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海林市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学


班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

海林市高中 2018-2019 学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1. 数列{an}满足 a1=3,an﹣an?an+1=1,An 表示{an}前 n 项之积,则 A2016 的值为(



A.﹣ B. C.﹣1 D.1

2. 已知命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为( )

A.?x≤0,lnx≥x

B.?x>0,lnx≥x C.?x≤0,lnx<x

D.?x>0,lnx<x

3. 若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )

A5

B4

C3

D2

4. 若集合 A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合 A∩B=( )

A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1}
5. 若动点 A(x1, y1)、B(x2, y2 ) 分别在直线: x ? y ?11 ? 0 和 l2 : x ? y ?1 ? 0 上移动,则 AB 中点 M 所
在直线方程为( )

A. x ? y ? 6 ? 0

B. x ? y ? 6 ? 0

C. x ? y ? 6 ? 0

D. x ? y ? 6 ? 0

? ? 6. 已知集合 A ? x | x2 ?1 ? 0 ,则下列式子表示正确的有(



①1? A ;②??1?? A;③ ? ? A;④?1, ?1? ? A .

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

7. 如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为( )

A.11 B.11.5 C.12 D.12.5 8. 已知命题 p:“若直线 a 与平面 α 内两条直线垂直,则直线 a 与平面 α 垂直”,命题 q:“存在两个相交平面 垂直于同一条直线”,则下列命题中的真命题为( ) A.p∧q B.p∨q C.¬p∨q D.p∧¬q
9. 是 z 的共轭复数,若 z+ =2,(z﹣ )i=2(i 为虚数单位),则 z=( ) A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i
10.执行如图所示的程序,若输入的 x ? 3 ,则输出的所有 x 的值的和为( )
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A.243

B.363

C.729

D.1092

【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算,意在考查识图能力、简单的计算能力. 11.设集合 S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,则实数 a 的取值范围是( )

A.﹣3<a<﹣1

B.﹣3≤a≤﹣1

C.a≤﹣3 或 a≥﹣1 D.a<﹣3 或 a>﹣1

12.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为(



A.﹣7

B.﹣1

C.﹣1 或﹣7

D.

二、填空题

13.设全集 U=R,集合 M={x|2a﹣1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},若 N?M,则实数 a 的取值范围是 .

14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列,则{an}的通项公式

an=



15.设 α 为锐角, =(cosα,sinα), =(1,﹣1)且 ? = ,则 sin(α+ )=



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16.一船以每小时 12 海里的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶 4 小时后,到达 C 处,

看到这个灯塔 B 在北偏东 15°,这时船与灯塔相距为 海里.

17.函数 f (x) ( x ? R )满足 f (1) ? 2 且 f (x) 在 R 上的导数 f '(x) 满足 f '(x) ? 3 ? 0 ,则不等式

f (log 3 x) ? 3log3 x ?1的解集为

.

【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题,本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高

要求,难度大.

18.若函数 f(x)=

﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是 .

三、解答题
19.已知函数 (Ⅰ)求曲线



在点

处的切线方程;

(Ⅱ)设

,若函数



上(这里

)恰有两个不同的零点,求

实数 的取值范围.

20.已知函数 f ? x? ? ln x ? 1 ax2 ? x, a ? R .
2
(1)令 g ?x? ? f ?x? ??ax ?1? ,讨论 g ? x? 的单调区间;

(2)若 a ? ?2 ,正实数 x1, x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

21.(选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

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22.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性 有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节 目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷体育迷合计 男 女 总计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性,若从 “超级体育迷”中任意选取 2 名,求至少有 1 名女性观众的概率.
附:K2=

P(K2≥k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024

6.635 7.879 10.83

23.已知等差数列{an}的首项和公差都为 2,且 a1、a8 分别为等比数列{bn}的第一、第四项. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

(2)设 cn=

,求{cn}的前 n 项和 Sn.

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24.若点(p,q),在|p|≤3,|q|≤3 中按均匀分布出现. (1)点 M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标,则点 M(x,y) 落在上述区域的概率? (2)试求方程 x2+2px﹣q2+1=0 有两个实数根的概率.
25.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB= ,AC=3,BC=2,P 是△ ABC 内一点. (1)若 P 是等腰三角形 PBC 的直角顶角,求 PA 的长; (2)若∠BPC= ,设∠PCB=θ,求△ PBC 的面积 S(θ)的解析式,并求 S(θ)的最大值.
26.一个圆柱形圆木的底面半径为 1m,长为 10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分,现要把其中一个 部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形 ABCD(如图所示,其中 O 为圆心,C,D 在半圆 上),设∠BOC=θ,直四棱柱木梁的体积为 V(单位:m3),侧面积为 S(单位:m2). (Ⅰ)分别求 V 与 S 关于 θ 的函数表达式; (Ⅱ)求侧面积 S 的最大值; (Ⅲ)求 θ 的值,使体积 V 最大.
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海林市高中 2018-2019 学年高二下学期第一次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵a1=3,an﹣an?an+1=1,



,得



,a4=3,

… ∴数列{an}是以 3 为周期的周期数列,且 a1a2a3=﹣1, ∵2016=3×672, ∴A2016 =(﹣1)672=1. 故选:D.

2. 【答案】B

【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为?x>0,lnx≥x.

故选:B. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.

3. 【答案】C 【解析】由已知,得{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个 数为 3. 4. 【答案】D 【解析】解:A∩B={x|﹣2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.故选 D.

5. 【答案】 D
【解析】

考 点:直线方程 6. 【答案】C 【解析】
试题分析: A ? ?1, ?1?,所以①③④正确.故选 C.
考点:元素与集合关系,集合与集合关系. 7. 【答案】C
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【解析】解:由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以 x 为 2,所以由图可估计样本重量的中位数是 12. 故选:C.

8. 【答案】C

【解析】解:根据线面垂直的定义知若直线 a 与平面 α 内两条相交直线垂直,则直线 a 与平面 α 垂直,当两 条直线不相交时,结论不成立,即命题 p 为假命题. 垂直于同一条直线的两个平面是平行的,故命题存在两个相交平面垂直于同一条直线为假命题.,即命题 q 为假命题. 则¬p∨q 为真命题,其余都为假命题, 故选:C. 【点评】本题主要考查复合命题真假之间的判断,分别判断命题 p,q 的真假是解决本题的关键.

9. 【答案】D 【解析】解:由于,(z﹣ 又 z+ =2 ② 由①②解得 z=1﹣i 故选 D.

)i=2,可得 z﹣

=﹣2i ①

10.【答案】D
【解析】当 x ? 3 时, y 是整数;当 x ? 32 时, y 是整数;依次类推可知当 x ? 3n (n ? N*) 时, y 是整数,则 由 x ? 3n ? 1000 ,得 n ? 7 ,所以输出的所有 x 的值为 3,9,27,81,243,729,其和为 1092,故选 D.
11.【答案】A

【解析】解:∵S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,



,解得:﹣3<a<﹣1.

故选:A. 【点评】本题考查并集及其运算,关键是明确两集合端点值间的关系,是基础题.

12.【答案】A 【解析】解:因为两条直线 l1:(3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8,l1 与 l2 平行.

所以

,解得 m=﹣7.

故选:A. 【点评】本题考查直线方程的应用,直线的平行条件的应用,考查计算能力.

二、填空题
13.【答案】 [ ,1] .

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【解析】解:∵全集 U=R,集合 M={x|2a﹣1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},N?M, ∴2a﹣1≤1 且 4a≥2,解得 2≥a≥ ,故实数 a 的取值范围是[ ,1], 故答案为[ ,1].

14.【答案】



【解析】解:∵数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列,∴Sn =3n. 故 a1=s1=3,n≥2 时,an=Sn ﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1,

故 an=



【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式,数列的前 n 项的和 Sn 与第 n 项 an 的关系,属于中档题.

15.【答案】:



【解析】解:∵ ? =cosα﹣sinα= ,

∴1﹣sin2α= ,得 sin2α= ,

∵α 为锐角,cosα﹣sinα= ?α∈(0, ),从而 cos2α 取正值,

∴cos2α=

=,

∵α 为锐角,sin(α+ )>0,

∴sin(α+ )

=

=

=

=



故答案为:



16.【答案】 24

【解析】解:根据题意,可得出∠B=75°﹣30°=45°,

在△ABC 中,根据正弦定理得:BC=

=24 海里,

则这时船与灯塔的距离为 24 海里.

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故答案为:24 .

17.【答案】 (0,3) 【 解 析 】 构 造 函 数 F(x) ? f (x) ? 3x , 则 F'(x) ? f '(x) ? 3 ? 0 , 说 明 F(x) 在 R 上 是 增 函 数 , 且 F(1) ? f (1) ? 3 ? ?1 . 又 不 等 式 f (log 3 x) ? 3log3 x ?1 可 化 为 f ( l o3 xg) ? 3l o3 gx ? ?1 , 即 F ( l o3 xg) ? F (1) ,∴ log3 x ? 1,解得 0 ? x ? 3 .∴不等式 f (log 3 x) ? 3log3 x ?1的解集为 (0,3) .
18.【答案】

﹣2

【解析】解:函数 f(x)=

﹣m 的导数为 f′(x)=mx2+2x,

由函数 f(x)=

﹣m 在 x=1 处取得极值,

即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2, 即有 f′(x)=﹣2x2+2x=﹣2(x﹣1)x, 可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义
【试题解析】(Ⅰ)函数定义域为





, 所求切线方程为

,即

(Ⅱ)函数



上恰有两个不同的零点,

等价于



上恰有两个不同的实根

等价于



上恰有两个不同的实根,





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当 当


时, 时,

, ,

在 递减; 在 递增.

,又








20.【答案】(1)当 a ? 0 时,函数单调递增区间为 ?0, ??? ,无递减区间,当 a ? 0 时,函数单调递增区间



? ??

0,

1 a

? ??

,单调递减区间为

? ??

1 a

,

??

? ??

;(2)证明见解析.

【解析】

试 题解析:

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(2)当 a ? ?2 时, f ? x? ? ln x ? x2 ? x, x ? 0,

由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1x2 ? 0 可得 ln x1x2 ? x12 ? x1 ? x22 ? x2 ? 0 ,

即 ? x1 ? x2 ?2 ? ? x1 ? x2 ? ? x1x2 ? ln x1x2 ,



t

?

x1x2 ,?

?t

?

?

t

?

ln

t

,则??

?t

?

?

1?

1 t

?

t

?1 t



则? ?t? 在区间 ?0,1? 上单调递减,在区间 ?1, ???上单调递增,

所以? ?t ? ? ? ?1? ?1,所以 ? x1 ? x2 ?2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1,

又 x1 ? x2 ? 0 ,故 x1 ? x2 ?

5 ?1 , 2

由 x1 ? 0, x2 ? 0 可知 x1 ? x2 ? 0 .1

考点:函数导数与不等式.

【方法点晴】解答此类求单调区间问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错. 解决含

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参数问题及不等式问题注意两个转化:(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成 立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的 单调性问题处理. 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 21.【答案】

【解析】(Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|=
当 x<﹣1 时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1; 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(﹣2,2).… (Ⅱ)证明:当 a,b∈M,即﹣2<a,b<2, ∵4(a+b)2﹣(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)﹣(16+8ab+a2b2)=(a2﹣4)(4﹣b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.… 【点评】本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分段函数,利 用作差法证明不等式.
22.【答案】

【解析】解:(1)由频率分布直方图中可知:抽取的 100 名观众中,“体育迷”共有(0.020+0.005)×10×100=25

名.可得 2×2 列联表:

非体育迷体育迷合计

男 30

15 45

女 45

10 55

总计75

25 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算可得 K2 的观测值为:k=

= ≈3.030.

∵3.030<3.841, ∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图中可知:“超级体育迷”有 5 名,从而一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω={(a1,a2), (a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1, b2)},其中 ai(i=1,2,3)表示男性,bj(j=1,2)表示女性. 设 A 表示事件“从“超级体育迷”中任意选取 2 名,至少有 1 名女性观众”,则事件 A 包括 7 个基本事件:(a1, b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2).

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∴P(A)= . 【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

23.【答案】 【解析】解:(1)由等差数列通项公式可知:an=2+(n﹣1)2=2n, 当 n=1 时,2b1=a1=2,b4=a8=16,…3

设等比数列{bn}的公比为 q,则

,…4

∴q=2,…5



…6

(2)由(1)可知:log2bn+1=n…7



…9





∴{cn}的前 n 项和 Sn,Sn= .…12
【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式,等比数列性质,考查“裂项法”求数列的前 n 项和,考查计算 能力,属于中档题.

24.【答案】

【解析】解:(1)根据题意,点(p,q),在|p|≤3,|q|≤3 中,即在如图的正方形区域, 其中 p、q 都是整数的点有 6×6=36 个, 点 M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,即 x、y 都是整数,且 1≤x≤3,1≤y≤3, 点 M(x,y)落在上述区域有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1), (3,2),(3,3),有 9 个点,

所以点 M(x,y)落在上述区域的概率 P1=



(2)|p|≤3,|q|≤3 表示如图的正方形区域,易得其面积为 36; 若方程 x2+2px﹣q2+1=0 有两个实数根,则有△=(2p)2﹣4(﹣q2+1)>0, 解可得 p2+q2≥1,为如图所示正方形中圆以外的区域,其面积为 36﹣π,

即方程 x2+2px﹣q2+1=0 有两个实数根的概率,P2=



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【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算,解题时注意区分两种概率的异同点.
25.【答案】
【解析】解:(1)∵P 为等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,且 BC=2, ∴∠PCB= ,PC= , ∵∠ACB= ,∴∠ACP= , 在△PAC 中,由余弦定理得:PA2=AC2+PC2﹣2AC?PC?cos =5, 整理得:PA= ; (2)在△PBC 中,∠BPC= ,∠PCB=θ, ∴∠PBC= ﹣θ,

由正弦定理得:

=

=



∴PB= sinθ,PC= sin( ﹣θ), ∴△PBC 的面积 S(θ)= PB?PCsin = sin( ﹣θ)sinθ= sin(2θ+ )﹣ ,θ∈(0, ), 则当 θ= 时,△PBC 面积的最大值为 . 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

26.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)木梁的侧面积 S=10(AB+2BC+CD) =10(2+4sin +2cosθ)=20(cosθ+2sin +1),θ∈(0,

),

梯形 ABCD 的面积 SABCD=

﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0, ),

体积 V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0, );

(Ⅱ)木梁的侧面积 S=10(AB+2BC+CD)=10(2+4sin +2cosθ)

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=20(cos 设 g(θ)=cos

+1),θ∈(0, ), +1,g(θ)=﹣2sin2 +2sin +2,

∴当 sin = ,θ∈(0, ),

即 θ= 时,木梁的侧面积 s 最大. 所以 θ= 时,木梁的侧面积 s 最大为 40m2. (Ⅲ)V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ﹣1)=10(2cosθ﹣1)(cosθ+1) 令 V′(θ)=0,得 cosθ= ,或 cosθ=﹣1(舍)∵θ∈(0, ),∴θ= .

当 θ∈(0, )时, <cosθ<1,V′(θ)>0,V(θ)为增函数;

当 θ∈( , )时,0<cosθ<,V′(θ)>0,V(θ)为减函数.

∴当 θ= 时,体积 V 最大.

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