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2016年清华大学领军计划试题及解析


2016 年清华大学“领军人才”自主招生试题及解析 1. 友谊的小船说翻就翻,假如你不会游泳,就会随着小船一起沉入水底,从理论上来 说,你和小船沉入水底后水面相比于原来 B A .一定上升 C .一定相等 B .一定下降 D .条件不足,无法判断 解:人和小船受到的浮力在翻船前等于重力,翻船后小于重力。根据阿基米德原 理,有 F浮 = ρ液 gV排 ,则 V排 减少,水面下降。B 选项正确 2. 如图 1 所示,在光滑地面上,物块与弹簧相连做简谐运动,小车向右做匀速直线运 动,则对于弹簧和物块组成的系统,当以地面为参考系时,动量 不守恒 ,机械能 守恒 ;当以小车为参考系时,动量 不守恒 ,机械能 不守恒 .(填“守恒”或者 “不守恒”) 解:墙壁对弹簧有作用力,故动量不守恒。以地面为参考系,该力的作用点没有 位移,不做功,故机械能守恒。以小车为参考系时,该力的作用点有位移,所做 的功不为零,故机械能不守恒 3. 如图 2 所示,水平光滑导轨上垂直放置两根质量均为 m 且有电阻的金属杆,导轨宽 处与窄处间距比为 2:1,空间存在竖直向下的匀强磁场。现给左边的杆一个初速度 v0 ,在系统稳定时,左杆仍在宽轨上运动,右杆仍在窄轨上运动,则这个过程产生 的热量 Q = 2 2 mv0 5 第 1 页 (共 11 页) 解:当系统稳定时,设左杆的速度为 v1 ,右杆的速度为 v2 ,在此过程中金属杆 ?。根据动量定理,有 的平均电流为 I ? ?t = mv1 ? mv0 ?2B Il ? ?t = mv2 B Il 联立式 (1) 和式 (2),得 v1 + 2v2 = 0 系统稳定时,回路中无电流,则有 2Blv1 ? Blv2 = 0 即 2v1 = v2 联立式 (3) 和 (5),得 1 2 v1 = v0 , v2 = v0 5 5 产生的热量为 1 2 ? Q = mv0 2 ( 1 2 1 2 mv + mv 2 1 2 2 ) 2 2 = mv0 5 (5) (4) (3) (1) (2) 4. 如图 3 所示,空间存在水平向右的匀强电场 E ,现有一质量为 m、带电量为 q 的小 √ 3mg ,求小球落地点距离抛出点的 球以初速度 v0 从地面斜向上抛出,已知 E = q 最远距离。 第 2 页 (共 11 页) 解:小球的运动可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的匀变速直线 运动。设发射角为 θ,则落地时小球的运动时间为 t= 此过程中小球在水平方向的位移为 √ 2 2 2 sin θ cos θ 2 3v0 sin θ 1 qE 2 2v0 x = v0 cos θ · t + t = + 2m 3g ] g √ 2[ ( ) 3v0 π = 2 sin 2θ ? +1 3g 6 π 当 θ = 时,x 取最大值 3 √ 2 3v0 g 2v0 sin θ g 5. 现有一轻质绳拉动小球在水平面内做匀速圆周运动,如图 4 所示。小球质量为 m, 速率为 v ,重力加速度为 g ,轻绳与竖直方向夹角为 θ。求在小球运动半周的过程中 拉力的冲量。 解:小球的受力如图 5 所示。根据牛顿第二定律,有 mg tan θ = ma = m 2π v T 第 3 页 (共 11 页) 小 球 在 运 动 半 周 的 过 程 中,合 力 的 冲 量 为 2mv ,重 力 的 冲 量 为 mg · √ mπv cot θ,所以拉力的冲量为 mv 4 + π 2 cot2 θ T 2 = 6. 如图 6 所示,轨道 AC 由倾角为 θ 的粗糙倾斜轨道 AB 和水平光滑轨道 BC 构成, a 球从 AB 上距离 B 点 L 处静止释放,经 B 点后在水平轨道 BC 上运动(忽略小 球 a 经过 B 点时速率微小的变化) ;b 从 C 点上方高为 4.5L 处下落。a、b 两球同 时释放,并在 C 处相遇,已知 a 球与轨道 AB 间的动摩擦因数 ? = 0.5,BC 间距 离也为 L,则 sin θ = 4 5 7. 在水平面内,金属棒 M N 以角速度 ω 绕过 O 点的竖直轴顺时针旋转,空间存在 竖直向下的匀强磁场,如图 7 所示。已知 |M O| > |N O|,则下列说法中正确的是 ( ) A .M 点电势高于 N 点 B .M 点电势低于 N 点 C .若增大 ω ,则 M 、N 两点电势差增大 D .若增大 B ,则 M 、N 两点电势差增大 第 4 页 (共 11 页) 8. 如图 8 所示电路中,小灯泡规格为“6V,3W”,R3 = 4?,电源内阻 r = 1?,电压表、 电流表均为理想电表。闭合开关,调节滑动变阻器阻值,使电压表示数为 0,此时 灯泡恰好正常发光,电流表的示数为 1A. 则电源电动势 E = ,R2 = ,电源输出功率 P = √ 9. 弹性绳原长为 L( 2R < L < 2R),劲度系数为 k ,上端拴在半径为 R 的光滑圆轨的 顶端,下端系一重量为 G 的小球,小球套在圆轨上。平衡时,弹性绳与竖直方向夹 角为 θ。用 L,R,k ,G 表示此时弹性绳的弹力 10. 在质量均匀分布的星球(近似为球体)的北极和南极打一条竖直贯通的通道,一小 球从北极由静止释放进入该通道,小球运动过程中不与通道发生碰撞,则小球做 简谐 运动 11. 潜水员为测量某湖水深度,测得湖面气温 t1 = 27? ,大气压强 p = 1.0 × 105 P a。现 将一盛有空气的试管从湖面带入湖底,整个过程管口始终向下,潜至湖底后水充满 试管的一半,湖底温度 t2 = 7? ,则湖深约为( A .5 m B .10m ) D .20m C .15m 12. 如图 12 所示,一用钉鞘锁定的导热活塞将导热气缸分成体积相等的左右两室,开始 时气体压强之比为 p左 : p右 = 5 : 3,拔出钉鞘后活塞移动并最终保持稳定状态,外 界温度恒定,则


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