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[湖北名校期中]湖北武汉市第二中学2017年-2018年学年高中一年级上学期期中考试数学试题Word版含解析


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武汉二中 2016-2017 学年度上学期期中考试高一数学试卷
考试时间:2016 年 11 月 10 日上午 8:00-10:00 试卷满分:150 分

第Ⅰ卷 一、选择题:本题共 12 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合
题目要求的.

1. 设集合 A ? ?x | x ?1? 0?, B ? ?x | x ? 2 ? 0? , 则图中阴影部分表示的集合为( )

A. ?x | x ? ?1? C. ?x | x ? 2或x ? ?1?

B. ?x | x ? 2? D. ?x | ?1? x ? 2?

R A

2.

方程组

?x ??x

? ?

y ?1
的解集是(
y ? ?1



A. {x=0, y=1}

B. {0, 1}

C. {(0, 1)}

D. {(x, y)|x=0 或 y=1}

3. 下列各组函数是同一函数的是( )

A. y= x2 ? x 与 y=x(x≠-1) x ?1
C. y=|x-2|与 y=x-2(x≥2)

B. y= 2 | x | 与 y=2
x
D. y=|x+1|+|x|与 y=2x+1

4. 函数 f (x)的定义域为[0, 8], 则函数 f (2x) 的定义域为(
x?4

A. (0, 4)

B. [0, 4)

C. [0, 4]

) D. [0, 4)∪(4, 16]

5. 如果 loga 8 ? logb 8 ? 0 , 那么 a、b 间的关系是( )

A. 0<a<b<1

B. 0<b<a<1 C. 1<a<b

D. 1<b<a

6. 已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的偶函数, 当 x≤0 时, y=f (x)是减函数, 若|x1|< |x2|, 则( )

A. f (x1)-f (x2)<0

B. f (x1)-f (x2)>0

C. f (x1)+f (x2)<0

D. f (x1)+f (x2)>0

7. 对于 0 ? a ? 1, 给出下列四个不等式( )

①loga(1+a)<loga(1+ 1 )
a

②loga(1+a)>loga(1+ 1 )
a

③ a1?a

1? 1
?a a

④ a1?a

1? 1
?a a

其中成立的是( )

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A. ①与③

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B. ①与④

C. ②与③

8. 下列函数中, 在(0, 2)上为增函数的是( )

D. ②与④

A. y ? log 1 (x ?1)
2

B. y ? log 2 x2 ?1

C.

y

?

log 2

1 x

D. y ? log 1 (x2 ? 4x ? 5)
2

9. 如下图①对应于函数 f (x) , 则在下列给出的四个函数中, 图②对应的函数只能是
()

A. y ? f ( x )

B. y ? f (? x ) C. y ? f (x)

D. y ? ? f ( x )

10. 若 x0 是方程 ex ? 3 ? 2x 的根, 则 x0 属于区间( )

A. (-1, 0)

B. (0, 1 ) 2

C. ( 1 , 1) 2

D. (1, 2)

11. 若函数 f (x) ? x2 ? a x ? 2( x ? R )在区间?3, ??? 和??2, ?1? 上均为增函数, 则实数

a 的取值范围是( )

A. ??6,?4?

B.

????

11 3

,

?3???

C. ???3, ?2 2 ?? D. ??4, ?3?

12.

已知函数

? ? f (x) ? ? ?

x ? 1 ,x ?[0,1)

2

2

2x?1 , x ?[ 1,2]

?

2

, 若存在 x1, x2 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时, f (x1)

=f (x2), 则 x1 f ? x2 ? ? f ? x2 ? 的取值范围为( )

A.

? ???

0,

2

?

3 4

2? ???

B.

??? ? 196

,

2

?

3 4

2? ???

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C.

?2?3

? ?

4

2

,

?

1 2

? ???

D.

????

9 16

,

?

1 2

? ??

第Ⅱ卷

二、填空题:本题共 4 小题, 每小题 5 分.

13. 已知 A={ x | x2-2x-3 ≤ 0}, 若实数 a∈A, 则 a 的取值范围是__________;

14. 若 f (x ?1) ? 1? lg x , 则 f (9) =____________;

15.

已知函数

f

(

x)

?

??x2 ?1 ,

???log

1 2

x

,

x ? 1, x ≥1. 若关于 x 的方程

f

(x)

?k

有三个不同的实根,

则实

数 k 的取值范围是

;

16. 设已知函数 f (x) ? log2 x , 正实数 m, n 满足 m ? n , 且 f (m) ? f (n) , 若 f (x) 在区间

[m2 , n] 上的最大值为 2, 则 n ? m ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分)

计算:①

25

? ??

8

1
?3 ?

? ??

? e?0

?

??

1

?
? ?

1 2



9 ? 27 ?

?4?

② (lg 2)2 ? lg 2lg 5 ? (lg 2)2 ? lg 4 ?1 .

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)= log0.3(4x ?1) 的定义域为 A, m>0, 函数 g(x) =4 x-1
(0<x≤m)的值域为 B . (1) 当 m ?1时, 求 (CR A)∩B; (2) 是否存在实数 m , 使得 A ? B?若存在, 求出 m 的值;若不存在, 请说明理由。

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19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f (x)满足 f (0)=2 和 f (x+1)-f (x)=2x-1。 (1) 求函数 f (x)的解析式; (2) 当 t ?[?1,3] 时, 求 g(t) ? f (2t ) 的值域。
20. (本小题满分 12 分) 已知 f (x) ? log2(2x ? a) 的定义域为 (0, ??) . (1) 求 a 的值; (2) 若 g(x) ? log2(2x ?1) , 且关于 x 的方程 f (x) ? m ? g(x) 在 [1, 2] 上有解, 求 m 的取
值范围.

21.

(本小题满分 12 分)

已知定义在 R 上的函数

f (x) ? 2x

?1 2|x|

.

(1) 若 f (x)= 3 , 求 x 的值;
2

(2) 若 2t f (2t)+m f (t)≥0 对于 t ?[1, 2] 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

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22. (本小题满分 12 分) 已知 f (ex ) ? ax2 ? x , a ? R .

(1) 求 f (x) 的解析式;

(2) 求 x ? (0,1] 时, f (x) 的值域;

(3)

设 a?1 , 2

若 h(x) ? [ f (x) ?1? a]? logx e 对 任 意 的 x1, x2 ?[e?3, e?1] ,

总有

h(x1) ? h(x2 )

? a ? 1 恒成立, 3

求实数 a 的取值范围.

2016-2017 学年湖北省武汉二中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 A={x|x+1>0},B={x|x﹣2<0}.则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x>﹣1} B.{x|x≥2} C.{x|x>2 或 x<﹣1} D.{x|﹣1<x<2} 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】先化简两个集合,再根据图形得出阴影部分对应的集合是(CRB)∩A,即可求出阴 影部分的集合 【解答】解:由题意 A={x|x+1>0}={x|x>﹣1},B={x|x﹣2<0}={x|x<2}. 又由图得,阴影部分对应的集合是(CRB)∩A, ∴阴影部分表示的集合为{x|x≥2} 故选 B 【点评】本题考查 Venn 图表达集合的关系及运,解题的关键是根据图形得出阴影部分的集 合表示,从而计算出集合.
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2.(5 分)(2013 秋? 黄冈期中)方程组

的解集是( )

A.{x=0,y=1} B.{0,1} C.{(0,1)} D.{(x,y)|x=0 或 y=1} 【考点】集合的表示法. 【专题】计算题;集合. 【分析】运用加减消元法,求出方程组的解,最后运用集合表示.

【解答】解:方程组



两式相加得,x=0, 两式相减得,y=1. ∴方程组的解集为{(0,1)}. 故选 C. 【点评】本题主要考查集合的表示方法:列举法和描述法,注意正确的表示形式,区分数 集和点集.

3.(5 分)(2015 春? 南昌校级期末)下列各组函数是同一函数的是( )

A.y=

与 y=2B.y=

与 y=x(x≠﹣1)

C.y=|x﹣2|与 y=x﹣2(x≥2) D.y=|x+1|+|x|与 y=2x+1 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致,即可.

【解答】解:A.y=

=

,两个函数的定义域和对应法则都不一样,所以

A 不是同一函数.

B.y=

=x(x≠﹣1)与 y=x(x≠﹣1),两个函数的定义域和对应法则都一样,所以 B

是同一函数. C.y=|x﹣2|与 y=x﹣2(x≥2),两个函数的定义域和对应法则都不一样,所以 C 不是同一 函数. D.y=|x+1|+|x|与 y=2x+1 的对应法则不一致,所以 D 不是同一函数. 故选:B. 【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的主要标准是判断两个函数的 定义域和对应法则是否一致,否则不是同一函数.

4.函数 f(x)的定义域为[0,8],则函数

的定义域为( )

A.[0,4] B.[0,4) C.(0,4) D.[0,4)∪(4,16] 【考点】函数的定义域及其求法.

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【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x)的定义域为[0,8],求出函数 f(2x)的定义域,再由分式的分母

不等于 0,则函数

的定义域可求.

【解答】解:∵函数 f(x)的定义域为[0,8], 由 0≤2x≤8,解得 0≤x≤4. 又 x﹣4≠0,

∴函数

的定义域为[0,4).

故选:B. 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,给出函数 f(x)的定义域为[a,b],求解函 数 f[g(x)]的定义域,直接求解不等式 a≤g(x)≤b 即可,是基础题.

5.如果 loga 8 ? logb 8 ? 0 ,那么 a、b 间的关系是( )
A.0<a<b<1 B.1<a<b C.0<b<a<1 D.1<b<a 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用对数的换底公式及其性质、不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵ loga 8 ? logb 8 ? 0 ,





∴0<lga<lgb, ∴b>a>1. 故选:B. 【点评】本题考查了对数的换底公式及其性质、不等式的性质,属于基础题.

6.已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,y=f (x)是减函数,若|x1| <|x2|,则( ) A.f (x1)﹣f (x2)<0 B.f (x1)﹣f (x2)>0 C.f (x1)+f (x2)<0 D.f (x1)+f (x2)>0 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】由偶函数与单调性的关系和条件,判断出 f(x)在(0,+∞)是增函数,由单调 性得 f(|x1|)<f(|x2|),再利用偶函数的定义得到答案. 【解答】解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,f(x)是减函数, ∴函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∵|x1|<|x2|,∴f(|x1|)<f(|x2|), ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(|x1|)=f(x1),f(|x2|)=f(x2), ∴f(x1)<f(x2),即 f(x1)﹣f(x2)<0, 故选 A.

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【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的关系的应用,考查分析、解决问题的能力,转 化思想.

7.对于 0<a<1,给出下列四个不等式( ) ①loga(1+a)<loga(1+ );

②loga(1+a)<loga(1+ );

③a1+a<a



④a1+a<a



其中成立的是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【考点】对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点. 【专题】常规题型.

【分析】根据题意,∵0<a<1∴ >1∴

又∵y=logax 此时在定义域上是减函数,

∴①loga(1+a)<loga(1+ )错误;②loga(1+a)>loga(1+ )正确;又∵y=ax 此时

在定义域上是减函数,∴③a1+a<a1

错误;④a1+a>a

正确.

【解答】解:∵0<a<1,∴a< ,从而 1+a<1+ .

∴loga(1+a)>loga(1+ ).

又∵0<a<1,∴a1+a>a



故②与④成立. 【点评】此题充分考查了不等式的性质,同时结合函数单调性对不等关系进行了综合判断.

8.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题. 【分析】根据对数函数和其它函数的复合函数进行逐一判断,注意函数的定义域.

【解答】解:A、

在(﹣1,+∞)单调递减,故 A 错;

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B、

的定义域为(1,+∞)∪(﹣∞,﹣1),故该函数在(0,2)上为增

函数错;

C、

是由 y=y=log2x(增函数)和 (减函数)复合而成,故该函数在(0,2)

上为减函数,故错;

D、

是由

(减函数)和 y=x2﹣4x+5(减函数)复合而成,

故该函数在(0,2)上为增函数,故正确; 故选 D. 【点评】此题是个基础题.考查和对数函数有关的复合函数的单调性,注意函数的定义域.

9.(5 分)(2016 秋? 江岸区校级期中)如下图①对应于函数 f(x),则在下列给出的四个 函数中,图②对应的函数只能是( )

A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(﹣|x|) D.y=﹣f(|x|) 【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】图②对应的函数可看成将图①中的图象 y 轴右侧擦去,将左侧图象对称到右侧, 从而得到答案. 【解答】解:图②对应的函数可看成将图①中的图象 y 轴右侧擦去,将左侧图象对称到右 侧, 故选 C. 【点评】本题考查了函数图象的对称变换,属于基础题.
10.(5 分)(2015? 安康二模)若 x0 是方程 ex=3﹣2x 的根,则 x0 属于区间( )
A.(﹣1,0) B.(0, ) C.( ,1) D.(1,2)
【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据题意,设函数 f(x)=ex﹣(3﹣2x),判断函数 f(x)在哪个区间内存在零点 即可. 【解答】解:根据题意,设函数 f(x)=ex﹣(3﹣2x)=ex+2x﹣3, ∵f(﹣1)=e﹣1﹣2﹣3<0, f(0)=e0+0﹣3=﹣2<0,
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f( )= +2× ﹣3= ﹣2<0,
f(1)=e+2﹣3=e﹣1>0, f(2)=e2+4﹣3=e2+1>0,
∴f( )? f(1)<0;

∴f(x)在区间( ,1)内存在零点,

即 x0∈( ,1).

故选:C. 【点评】本题考查了判断函数零点的应用问题,解题时应根据根的存在性定理进行解答, 是基础题目. 11.(5 分)(2016? 安庆三模)若函数 f(x)=x2+a|x|+2,x∈R 在区间[3,+∞)和[﹣2, ﹣1]上均为增函数,则实数 a 的取值范围是( )

A.[﹣ ,﹣3] B.[﹣6,﹣4] C.[﹣3,﹣2 ] D.[﹣4,﹣3]

【考点】函数的单调性及单调区间. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x)为 R 上的偶函数知,只需考察 f(x)在(0,+∞)上的单调性,在 [3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,则只需函数 y=x2+ax+2 的对称轴

,由此求得实数 a 的取值范围.

【解答】解:f(x)=x2+a|x|+2, ∵f(﹣x)=(﹣x)2+a|﹣x|+2=x2+a|x|+2=f(x), ∴f(x)为实数集上的偶函数,由 f(x)=x2+a|x|+2 在区间[3,+∞)和[﹣2,﹣1]上均为 增函数, 知 f(x)在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,

∴函数 y=x2+ax+2(x>0)的对称轴

,得 a∈[﹣6,﹣4].

故选:B. 【点评】本题考查函数单调性及其奇偶性的性质,考查函数单调区间的求法,是中档题.

12.(5 分)(2016? 太原校级二模)已知函数

,若存在 x1,

x2,当 0≤x1<x2<2 时,f(x1)=f(x2),则 x1f(x2)﹣f(x2)的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】分段函数的应用. 【专题】数形结合;转化思想;转化法;函数的性质及应用.

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【分析】先作出函数图象然后根据图象,根据 f(x1)=f(x2),确定 x1 的取值范围然后再 根据 x1f(x2)﹣f(x2),转化为求在 x1 的取值范围即可. 【解答】解:作出函数的图象: ∵存在 x1,x2,当 0≤x1<x2<2 时,f(x1)=f(x2)
∴0≤x1< ,

∵x+ 在[0, )上的最小值为 ;

2x﹣1 在[ ,2)的最小值为 ,

∴x1+ ≥ ,x1≥





≤x1< .

∵f(x1)=x1+ ,f(x1)=f(x2)

∴x1f(x2)﹣f(x2)=x1f(x1)﹣f(x1)2

=

﹣(x1+ )=x12﹣ x1﹣ ,

设 y=x12﹣ x1﹣ =(x1﹣ )2﹣ ,(

≤x1< ),

则对应抛物线的对称轴为 x= ,

∴当 x= 时,y=﹣ ,

当 x=

时,y=



即 x1f(x2)﹣f(x2)的取值范围为[﹣ ,

).

故选:B.

【点评】本题主要考查分段函数的应用,以及函数零点和方程之间的关系,利用二次函数 的单调性是解决本题的关键,综合性强,难度较大. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.
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13.(5 分)(2016 秋? 江岸区校级期中)已知 A={ x|x2﹣2x﹣3≤0},若实数 a∈A,则 a 的取值范围是 [﹣1,3] . 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】定义法;集合. 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【解答】解:集合 A={ x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3} ∵实数 a∈A, 则:﹣1≤a≤3. 所以 a 的取值范围是[﹣1,3]. 故答案为[﹣1,3]. 【点评】本题主要考查元素与集合的关系,属于基础题.
14.(5 分)(2012 秋? 三明校级期末)若 f(x﹣1)=1+lgx,则 f(9)= 2 . 【考点】对数的运算性质;函数的值. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】直接令 x﹣1=9,求出 x 后直接代入即可求解 【解答】解:∵f(x﹣1)=1+lgx, 则 f(9)=1+lg10=2 故答案为:2 【点评】本题主要考查了函数的函数值的求解,属于基础试题

15.(5 分)(2014? 房山区一模)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f

(x)=k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 (﹣1,0) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】令 y=k,画出 f(x)和 y=k 的图象,通过读图一目了然. 【解答】解:画出函数 f(x)的图象(红色曲线), 如图示:



令 y=k,由图象可以读出:﹣1<k<0 时, y=k 和 f(x)有 3 个交点,
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即方程 f(x)=k 有三个不同的实根, 故答案为:(﹣1,0). 【点评】本题考察了根的存在性问题,渗透了数形结合思想,是一道基础题.

16.(5 分)(2014? 海南模拟)已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)

=f(n),若 f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 2,则 n+m=



【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题. 【分析】先结合函数 f(x)=|log2x|的图象和性质,再由 f(m)=f(n),得到 m,n 的倒数 关系,再由“若 f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 2”,求得 m.n 的值得到结果. 【解答】解:∵f(x)=|log2x|,且 f(m)=f(n), ∴mn=1 ∵若 f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 2 ∴|log2m2|=2 ∵m<n,

∴m=

∴n=2

∴n+m=

故答案为:
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,特别是取绝对值后考查的特别多,解决的 方法多数用数形结合法.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)(2016 秋? 江岸区校级期中)计算:

① ﹣( ) ﹣(π+e)0+( )



②(lg2)2+lg2lg5+



【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】转化思想;函数的性质及应用. 【分析】①利用指数幂的运算法则即可得出. ②利用对数的运算法则即可得出.

【解答】解:①原式=

﹣1+

= ﹣ ﹣1+

=2.

②原式=lg2(lg2+lg5)+ =lg2+1﹣lg2

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=1. 【点评】本题考查了指数与对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

18.(12 分)(2016 秋? 江岸区校级期中)已知函数 f (x)=

的定义域

为 A,m>0,函数 g(x)=4 x﹣1(0<x≤m)的值域为 B. (1)当 m=1 时,求 (? R A)∩B; (2)是否存在实数 m,使得 A=B?若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】(1)求出 f(x)的定义域确定出 A,进而求出 A 的补集,把 m=1 代入确定出 x 的 范围,进而求出 g(x)的值域,确定出 B,找出 A 补集与 B 的交集即可; (2)表示出 g(x)的值域确定出 B,根据 A=B 求出 m 的值即可.

【解答】解:(1)由题意得:



解得: <x≤ ,即 A=( , ],

∴? RA=(﹣∞, ]∪( ,+∞), 当 m=1 时,由 0<x≤1,得到 <4x﹣1≤1,即 B=( ,1],

则(? RA)∩B=( ,1]; (2)由题意得:B=( ,4m﹣1],

若存在实数 m,使 A=B,则必有 4m﹣1= ,

解得:m= ,

则存在实数 m= ,使得 A=B. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

19.(12 分)(2016 秋? 江岸区校级期中)已知二次函数 f(x)满足 f(0)=2 和 f(x+1) ﹣f(x)=2x﹣1 对任意实数 x 都成立. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 t∈[﹣1,3]时,求 y=f(2t)的值域. 【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=2 可求得 c,由 f(x+1)﹣f(x)

=2x﹣1,得 2ax+a+b=2x﹣1,所以

,可求 a,b,从而可得 f(x);

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(2)y=f(2t)=(2t)2﹣2? 2t+2=(2t﹣1)2+1,由 t∈[﹣1,3],可得 2t 的范围,进而可 求得 y=f(2t)的值域. 【解答】解:(1)由题意可设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 由 f(0)=2 得 c=2, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 得,a(x+1)2+b(x+1)+2﹣ax2﹣bx﹣2=2x﹣1 对任意 x 恒成 立, 即 2ax+a+b=2x﹣1,





∴f(x)=x2﹣2x+2; (2)∵y=f(2t)=(2t)2﹣2? 2t+2=(2t﹣1)2+1,

又∵当 t∈[﹣1,3]时,





,(2t﹣1)2∈[0,49],

∴y∈[1,50], 即当 t∈[﹣1,3]时,求 y=f(2t)的值域为[1,50]. 【点评】本题考查二次函数的值域及解析式的求解,考查学生分析问题解决问题的能力.

20.(12 分)(2016 秋? 江岸区校级期中)已知 f(x)=log2(2x+a)的定义域为(0,+∞). (1)求 a 的值; (2)若 g(x)=log2(2x+1),且关于 x 的方程 f(x)=m+g(x)在[1,2]上有解,求 m 的 取值范围. 【考点】复合函数的单调性. 【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】(1)求出函数的定义域,根据条件建立方程进行求解即可, (2)利用参数分离法进行分类,然后利用复合函数的单调性之间的关系,构造函数求出函 数的值域即可得到结论. 【解答】解:(1)由 2x+a>0 得 2x>﹣a,即 x>log2(﹣a),即函数的定义域为(log2(﹣ a),+∞). ∵函数的定义域为(0,+∞), ∴log2(﹣a)=0,则﹣a=1,则 a=﹣1. (2)当 a=﹣1 时,f(x)=log2(2x﹣1), 由 f(x)=m+g(x)得 m=f(x)﹣g(x)=log2(2x﹣1)﹣log2(2x+1)

=log2(

)=log2(1﹣

),

令 h(x)=log2(1﹣

),

则 h(x)在[1,2]上为增函数, 当 x=1 时,h(x)取得最小值 h(1)=log2 ,

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当 x=2 时,h(x)取得最大值 h(2)=log2 ,
则 h(x)∈[log2 ,log2 ], 则要使方程 f(x)=m+g(x)在[1,2]上有解, 则 m∈[log2 ,log2 ]. 【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,根据函数的定义域求出 a 的值,以及利用 复合函数单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键.

21.(12 分)(2016 秋? 江岸区校级期中)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x﹣



(1)若 f(x)= ,求 x 的值;
(2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)化简 f(x)去掉绝对值,直接进行带值计算即可. (2)求出 f(2t),f(t)带入,构造指数函数,利用指数函数的图象及性质对 t∈[1,2] 恒成立求解.

【解答】解:由题意:f(x)=2x﹣

定义在 R 上的函数,

∴ (1)当 x≤0 时,f(x)=0,无解 当 x>0 时,f(x)=2x﹣ ,

由 f(x)= ,即:2x﹣ = ,

化简:2? 22x﹣3? 2x﹣2=0 因式分解:(2x﹣2)(2? 2x+2)=0
解得:解得 2x=2 或 2x=﹣ ,
∵2x>0, 故:x=1. (2)当 t∈[1,2]时,

f(2t)=

,f(t)=

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那么:



)≥0

整理得:m(22t﹣1)≥﹣(24t﹣1) ∵22t﹣1>0,∴m≥﹣(22t+1)恒成立即可. ∵t∈[1,2],∴﹣(22t+1)∈[﹣17,﹣5]. 要使 m≥﹣(22t+1)恒成立,只需 m≥﹣5 故:m 的取值范围是[﹣5,+∞). 【点评】本题考查了指数函数的性质及运用能力和化简能力,取值范围问题转化为恒成立 问题.属于中档题.

22.(12 分)(2015 秋? 扬州期末)已知 f(ex)=ax2﹣x,a∈R. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 x∈(0,1]时,f(x)的值域; (3)设 a>0,若 h(x)=[f(x)+1﹣a]? logxe 对任意的 x1,x2∈[e﹣3,e﹣1],总有|h(x1)

﹣h(x2)|≤a+ 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题;函数的值域;二次函数的性质. 【专题】综合题;转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】(1)利用换元法进行求解即可. (2)根据函数的解析式即可求函数的值域. (3)根据函数恒成立问题,建立不等式关系进行求解即可. 【解答】解:(1)设 ex=t,则 x=lnt>0,所以 f(t)=a(lnt)2﹣lnt 所以 f(x)=a(lnx)2﹣lnx(x>0); (2)设 lnx=m(m≤0),则 f(x)=g(m)=am2﹣m 当 a=0 时,f(x)=g(m)=﹣m,g(m)的值域为[0,+∞)

…(3 分)

当 a≠0 时,

若 a>0,

,g(m)的值域为[0,+∞)

若 a<0,

,g(m)在

上单调递增,在

上单调递减,g(m)

的值域为

…(7 分)

综上,当 a≥0 时 f(x)的值域为[0,+∞)

当 a<0 时 f(x)的值域为



…(8 分)

(3)因为

对任意

总有

所以 h(x)在[e﹣3,e﹣1]满足

…(10 分)

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设 lnx=s(s∈[﹣3,﹣1]),则

,s∈[﹣3,﹣1]

当 1﹣a<0 即 a>1 时 r(s)在区间[﹣3,﹣1]单调递增

所以

,即

,所以

(舍)

当 a=1 时,r(s)=s﹣1,不符合题意

…(12 分)

当 0<a<1 时,则

=a(s+

)﹣1,s∈[﹣3,﹣1]

若 所以 若



时,r(s)在区间[﹣3,﹣1]单调递增

,则



时 r(s)在

递增,在

递减

所以

,得





时 r(s)在区间[﹣3,﹣1]单调递减

所以

,即

,得

…(15 分)

综上所述:



【点评】本题主要考查函数解析式以及函数值域和恒成立的应用,综合考查函数的性质, 考查学生的运算和推理能力.

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