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【人教版】2020届高三数学考前指导试题(含解析)


2020 高考数学考前指导试卷

※ -精 品 人 教 试 卷- ※

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

1.已知集合 A={﹣1,0,2},B={2,a2},若 B? A,则实数 a 的值为



2.已知(2﹣i)(m+2i)=10,i 是虚数单位,则实数 m 的值为



3.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中每个个体被抽到的

概率都为 ,则总体中的个体数为



4.已知双曲线

的离心率为 ,则 b=



5.如图是一个算法流程图,则输出的 k 值是

6.若 a,b∈{0,1,2},则函数 f(x)=ax2+2x+b 有零点的概率为



7.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最小值为



8.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高 1 丈 3 尺 寸,容纳谷 2000 斛(1 丈=10 尺,1 尺=10 寸,斛为容

积单位,1 斛≈1.62 立方尺,π ≈3),则圆柱底面周长约为

丈.

9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比 q≠1,若

,则 q 的值为



10.已知圆 C:(x﹣1)2+(y﹣a)2=16,若直线 ax+y﹣2=0 与圆 C 相交于 AB 两点,且 CA⊥CB,则实数 a 的值是



11.设点 A(1,2),非零向量

,若对于直线 3x+y﹣4=0 上任意一点 P,

恒为定值,则 =



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12.若 a>0,b>0,且

,则 a+2b 的最小值为



※ -精 品 人 教 试 卷- ※

13.已知函数

,若 f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1<x2<x3),则

的取值范围为



14.在△ABC 中,若 3sinC=2sinB,点 E,F 分别是 AC,AB 的中点,则 的取值范围为



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.已知函数 f(x)=(1+ tanx)cos2x. (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域和最小正周期;

(Ⅱ)当 x∈(0, )时,求函数 f(x)的值域.

16.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,E 为 SA 的中点,SB=2,BC=3,



(Ⅰ)求证:SC∥平面 BDE;

(Ⅱ)求证:平面 ABCD⊥平面 SAB.

17.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 P(2,1)在椭圆 C:

上且离

心率为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)不经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点(不与点 P 重合),且线段 AB 的中为 D,直线 OD 的斜率 为 1,记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1?k2 为定值.

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※ -精 品 人 教 试 卷- ※

18.如图,某地区有一块长方形植物园 ABCD,AB=8(百米),BC=4(百米),植物园西侧有一块荒地,现计划利用 该荒地扩大植物园面积,使得新的植物园为 HBCEFG 满足下列要求:E 在 CD 的延长线上,H 在 BA 的延长线上,DE=0.5 (百米),AH=4(百米),N 为 AH 的中点,FN⊥AH,EF 为曲线段,它上面的任意一点到 AD 与 AH 的距离乘积为定值, FG,GH 均为线段,GH⊥HA,GH=0.5(百米). (1)求四边形 FGHN 的面积; (2)已知音乐广场 M 在 AB 上,AM=2(百米),若计划在 EFG 的某一处 P 开一个植物园大门,在原植物园 ABCD 内选 一点 Q,为中心建一个休息区,使得 QM=PM,且∠QMP=90°,问点 P 在何处,AQ 最小.

19.已知函数 f(x)=

,且方程 f(x)﹣m=0 有两个相异实数根 x1,x2(x1>x2).

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求实数 m 的取值范围; (3)证明:x12x2+x1x22>2. 20.已知数列{cn}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=n(cn+2). (1)求 c1 的值,并证明数列{cn}是等差数列;

(2)若

,且数列{an}的最大项为 .

①求数列{an}的通项公式; ②若存在正整数 x,使 am,an,xak 成等差数列(m<n<k,m,n,k∈N*),则当 T(x)=am+an+xak 取得最大值时,求 x 的最小值.

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2017 年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷 参考答案与试题解析

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A={﹣1,0,2},B={2,a2},若 B? A,则实数 a 的值为 0 . 【考点】18:集合的包含关系判断及应用. 【分析】由 B? A,可得 a2=0,解得 a. 【解答】解:∵B? A,∴a2=0,解得 a=0. 故答案为:0.

2.已知(2﹣i)(m+2i)=10,i 是虚数单位,则实数 m 的值为 4 . 【考点】A5:复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解答】解:(2﹣i)(m+2i)=10,化为:2m﹣8+(4﹣m)i=0, ∴2m﹣8=4﹣m=0,解得 m=4. 故答案为:4.

3.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中每个个体被抽到的

概率都为

,则总体中的个体数为 120 .

【考点】B3:分层抽样方法;C7:等可能事件的概率. 【分析】本题考查分层抽样,抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同,这是解决一部分抽样问题的依据,样本容 量、总体个数、每个个体被抽到的概率,这三者可以知二求一.

【解答】解:∵B 层中每个个体被抽到的概率都为



∴总体中每个个体被抽到的概率是



∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为 10÷ 故答案为:120.

=120

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4.已知双曲线

的离心率为

,则 b=

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【考点】KC:双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的离心率列出关系式求解即可.

【解答】解:双曲线

,可得 a=1,e=

,可得 c=

,则

b=

=



故答案为:



5.如图是一个算法流程图,则输出的 k 值是 11

【考点】EF:程序框图. 【分析】先判断程序框图的结构为直到型循环结构,然后按照程序框图进行循环,直到满足条件时输出 k 的值即可. 【解答】解:根据程序框图分析,本框图为直到型循环结构 第 1 次循环:k=2 S=4﹣5=﹣1 k=﹣1 第 2 次循环:S=1﹣5=﹣4 k=﹣4 第 3 次循环:S=16﹣5=11 k=11 第 3 次循环:S=121﹣5=106 满足条件 S>100,跳出循环 输出 k 的值为 11. 故答案为:11.

6.若 a,b∈{0,1,2},则函数 f(x)=ax2+2x+b 有零点的概率为



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【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.

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【分析】当函数 f(x)=ax2+2x+b 没有零点时,a≠0,且△=4﹣4ab<0,即 ab>1,由此利用对立事件概率计算公

式能求出函数 f(x)=ax2+2x+b 有零点的概率.

【解答】解:a,b∈{0,1,2},

当函数 f(x)=ax2+2x+b 没有零点时,

a≠0,且△=4﹣4ab<0,即 ab>1,

∴(a,b)有三种情况:

(1,2),(2,1),(2,2),

基本事件总数 n=3×3=9,

∴函数 f(x)=ax2+2x+b 有零点的概率为 p=1﹣



故答案为: .

7.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最小值为 3 .

【考点】7C:简单线性规划. 【分析】先根据条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴上的截距,只需求出 直线 z=2x+y,过可行域内的点 B(1,1)时的最小值,从而得到 z 最小值即可.

【解答】解:设变量 x、y 满足约束条件



在坐标系中画出可行域△ABC,A(2,0),B(1,1),C(3,3), 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 3. 故答案为:3.

8.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高 1 丈 3 尺
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寸,容纳谷 2000 斛(1 丈=10 尺,1 尺=10 寸,斛

为容积单位,1 斛≈1.62 立方尺,π ≈3),则圆柱底面周长约为 5.4 丈.

※ -精 品 人 教 试 卷- ※

【考点】L2:棱柱的结构特征.

【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面半径,从而求出圆周的底面周长.

【解答】解:由题意得,圆柱形谷仓底面半径为 r 尺,谷仓高 h=

尺.

于是谷仓的体积 V=

=2000×1.62.

解得 r≈9. ∴圆柱圆的周面周长为 2π r≈54 尺. 故答案为:5.4.

9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比 q≠1,若

,则 q 的值为 ﹣



【考点】89:等比数列的前 n 项和. 【分析】根据等比数列的前 n 项和公式,列方程求解即可. 【解答】解:等比数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,公比 q≠1,





=,

整理得 2q2﹣q﹣1=0, 即(q﹣1)(2q+1)=0, 解得 q=﹣ 或 q=1(不合题意,舍去), 所以 q 的值为﹣ . 故答案为:﹣ .

10.已知圆 C:(x﹣1)2+(y﹣a)2=16,若直线 ax+y﹣2=0 与圆 C 相交于 AB 两点,且 CA⊥CB,则实数 a 的值是 ﹣

1.

【考点】J9:直线与圆的位置关系.

【分析】求出圆 C 的圆心 C(1,a),半径 r=4,由直线 ax+y﹣2=0 与圆 C 相交于 AB 两点,且 CA⊥CB,得到 AB=4



由此利用圆心 C(1,a)到直线 AB 的距离 d=

=

,能求出 a.

【解答】解:圆 C:(x﹣1)2+(y﹣a)2=16 的圆心 C(1,a),半径 r=4,
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∵直线 ax+y﹣2=0 与圆 C 相交于 AB 两点,且 CA⊥CB,

∴AB=

=4



∴圆心 C(1,a)到直线 AB 的距离:

d=

=



解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1.

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11.设点 A(1,2),非零向量

,若对于直线 3x+y﹣4=0 上任意一点 P,

恒为定值,

则 =3.

【考点】9R:平面向量数量积的运算. 【分析】设点 P(x,y),由点 P 为直线上的任意一点,表示出向量

,由

系,再计算 .

【解答】解:设点 P(x,y), ∵点 P 为直线 3x+y﹣4=0 上的任意一点, ∴y=4﹣3x, ∴ =(x﹣1,2﹣3x); 又非零向量 =(m,n), ∴ ? =m(x﹣1)+n(2﹣3x)=(m﹣3n)x+(2n﹣m),且恒为定值, ∴m﹣3n=0,即 m=3n;

∴=

=3.

故答案为:3.

? 恒为定值,求出 m、n 的关

12.若 a>0,b>0,且 【考点】7F:基本不等式. 【 分 析 】 把 a+2b 变 形 为 a+2b= a+2b= 【解答】解:∵a>0,b>0,且
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,则 a+2b 的最小值为



,再利用已知可得 ,利用基本不等式即可得出. ,



a+2b=

=

=

当且仅当

a=

时取等号.

∴a+2b 的最小值为

故答案为



﹣ =
,a>0,b>0,且


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=



,即



13.已知函数

,若 f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1<x2<x3),则

的取值范围为 (﹣1,0) . 【考点】5B:分段函数的应用. 【分析】利用导数法,分析函数的单调性及极值,可得 f(x1)=f(x2)=f(x3)∈(0, ),即有﹣ <x1<

﹣ ,可得

=

=1+

,计算即可得到所求范围.

【解答】解:函数



∴函数 f′(x)=



故当 x<0 时,函数为增函数,且 f(x)< ,
当 0≤x<1 时,函数为增函数,且 0≤f(x)< ,
当 x≥1 时,函数为减函数,且 0<f(x)≤ , 若 f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1<x2<x3),
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则 f(x1)=f(x2)=f(x3)∈(0, ), 即﹣ <x1<﹣ ,



=

故答案为:(﹣1,0).

=1+

∈(﹣1,0),

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14.在△ABC 中,若 3sinC=2sinB,点 E,F 分别是 AC,AB 的中点,则

的取值范围为

【考点】HP:正弦定理.

【分析】由已知及正弦定理得 AC= AB,AE= AC,AF=

,由余弦定理可求 BE2=

. AB2﹣ AB2cosA,

CF2= AB2﹣ AB2cosA,从而化简可得

=

,结合范围 cosA∈(﹣1,1),

可求

的取值范围.

【解答】解:∵3sinC=2sinB,可得:3AB=2AC,即:AC= AB,

又∵点 E,F 分别是 AC,AB 的中点,

∴AE= AC,AF=



∴在△ABE 中,由余弦定理可得:BE2=AB2+AE2﹣2AB?AEcosA

=AB2+( AB)2﹣2AB? AB?cosA

=

AB2﹣ AB2cosA,

在△ACF 中,由余弦定理可得:CF2=AF2+AC2﹣2AF?ACcosA

=( AB)2+( AB)2﹣2? AB? AB?cosA

= AB2﹣ AB2cosA,



=

∵A∈(0,π ), ∴cosA∈(﹣1,1),可得:

∴可得:

=

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=



∈(



),





故答案为:



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二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15.已知函数 f(x)=(1+

tanx)cos2x.

(Ⅰ)求函数 f(x)的定义域和最小正周期;

(Ⅱ)当 x∈(0,

)时,求函数 f(x)的值域.

【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H1:三角函数的周期性及其求法. 【分析】(1)由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简,利用周期公式求得函数的最小正周期.

(2)根据 x 的范围确定 2x+

的范围,进而利用正弦函数的性质求得函数的值域.

【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为{x|x≠

+kπ ,k∈Z},

∵f(x)=(1+

tanx)cos2x=cos2x+

sinxcosx,

= cos2x+

sin2x+ =sin(2x+

)+ ,

∴f(x)的最小正周期为 T=π .

(Ⅱ)∵x∈(0,

),



<2x+





∴sin(2x+

)∈(﹣ ,1],

∴f(x)∈(0, ],

即当 x∈(0,

)时,求函数 f(x)的值域为(0, ].

16.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,E 为 SA 的中点,SB=2,BC=3,



(Ⅰ)求证:SC∥平面 BDE;

(Ⅱ)求证:平面 ABCD⊥平面 SAB.

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【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS:直线与平面平行的判定.

【分析】(Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 F,则 F 为 AC 中点,连接 EF,可得 EF∥SC,即 SC∥平面 BDE.

(Ⅱ)由 SB2+BC2=SC2,得 BC⊥SB,又四边形 ABCD 为矩形,即 BC⊥平面 SAB,可证平面 ABCD⊥平面 SAB.

【解答】证明:(Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 F,则 F 为 AC 中点,连接 EF,

∵E 为 SA 的中点,F 为 AC 中点,∴EF∥SC,

又 EF? 面 BDE,SC?面 BDE,∴SC∥平面 BDE.

(Ⅱ)∵SB=2,BC=3,



∴SB2+BC2=SC2,∴BC⊥SB,

又四边形 ABCD 为矩形,

∴BC⊥AB,又 AB、SB 在平面 SAB 内且相交,

∴BC⊥平面 SAB,

又 BC? 平面 ABCD,

∴平面 ABCD⊥平面 SAB.

17.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 P(2,1)在椭圆 C:
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上且离

心率为



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(1)求椭圆 C 的方程; (2)不经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点(不与点 P 重合),且线段 AB 的中为 D,直线 OD 的斜率 为 1,记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1?k2 为定值.

【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题;K4:椭圆的简单性质;KL:直线与椭圆的位置关系. 【分析】(1)根据椭圆的离心率公式,将 P 代入椭圆方程,即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆方程; (2)根据中点坐标公式及直线斜率公式,求得 x1+x2=y1+y2,利用点差法求得直线 l 的斜率,将直线方程代入椭圆 方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,即可求得 k1?k2 为定值 .

【解答】解:(1)由椭圆的离心率 e= =

=

,则 a2=2b2,

由 P(2,1)在椭圆上,则 解得:b2=3,则 a2=6, ∴椭圆的标准方程:

, ;

(2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 D(

由直线的斜率为 1,则 x1+x2=y1+y2,

由点 A,B 在椭圆上,则





),



两式相减整理得: 设直线 l 的方程 y=﹣ x+t,

,x1﹣x2+2(y1﹣y2)=0,则

=﹣ ,

,整理得:3x2﹣4tx+4t2﹣12=0,

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则 x1+x2=

,x1x2=



则 k1?k2=

=

=

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=

=,

∴k1?k2 为定值 .
18.如图,某地区有一块长方形植物园 ABCD,AB=8(百米),BC=4(百米),植物园西侧有一块荒地,现计划利用 该荒地扩大植物园面积,使得新的植物园为 HBCEFG 满足下列要求:E 在 CD 的延长线上,H 在 BA 的延长线上,DE=0.5 (百米),AH=4(百米),N 为 AH 的中点,FN⊥AH,EF 为曲线段,它上面的任意一点到 AD 与 AH 的距离乘积为定值, FG,GH 均为线段,GH⊥HA,GH=0.5(百米). (1)求四边形 FGHN 的面积; (2)已知音乐广场 M 在 AB 上,AM=2(百米),若计划在 EFG 的某一处 P 开一个植物园大门,在原植物园 ABCD 内选 一点 Q,为中心建一个休息区,使得 QM=PM,且∠QMP=90°,问点 P 在何处,AQ 最小.

【考点】5C:根据实际问题选择函数类型. 【分析】(1)建立坐标系,根据 E 点坐标得出曲线 EF 的方程,从而得出 F 点坐标,代入梯形的面积公式即可; (2)设 P(x,y),用 x,y 表示出 , ,根据 Q 点位置求出 x 的范围得出 P 在曲线 EF 上,利用距离公式 和基本不等式的性质得出 AQ 最小时的 x 的值即可得出 P 点位置. 【解答】解:(1)以 A 为原点,以 AB,AD 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 xOy,如图所示: 则 E(﹣ ,4),∴曲线 EF 的方程为 y=﹣ ,
∴F(﹣2,1),N(﹣2,0),H(﹣4,0),G(﹣4, ),
∴FN=1,GH= ,HN=2,
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∴四边形 FGHN 的面积为 S=

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= (平方百米).

(2)设 P(x,y),则 =(x﹣2,y), =(y,2﹣x), =(2+y,2﹣x),



,解得﹣2≤x≤2,

∴P 点在曲线 EF 上,﹣2≤x≤﹣ ,∴y=﹣ , ∴

|AQ|=

=

=

当且仅当﹣x= ∴当 P 为(﹣

=

=﹣x﹣ +2≥2

即 x=﹣

时取等号.

,﹣

)时,|AQ|最小.

+2,

19.已知函数 f(x)=

,且方程 f(x)﹣m=0 有两个相异实数根 x1,x2(x1>x2).

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求实数 m 的取值范围; (3)证明:x12x2+x1x22>2. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6K:导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可; (2)根据函数的单调性求出 f(x)的最大值,通过讨论 m 的范围,结合函数的单调性判断出方程 f(x)﹣m=0 有 两个相异实数根的 m 的范围即可;

(3)由 f(x1)=f(x2),得

=

,令 x1=x2t,∵x1>x2,∴t>1,问题转化

为证明

lnt﹣1>0,即证 lnt﹣

调性证明即可.

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>0,(*),令 g(t)=lnt﹣

,根据函数的单

【解答】解:(1)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=

※ -精 品 人 教 试 卷- ※


令 f′(x)>0,解得:0<x<1, 故 f(x)在(0,1)递增; (2)由(1),令 f′(x)<0,解得:x>1, 故 f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, 故 f(x)max=f(1)=1, ①m>1 时,f(x)=m 无解, ②m=1 时,f(x)=1 有 1 个解, ③m≤0,x∈(1,+∞)时,f(x)>0,f(x)=m 无解, x∈(0,1)时,f(x)递增,f(x)=m 至多 1 个解, 故 x∈(0,+∞)时,f(x)=m 至多 1 个解,

④0<m<1 时,x∈(0,1)时,f(x)递增,f(

)=0,f(1)=1,f(x)的图象不间断,

f(

)<m<f(1),f(x)=m 在(

,1)内有 1 个解,即在(0,1)内有 1 个解,

x∈(1,+∞)时,f(x)是减函数,先证明 lnx≤ x,

令 g(x)=lnx﹣ x,则 g′(x)=



令 g′(x)>0,解得:0<x<e,令 g′(x)<0,解得:x>e, 故 g(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,

故 g(x)max=g(e)=0,故 lnx≤ x,

x∈(1,+∞)时,f(x)=







=,

令 =m,即 x= 时,f( )<m,又 m<f(1),f(x)在(1,+∞)递减, 故 f(x)=m 在(1, )内有 1 解,即在(1,+∞)内有 1 解, 综上,当且仅当 0<m<1 时,f(x)=m 在(0,+∞)内有 2 解, 实数 m 的范围是(0,1);

(3)由 f(x1)=f(x2),得

=



令 x1=x2t,∵x1>x2,∴t>1,

※- 推- 荐 ※ 下- 载- ※ ..

=1+2lnx2,

则 lnx2=

lnt﹣ ,

下面证明 x1x2>1,

∵lnx1+lnx2=2lnx2+lnt=

lnt﹣1,

※ -精 品 人 教 试 卷- ※

故只需证明

lnt﹣1>0,即证 lnt﹣

>0,(*),

令 g(t)=lnt﹣



∵g′(t)=

>0,

∴g(t)在(1,+∞)递增,g(t)在(0,+∞)上的图象不间断, 则 g(t)>g(1)=0,(*)成立,故 x1x2>1,

由基本不等式得 x1+x2>2

>2,

故 x12x2+x1x22>2.

20.已知数列{cn}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=n(cn+2). (1)求 c1 的值,并证明数列{cn}是等差数列;

(2)若

,且数列{an}的最大项为 .

①求数列{an}的通项公式; ②若存在正整数 x,使 am,an,xak 成等差数列(m<n<k,m,n,k∈N*),则当 T(x)=am+an+xak 取得最大值时,求 x 的最小值. 【考点】8H:数列递推式;8E:数列的求和. 【分析】(1)2Sn=n(cn+2),2S1=2c1=c1+2,解得 c1=2,n≥2 时,2cn=2Sn﹣2Sn﹣1.化为:(n﹣2)cn﹣(n﹣1)cn﹣1+2=0.可 得(n﹣1)cn+1﹣ncn+2=0,相减可得:2cn=cn+1+cn﹣1.即可证明.

(2)①设数列{cn}的公差为 d,则 an=

.对 d 分类讨论,d≤0 时舍去,d>0,an+1﹣

an=

<0,在 n≥2 时恒成立,可得 a2 为最大值.由 a2=

= ,解得 d.可得 an.

※- 推- 荐 ※ 下- 载- ※ ..

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②存在正整数 x,使 am,an,xak 成等差数列(m<n<k,m,n,k∈N*),可得 2an=am+xak,T(x)=am+an+xak=3an,由

①可知:a2 最大,首先考察 a2.此时 xak=2a2﹣a1.即

= ,解得 x=

(k≥3).利

用其单调性即可得出. 【解答】解:(1)∵2Sn=n(cn+2),∴2S1=2c1=c1+2,解得 c1=2, n≥2 时,2cn=2Sn﹣2Sn﹣1=n(cn+2)﹣(n﹣1)(cn﹣1+2).化为:(n﹣2)cn﹣(n﹣1)cn﹣1+2=0. ∴(n﹣1)cn+1﹣ncn+2=0,相减可得:2cn=cn+1+cn﹣1. ∴数列{cn}是等差数列,首项为 2.

(2)①设数列{cn}的公差为 d,则 an=



若 d≤0,则 an=

≤a1=1,与已知数列{an}的最大项为 矛盾.

若 d>0,an+1﹣an=



=

为最大值.

<0,在 n≥2 时恒成立,可得 a2

由 a2=

= ,解得 d=3.

∴an=



②∵存在正整数 x,使 am,an,xak 成等差数列(m<n<k,m,n,k∈N*), ∴2an=am+xak, T(x)=am+an+xak=3an,由①可知:a2 最大,首先考察 a2.

此时 xak=2a2﹣a1=

﹣1= .即

= ,解得 x=

考察 3k﹣1=8,11,14,17,….

当 k=11 时,x 取得最小值,x=

=96∈N*.

∴当 T(x)=am+an+xak 取得最大值时,x 的最小值为 96.

(k≥3).

※- 推- 荐 ※ 下- 载- ※ ..



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