? a>0, 依题意知?0<a2<4,
??4-a2=a+2,

解得 a=1.

3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )

A.x2-y32=1

B.x32-y2=1

C.y2-x32=1

x2 y2 D. 2 - 2 =1

解析:选 A 由双曲线定义知,

2a=

+ 2+32-

- 2+32=5-3=2,

∴a=1.

又 c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,

因此所求双曲线的标准方程为 x2-y32=1.

4.“0≤k<3”是“方程k+x2 1+k-y2 5=1 表示双曲线”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 A ∵0≤k<3,∴?????kk+ -15><00, ,

x2

y2

∴方程k+1+k-5=1 表示双曲线;反之,∵

x2

y2

方程k+1+k-5=1

表示双曲线,∴(k+1)(k-5)<0,解得-1<k<5.故“0≤k<3”是“方程

x2

y2

k+1+k-5=1 表示双曲线”的充分不必要条件.故选 A.

5.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 在该双曲线上,

线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程为( )

A.x42-y2=1

B.x2-y42=1

x2 y2 C. 2 - 3 =1

x2 y2 D. 3 - 2 =1

解析:选 B

x2 y2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则 c=

5,即 a2+b2=5.①

设 P(x,y),由线段 PF1 的中点坐标为(0,2),

7

?? -

5+x 2 =0,

可知???0+2 y=2,

得???xy= =4,5,

即点 P 的坐标为( 5,4), 5 16
代入双曲线方程,得a2- b2 =1.② 联立①②,得 a2=1,b2=4, 即双曲线的标准方程为 x2-y42=1.故选 B. 6.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线ym2-x92=1 的一个焦点,则 m=________. 解析:由点 F(0,5)可知该双曲线ym2-x92=1 的焦点落在 y 轴上,所以 m>0,且 m+9=52,

解得 m=16.

答案:16

7.设点

P

x2 y2 在双曲线 9 -16=1

上,F1,F2

为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,

则△F1PF2 的周长等于________. 解析:由题意知|F1F2|=2 9+16=10,||PF2|-|PF1||=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴
|PF1|=3,|PF2|=9,∴△F1PF2 的周长为 3+9+10=22. 答案:22 8.已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为________. 解析:如图所示,点 P 是以 A,B 为焦点的双曲线的右支上的点,当
P 在 M 处时,|PA|最小,最小值为 a+c=32+2=72.

答案:72

9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; x2 y2
(2)与椭圆27+36=1 有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为 4.

解:(1)因为双曲线的焦点在 y 轴上, 所以可设双曲线的标准方程为ya22-xb22=1(a>0,b>0).

由题设知,a=2 5,且点 A(2,-5)在双曲线上,

8

??a=2 5, 所以?25 4
?? a2 -b2=1,

解得?????ab22= =2106,.

y2 x2 故所求双曲线的标准方程为20-16=1.
x2 y2 (2)椭圆27+36=1 的两个焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为

( 15,4)(或(- 15,4)). 设双曲线的标准方程为ya22-xb22=1(a>0,b>0),

则???4a22-

15 2 b2 =1,

??a2+b2=32,

解得?????ab22= =45,.

y2 x2 故所求双曲线的标准方程为 4 - 5 =1.

10.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦点.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)若点 M 在双曲线上,F1,F2 是双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6 3,试判断

△MF1F2 的形状.

x2 y2 解:(1)椭圆的方程可化为 9 + 4 =1,焦点在

x

轴上,且

c=

9-4=

5.故可设双曲线

方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0).依题意得????? aa922-+bb422==15,. x2 y2
故双曲线的标准方程为 3 - 2 =1. (2)不妨设 M 在双曲线的右支上, 则有|MF1|-|MF2|=2 3. 又|MF1|+|MF2|=6 3, 解得|MF1|=4 3,|MF2|=2 3. 又|F1F2|=2c=2 5, 因此在△MF1F2 中,|MF1|边最长, 由余弦定理可得 cos∠MF2F1 =|MF2|22|+MF|2F|1·F2||F2-1F2||MF1|2

解得 a2=3,b2=2.

9

3 2+

5 2-

32

2



=- <0.

2×2 3×2 5

15

所以∠MF2F1 为钝角,故△MF1F2 是钝角三角形. 层级二 应试能力达标
1.已知 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,当 a 分别为 3 和 5 时,点 P 的轨迹分别为( )

A.双曲线和一条直线

B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条射线

D.双曲线的一支和一条直线 解析:选 C 依题意,得|F1F2|=10.当 a=3 时,|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,可知点 P 的轨迹为双曲线的右支;当 a=5 时,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|,可知点 P 的轨迹为 以 F2 为端点的一条射线.故选 C.

2.已知双曲线过点 P1???-2,3 2 5???和 P2???4 3 7,4???,则双曲线的标准方程为(

)

x2 y2 A. 9 -16=1

y2 x2 B. 9 -16=1

x2 y2 C.16- 9 =1

y2 x2 D.16- 9 =1

解析:选 B 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0).

因为 P1???-2,3 2 5???,P2???4 3 7,4???两点在双曲线上,

??4m+445n=1,
所以
???1912m+16n=1,

??m=-116, 解得???n=19,

y2 x2 于是所求双曲线的标准方程为 9 -16=1.

3.设椭圆 C1 的离心率为153,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的

两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( )

x2 y2 A.16- 9 =1

x2 y2 B.169-25=1

x2 y2 C. 9 -16=1

x2 y2 D.169-144=1

解析:选 A 对于椭圆 C1,∵长轴长 2a1=26,∴a1=13,又离心率 e1=ca11=153,∴c1=

10

5.由题意知曲线 C2 为双曲线,且与椭圆 C1 共焦点,∴c2=5,又 2a2=8,∴a2=4,b2= c22-a22

=3.又焦点在

x

轴上,故双曲线

C2

x2 y2 的标准方程为16- 9 =1.故选

A.

4.设 F1,F2 是双曲线x32-y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 2 时,

―PF→1 ·―PF→2 的值为( ) A.2

B.3

C.4

D.6

解析:选 B 设点 P(x0,y0),依题意得|F1F2|=2 3+1=4,S△PF1F2=12|F1F2|·|y0|=

2,∴|y0|=1.又x320-y20=1,∴x20=3(y20+1)=6.∴―PF→1 ·―PF→2 =(-2-x0,-y0)·(2-x0,

-y0)=x20+y20-4=3. x2 y2
5.已知双曲线25- 9 =1 的两个焦点分别为 F1,F2,双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12,

则点 P 到 F2 的距离为________. 解析:设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,当点 P 在双曲线的左支上时,|PF2|-|PF1|=10,
所以|PF2|=22;当点 P 在双曲线的右支上时,|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=2. 答案:22 或 2

x2 y2 6.过双曲线144-25=1 的一个焦点作 x 轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦

点的距离分别为________.

x2 y2 解析:因为双曲线方程为144-25=1,所以 c= 144+25=13,设 F1,F2 分别是双曲线

的左、右焦点,则 F1(-13,0),F2(13,0).设过 F1 且垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(- 13,y)(y>0),则2y52 =114342 -1=12454,

所以 y=1225,即|AF1|=1225.又|AF2|-|AF1|=2a=24,

所以|AF2|=24+1225=31123.即所求距离分别为1225,31123.

答案:2152,31123

7.已知△ABC 的两个顶点 A,B 分别为椭圆 x2+5y2=5 的左焦点和右焦点,且三个内角

A,B,C 满足关系式 sin B-sin A=12sin C.

(1)求线段 AB 的长度;

11

(2)求顶点 C 的轨迹方程. 解:(1)将椭圆方程化为标准形式为x52+y2=1. ∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4, 则 A(-2,0),B(2,0),|AB|=4.
(2)∵sin B-sin A=12sin C,∴由正弦定理得 |CA|-|CB|=12|AB|=2<|AB|=4, 即动点 C 到两定点 A,B 的距离之差为定值. ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支,并且 c=2,a=1, ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x2-y32=1(x>1).

8.设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M???3 5 5,4 5 5???,F( 5,0),且 P 为 L 上动点.求||MP|-|FP||的最大值. 解:(1)两圆的圆心分别为 A(- 5,0),B( 5,0),半径为 2,设圆 C 的半径为 r.由 题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2,两式相减得|CA|-|CB|=-4 或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4. 则圆 C 的圆心轨迹为双曲线,其中 2a=4,c= 5,b2=1, ∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为x42-y2=1.

(2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点,如图,连接 MF 并延长交双曲 线于一点 P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.

又|MF|= 2.

???3 5 5- 5???2+???4 5 5???2=2,∴||MP|-|FP||的最大值为

12



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